《第六章平面向量及其应用》知识梳理、考点专练和单元检测试卷

《第六章平面向量及其应用》知识梳理

【体系构建】

向量的大小叫做向量的长度（或称模）

概Y------<既有大小又有方向的量叫做向量

口、零向量二单位向量益器相反向量一相等向量

线性运算、三角形法则与平行四边形法则

加法设a=(xi，yi),b=(X2,yi)

减法

则a+B=(xi+x2,yi+>-2)a—b=(xi—x:,yi-yi)

数乘

xa=(An,“•】)Ia|=«ri+.r?.

坐标运算

若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

向量坐标

设>i),B(X2,yz),则建”一J1)

的求法

\,AB|=5/(n—xi)24-^-2—H)2

平—__.T.—

已知两个非零向量a和b,如图所示，作1=a,OB=b

面

向则4108=8（0吆比180。）叫做向量a与b的夹角，记作《£，b>

量

共线的坐标表示设a=(xi，.n),b=(X2,>2),其中则2“UOXJQ—卬1=0

._6+L—<r

cosA=-------------

2bc

/=〃+/—2bccos.4

余弦(r-\-ar—br

/=/+/—2CQCO§8cos5=-------------

定理lea

c2=a2+^2—2odcosC

，VO：+^2—c2

正cosC=-------------

(lab

余

弦

定正弦定理一―=，一=，一=2R（K为AUSC外接园的半径）

理\sinNsinB4nC

SZV<BC=；。儿（儿为边。上的高）

二角形的面积公式C=；bcsinA=%csiuB

S=g（o+A+c）&为三角形的内切园半径）

一、向量的有关概念

名称定义

向量既有大小又有方向的量叫作向量,向量的大小叫作向量的长度（或称模）

零向量长度为零的向量叫作零向量,其方向是任意的，零向量记作0

单位向量长度等于L个单位的向量

表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这两个向量叫作平行向量，

平行向量

平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行

相等向量长度相筹且方向投回的向量

相反向量长度相等且方向相反的向量

二、平面向量的线性运算

定义法则（或几何意义）运算律

刑(1)交换律:a+b=b+a;

加

求两个向量和的运算三角形法则(2)结合

法

律:(a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

减向量a加上向量b的相反

—

法向量叫做a与b的差广

a

⑴模：Xa|=|X|•a;

设入，口是实数.

⑵方向：

数实数X与向量a的积是一(1)入(Ua)=(Xy)a;

当入〉0时，入a与a的方向相同；

乘个向量，记作(2)(入+U)a=入a+口a;

当入＜0时，入a与a的方向相反；

⑶入(a+b)=入a+入b

当入=0时，入a=0

三、共线向量定理

向量a（aWO）与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数入，使b=入a.

四、平面向量基本定理

如果e,,e?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只

有一■对头数人1,入2,使a=人［。1+入2。2.

若e>,日不共线,我们把｛&,e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

五、平面向量的数量积及坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则

a+b=(xi+x2,yi+ys),a-b=(xi-x2,yi-y2),Aa=(Xxi,Ay),:a|力君+资,a•b=|a【.|b【•cos

<a,b>=xiXz+yiyz.

六、余弦定理及其推论

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的

两倍.即a2=b'+c2-2bccosA,b-a2+c2-2accosB,c"=a'+b'-2abeosC.

2.推论

七、正弦定理及其常见变形

1.正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等，即三号+3=2R(R为aABC外接

sm4sinBsmC

圆半径).

2.常见变形

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

sinA—,sinB—,sinC—,

2R2R2R

a：b：c=sinA:sinB:sinC,

a+b+c

sin/l+sinB+sinC'

《第六章平面向量及其应用》考点专项训练

考点一向量的基本概念

解决向量的概念问题应关注五点

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象

移动混为一谈.

(5)非零向量a与涓的关系：令是a方向上的单位向量.

a\a\

一.选择题

1.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

③=6(4为实数)，则2必为零

④4,〃为实数，若痴=",则方与5共线

其中正确的命题个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，，①错误;

对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，

但它们的模能比较大小，.••②正确；

对于③，=0时(2为实数)，2=0或1=0,.•.③错误；

对于④，若4=M=0时，A,a=/.ib=0,此时G与5不一定共线，.•.④错误；

综上，其中正确的命题为②，共1个.

故选A.

2.下列说法中正确的是

A.平行向量不一定是共线向量

B.单位向量都相等

C.若不，6满足|d|>|b|且a与5同向，则

D.对于任意向量G,b,必有|4+方I,,+

【答案】D

【解析】平行向量是共线向量，故A不正确;

单位向量的模相等，方向不一定相同，故3不正确；

若a,6满足|4|>|方|且1与5同向，则显然不正确，向量不能比较大小，故c错

误；

向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量乙，5,必有|4+方I,,|d|+|b|,故

O正确；

故选D.

