何良 地震波与各向异性介质

中国地质大学研究生课程论文封面课程名称各向异性介质地震波传播理论教师姓名 研究生姓名 研究生学号 研究生专业 地球物理学所在院系 类别： B.硕士日期： 2010年1月12日

评语平时成绩：课程论文成绩：总成绩：评阅人签名：注：1、无评阅人签名成绩无效；2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。浅谈各向异性介质内地震波的传播中国地质大学（武汉）地球物理与空间信息学院何良摘要：地下岩石的各向异性主要表现在地震波速度随传播方向发生变化,不同类型体波间相互耦合,横波发生分裂,波速度频散依赖于传播方向等。薄互层与裂隙定向分布等产生视各向异性。本文主要分析三维各向异性介质界面上地震波传播行为、单界面与多界面上各类面波频散规律,同时针对地震波勘探数值模拟中遇到的人为边界反射间题，提出了适用各种各向异性介质的吸收边界条件，并讨论吸收边界的稳定性。关键词：各项异性介质波动方程吸收边界引言：早在17世纪,就有人提出各向异性的概念，各向异性的理论基础之一是广义胡克定理。到19世纪,人们开始对各向异性进行较为广泛的研究。20世纪20~30年代,各向异性的概念被引入地震学领域,当时在进行横波勘探中已经遇到利用现有地震波理论不能解释的横波分裂等现象,由此提出了地下存在各向异性介质的假设。进一步的研究发现,各向异性介质是普遍存在的。地下介质广泛存在各向异性的特性,地层各向异性与油气田的勘探开发及地球深部动力学系统等都有密切的关系。各向异性介质是一种具有使弹性波的传播随方向而异的物性介质。同时越来越多的野外实践也强有力地证实在地壳中存在着各向异性。由于各向异性对不能用各向同性模型解释的观测数据分析有影响。因此它的研究受到人们极大的关注。引起各向异性的原因有多种晶体本身的结构、地层的结构微层可不平行于地层的顶底面、定向排列的垂直裂隙、作用在孔洞和裂隙分布带上的应力等等。各向异性最明显的现象是横波的双折射,即两种偏振的横波以不同的时间到达方位各向异性,即在给定震源距离上地震波到时或视速度与方位角有关勒夫波和瑞利波之间的视偏差。在裂隙导致的各向异性的情况下,裂隙使纵横波在平行和垂直于裂隙平面方向上的传播速度发生变化。因此,当横波进入一个裂隙介质时,将分离成两个准横波和,这些波以不同的速度传播并且在不同的平面上产生极化,这就形成了横波双折射。当然一个压缩波通过一个裂隙介质时也会产生一个准纵波,其质点运动方向在几乎呈对称的平面上偏离波的传播方向。因此,研究地层各向异性具有非常重要的实际意义。我们可以更清楚的认识各向异性介质波场的传播机理和传播规律,并能够更加准确描述出地下地质体的空间分布。1各向异性介质中地震波动解各向异性介质中的参数对一般各向异性介质,应力和应变的关系可用广义胡克定律来描述：◎二c8ijijklkl式中：。ij为应力张量;ekl为应变张量;Cijkl为弹性系数张量。由于应力张量和应变张量都具有对称性,一般的各向异性介质,有21个独立弹性系数。在波长大于层厚度的条件下,薄互层介质等效于横向各向同性介质,可以用五个弹性系数（cll,c33,cl3,c44,c66）来表述。为了便于描述各向异性的特性,Thomsen对横向各向同性介质弹性系数进行了弱化处理,定义了三个具有明确物理意义的各向异性介质参数,并建立了与横向各向同性介质弹性系数之间的关系：e=（c一c）/2cll 33 33Y=（c一c）/2c66 44 44(c+c)2-(c-c)2&=(―13 44 33 44-2c(c—c)33 33 44其中：&表示纵波各向异性;Y表示横波各向异性;§表示变异系数。三维均匀各向异性介质中，关于位移分量的偏微分波动方程组为:LU=LU=pa2Ud21其中’位移矢量U=叫，Uy，广对称的偏微分算子矩阵L=[的组成元素分别为L=C11,a211ax2+C亘66ay2c邑ca2ca2ca255aL=C11,a211ax2+C亘66ay2c邑ca2ca2ca255a2+216axay+256ayaz+215axazL22=C亘66ax2C空+22ay2a2a2 a2 a2+44az2+226axay+224ayaz+2 46axazL33=C竺55ax2C竺44ay2c竺ca2ca2ca233a2+234axay+2 45ayaz+235axazL12=C亘16ax2C竺26ay2C亘45az2+(C+C)-y^-12 66axaya2(C25+C46)ayaz(C+C)-^~14 56axazL13=c亘15ax2C竺46ay2C亘35az2C+C)-y^-12 56axaya2(C36Y45)丽(C +C-13 35axazL13=C竺56ax2+C工24ay2C竺34az2+(C+C)-y^-25 46axaya2讣dydz(C +cpy2-36 45axaz假定(1)式有如下形式位移函数解：2)[u,u,u]t=[p,q,r]texp{i[®(kx+ky+kz)+2)xyz x y z其中，P,q与;分别为x，y与:方向偏振分量，k,k,k为相应方向波数分量.xyz将(2)式代人(1)式并经整理可得三维各向异性介质中，k:满足如下六次方程pk6+pk5+pk4+pk3+pk2+pk+p+0 (3)1z2z3z4z5z6z7Pi(i=l,2,…，7)为关于弹性参数C(i,j=1,2....6)与与波数分量k,k,k的函数。形式过ij xyz于繁杂，不详述.⑶式解对应于方向相对的三类波qP,qS],qS2,它们对应的非归一化偏振分量分别为：⑴对于qP波：p=AA—A(A—po2)；q=AA—A(A—prn2)；r=(A—po2)(A—prn2)—A2.23 13 22 12 13 13 22 11 22 12(2)对于qS波1p=AA-A(A-pro2)；q=(A-pro2)(A—p®2)—A2；r=AA-A(A-pro2).23123311331311132322(3)对于qS波2p=(A-pro2)(A-pro2)-A2；q=AA-A(A-pro2)；r=AA-A(A-pro2).1333231323123312231322界面上地震波的反射与透射三维各向异性介质中界面R，其上、下方介质弹性参数及密度分别为:C(1),pC(2),p(i,j=1,2.•…6)当qP波或其它类型地震波传播到界面R上时，需要满ij1ij2足位移与应力连续性边界条件.通过假定类似于(2)式的反射与透射波位移函数解，可以得到qP波人射时的反射与透射系数解:R=A-1B, (4)其中R为反射与透射系数组成的6*1阶矩阵，且R=[r,r,r,t,t,t]T矩阵A与ppps1ps2ppps1ps2B的组成元素分别为:a=ap,a=aq,a=arTOC\o"1-5"\h\zi i2i i3i ia=a[k(C卩p+C卩q+C卩r)+k(C卩p+C卩q+C卩r)-k(C卩p+C卩q+C卩r)]4i x13i36i35iy36i23i34izi35i34i33ia=a[k(C卩p+C卩q+C卩r)+k(C卩p+C卩q+C卩r)-k(C卩p+C卩q+C卩r)]5i x15 i 56 i 55 i y 56 i 25 i 45 i zi 55 i 45 i 35 ia=a[k(C卩p+C卩q+C卩r)+k(C卩p+C卩q+C卩r)-k(C卩p+C卩q+C卩r)]6i x14 i 46 i 45 i y 46 i 24 i 44 i zi 45 i 44 i 33 i以上各式中，i=1,2,3,…，6,而且a,卩分别为：a=-1 i<=3, 1 i<3,0=1 i<=3, 2 i.3.b=p,b=q,b=r,11 1 21 1 31ia =a[k (C1 p +C1q +C1 r)+k (C1 p +C1 q +C1 r)-k (C1p +C1 q +C1r)]x 13 0 36 0 35 0 y 36 0 23 0 34 0 zi 35 0 34 0 33 0a =a[k (C1 p +C1q +C1 r)+k (C1 p +C1 q +C1 r)-k (C1p +C1 q +C1r)]x 15 0 56 0 55 0 y 56 0 25 0 45 0 zi 55 0 45 0 35 0a =a[k (C p +C1q +C r)+k (C p +C1 q +C1 r)-k (C1p +C q +C1r]x 14 0 46 0 45 0 y 46 0 24 0 44 0 zi 45 0 44 0 33 0以上研究表明，三维各向异性介质内界面上，无论是qP,qS,qS波人射，上、下方介质中12一般会存在三类反射qP,qS1,qS2又与三类透射,反透射波的产生正是横波分裂现象存在的