3.有下列命题：

①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；

②若②|=出|,则一=九

③若|而|=|觉|,则四边形ABCD是平行四边形；

④若m-n,n=k,则比=后；

⑤若口/区，bl1c,则万//E；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，假命题的个数是

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确：

对于②，若|&|=|6|,则1、6不一定相同，，②错误；

对于③，若|A月而、不一定相等，

，四边形A3C。不一定是平行四边形，③错误；

对于④，若加=万，n=k,则比=E,④正确：

对于⑤，若@//5,bile,

当B=0时，不一定成立，，⑤错误；

对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，，⑥错误：

综上，假命题是②③⑤⑥，共4个.

故选C.

4.（共线向量的概念）下列命题中，正确的是

A.若M//b,则］与B方向相同或相反

B.若一//5,b!Ici则一〃一

C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D.若且=6,b=c,则M=5

【答案】D

【解析】由于零向量的方向是任意的，取1=0,则对于任意向量5,都有彳//6,知A

错；

取5=6,则对于任意向量M5都有力//5,hI!c9但得不到万//忑，知8错；

两个单位向量互相平行，方向可能相反，知。错；

由两向量相等的概念知。正确.

故选D.

5.已知向量。，〃不共线，c=35+^,d=ma+(m+2)h,若5//，，则〃?=

A.-12B.-9C.-6D.-3

【答案】D

【解析】•・,向量d,。不共线，c=3a+hfd=mci+(jn+2)b,c!Id

3d+6=Amd+2(/n+2)b,

J3=Am

［1=4(m+2)'

解得4=—1,m=—3.

故选D.

6.已知向量入5不共线，且5=(3k+2)万+B,d=a+kb,若1与2方向相反，

则实数上的值为

A.-1B.--C.1或—2D.-1或4

23

【答案】A

【解析】由5=(3k+2)d+b,d=a+kb＞且0与［方向相反，

所以%(3%+2)-1=0,

即3X+2/-l=O,

解得/=一1或%=3,

3

当A=-l时，c=-a+h,d=a-h,1与］反向，

当％=,时，c=3a+b,d=a+-b,C与I同向，

33

所以实数4的值为T.

故选A.

二.填空题

7.给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|3=出|,则6=5；

③若=则A,B,C,。四点构成平行四边形；

④在平行四边形ABC£>中，一定有4月=。。；

⑤若m=n>n=p,则用=户；

⑥若向a//6,bile,Ma!Ie.

其中错误的命题有—.（填序号）

【答案】①②③⑥

【解析】在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误:

在②中，若1利=出1，则1与5大小相等，方向不一定相同，故②错误；

在③中，若A月=£>3,则A,B,C,。四点不一定构成平行四边形，故③错误；

在④中，在平行四边形ABCZ）中，由向量相等的定义得一定有A月=£>《，故④正确；

在⑤中，若玩=五，n=p,则向量相等的定义得而="，故⑤正确；

在⑥中，若向G//b,bile,当5=0时，彳与5不一定平行，故⑥不正确.

故答案为：①②③⑥.

8.下列说法中：

①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；

②若|d|=|6|,则|&=6；

③若非零向量,石共线，则2=5；

④向量则向量4,3共线；

⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；

其中正确的序号为—.

【答案】①④

【解析】对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定

相同，正确；

对于②，当旧|=出|时，4与B不一定相等，命题②错误；

对于③，若非零向量共线，则@=5不一定成立，命题③错误；

对于④，向量々=6时，向量4,5共线，命题正确；

对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；

综上，正确的命题序号是①④.

故答案为：①④.

三.解答题

9.已知向量a=(3,2),1=(-1,2),c=(4,l).

(I)若C=ma+nb,求w,〃的值；

(II)若向量I满足(3-3//(1+6),|2-即=2退，求2的坐标.

【答案】

【解析】(I)向量@=(3,2),6=(-1,2),—(4,1),

由1=+”5,所以(4,1)=m(3,2)+M(-1,2)=(3m-〃，2m+In),

4=3m—n

1=2m+2n

解得

(II)设7=(x,y),贝ij2—1="一4,>一1),a-\-b=(2,4),

由(2--)//(。+5),J@L|J-c|=2>[5，

2(y-l)=4(x-4)

所以r4I--------------r~，

V(x-4)2+(y-l)2=2x/5

s/rfx=2„[x=6

解得｛c或《，

[y=-3[y=5

所以2=(2,-3)或2=(6,5).

io.设两个非零向量a与•不共线.