一个重要表现形式.2•各向异性介质吸收边界条件2・1・边界吸收上面的讨论的都是假设地层介质模型在横向为无限大，纵向为半无限大。而我们进行数值模拟时，一般取有限区域。这时，如人为设置的边界条件取得不当，会造成较强的反射,有时甚至引起局部不稳定性。为此许多作者从事这方面的工作，引入了各种处理人为边界的吸收边界条件。其中大部分工作是针对各向同性介质的，同时，他们采取的在慢度域对运动方程进行近似展开的方法也比较复杂。近期，随着地层中各向异性现象的发现，需要有对各向异性介质的吸收边界的有效提法。由于各向异性特性的复杂性，按传统的方法推导其吸收边界条件将会十分复杂，而且还不能保证其稳定性。本文从波的传播特性出发引入慢度分量概念，直接在时域给出了适用于一般各向异性介质的吸收边界条件，与以往各向同性吸收边界条件相比，具有形式简捷和物理意义明确等优点。对此吸收边界条件，用Gustafsson等人提出的GKS准则验证了其稳定性，在频率域推导了反射系数算法。最后给出了差分离散格式,并计算了各向同性介质，横向各向同性(TD介质，以及带方位入射的方位各向异性(EDA)介质的吸收边界。2.2. 吸收边界提法及其稳定性为方便起见，这里只讨论波在X一Z二维平面内传播的情况。对三维问题只需作简单推广。考虑图1所示的情形，其中x>o为域内，xvO为计算域外，x=0为吸收边界。我们以I表示入射波，R表示反射波。对一般各向异性介质，入射、反射波均有qP、qSV及qSH三种类型，分别表示为I,I,Iqsh及Rqpqsv qp射，反射波位移的线性组给。TOC\o"1-5"\h\zU二U+U (5)I R我们给出x=O处吸收边界条件B(U)— (—p )U—0(6)OX iCti=1式中P为吸收参数，其物理意义相当于波i在X方向的慢度分量。n可以表示精度，nTa且pi(i=1，2,…，n)取值遍列0Ta时，精度达无限高。当某一入射波的X方向慢度分量P=P时，仅由入射波即可完全满足式TOC\o"1-5"\h\zIX i(6)，没有任何反射。对于任意入射波，一,Rqsv,Rqsh，在吸收表示边界上的位移也是入图i各向异性吸收边界示意图般地P丰p(i=1，2,…，,Rqsv,Rqsh，在吸收表示边界上的位移也是入图i各向异性吸收边界示意图IX iU=RU (7)R I式中U=[a aa]T,U=[aaa ]T分别表示入射及反射三种波形的振幅R REPRqSVRqSH I IqpIqSVIqSH矢量。R为反射系数矩阵，R=[R]。对qP入射情况，有ijB備，—ie）det[QQQ]R—— JqP IqPRqSVRqSHii B（ig ，-ie）det[QQQ]RqP RqPRqSVRqSHB（ig，-ie）det[QQQ]R— IqP IqPRqSVRqSHB（迄，-ie）det[QQQ]RqSV RqPRqSVRqSHB（疋，-ie）det[QQQ]R—— IqP IqPIqSVIqSH—B（迄，-ie）det[QQQ]RqSH RqPRqSVRqSH分别表示R，R，R 的反射系数，式中E 为qP人射波的X方向波数分量。®为圆频,qPqSVqSH IqP而Q则表示入射qP的特征向量，其它符号有类似含义。IqPGustafsson等人和Kreiss,提出了讨论初边值问题边界条件稳定性的GKS准则，吸收边界条件可以表述如下:对于从x>o向xvo传播的波，x=0为吸收边界。则对一个x>o区域的初边值题，当且仅当属于下面两类的非零解不满足吸收边界时，此边界条件稳定。1,当ReS>o时，申（x）T+8的解甲（x）eiyz+st2•当ReS以正值趋于零时，满足条件1的解。我们将波动形式代9（x）eaz+st入吸收边条件式（6），经过复杂的推导后发现，只有当零频零波数分量时，才有可能出现上述第二类型不稳定现象。3.结论及意义然而在实际应用中由于各向异性介质十分复杂，我们可以用近似的一些非各项同性介质代替全各项介质，例如EDA模型，该模式用于描述由彼此平行的垂直裂隙，微裂隙和定向排列的微细孔洞引起的各向异性。另一种是PTL模式，用来描述沉积盆地地层的微细层理和旋回性薄层引起的各向异性，也属六方晶系，但其对称轴是垂直的，可等价于具有垂向对称轴的横向各向同性固体，因此该模式有较大的广泛应用性。同时上述两种模型还可以组合，