(I)若方=(1,2),6=(-1,1),且%+5与d-2b平行，求实数上的值；

(ID^AB=a+b,~BC=2(a-b),CD=a+5b,求证：A,B,。三点共线.

【解答】(I)解：由1=(1,2),6=(-1,1),

所以@+5=伏-[2%+1),”4=(3,0),

因为%+5与d-2b平行，所以有3(2k+l)=O,

解得左=」.

2

(II)证明：因为前="+人W=2(a-b),CD=a+5b,

所以8万=面右+。方=2(汗一6)+(1+56)=34+3区=3(6+5),

即8方=3A8，所以A月与双5共线，

因此A,B,。三点共线.

考点二平面向量的线性运算

平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.

(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;

求首尾相连向量的和用三角形法则.

选择题

1.已知等边三角形ABC的边长为6,点尸满足3胡+2月分+尸6=。，则|而|=

A.-B.—C.币D.—

963

【答案】C

【解析】■：3PA+2PB+PC=0,

.-.3AP=2PB+PC,

:.6AP=2（AP+PB）+（AP+PC）=2AB+AC,

^LAP=-AB+-~AC,

36

故

AP=（-AB+-AC）2=-AB+-AB-^+—AC=-x36+-x6x6xcos60°+—x37=7.

3699369936

故|屈|=",

故选C.

2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点。，则南+丽=

A.2B0B.2DOC.BDD.AC

【答案】B

【解析】在平行四边形/WCD中，设对角线AC与皮）相交于点O,

贝ljAB+CB=AB+DA=DB=2DO.

故选B.

BC

3.已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则

苏+方+定+所等于

A.4PGB.3PGC.2PGD.PG

【答案】A

【解析】如图，PA=PG+GA,PC=PG+GC,PB=PG+GB,PD=PG+GD,

PA+PB+PC+PD=4PG+(GA+GC>)+(GB+Gb)=4PG.

故选A.

4.己知向量可=(/n,3),b-(3,-n),若一+2石=(7,1),则"?〃=

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

[tn+6=7/口

【解析】va^-2b=(7,1),<，得机=〃=1,.,.mn=l.

3-2n=l

故选A.

5.在平行四边形ABCD中，AB=a,AC=b,若E是DC的中点，则入丘=

D.--a+b

2

平行四边形ABCD中，AB=a,AC=b,

则AD=BC=AC-AB=b-a,

又E是DC的中点，

则通=血+屈=。一或+14=5-1万=一1]+5.

222

故选C.

6.在等腰梯形ABCD中，AB^-2CD,M为BC的中点，则丽7=

I-.1_.3―-1—.3―.I-.1__.3―-

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

22424424

【答案】B

【解析】如图所示，

等腰梯形ABCD中，

AB=-2CD,CD=--AB,DC=-AB;

22

又M为8c的中点，

.­.BM+CM=6,

又4/=油+8应，

AM=AD+DC+CM；

2AM=(AB+BM)+(AD+DC+CM)

=-AB+AD-,

2

AM=-AB+-AD.

42

故选B.

若点。满足而=3反，则加=

4444

【答案】C

【解析】在AA8C中，AB=c,AC=b；如图:

BC=AC—AB=b—c>

又Bb=3Dd,

/.BD=-BC=-(h-c)^

44

,AD=AB+BD=c+-(b-c)=-b+-c；

444

故选c.

8.如图，在A4BC中,点。是BC边上靠近8的三等分点，则而

1—.2—•2—.1—.1—.?—►

B.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB——AC

33333333

【答案】C

________________1________1_______2___.1____

【余华析】AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

3333

故选C.

二.填空题

9.在直角坐标系中，O为原点，xOA+yOB=2AB,则x+y=

【答案】0

【解析】+yOB=2AB,

xOA+yOB=2(OB-OA),

二.(x+2)OA+(y-2)OB=0,

x=-2,y=2,x+y=O,

故答案为：0.

10.在AABC中，己知。是AS边上一点，若A方=2£>2,前=」以［+23，贝U4=

3

【答案】-

3

【解析】AASC中，。是AB边上一点，AD=2DB,CD=-CA+A.CB,

3

如图所示，

Cb=CA+Ab=CA+2DB@,

CD=CB+BD,

2CD=2CB+7.BD=2CB-2DB②；

①+②得，3CD=CA+2CB,

：.CD=-CA+-CBi

33

故答案为：

三.解答题

11.如图，己知AAfiC中，。为BC的中点，AE=-EC,AD,3E交于点尸，设恁=d,

2

AD=b.

(1)用人5分别表示向量而，EB;

(2)若AR=，AZ5,求实数/的值.

32

【解析】(1)由题意，。为5c的中点，且荏=

3

AB+AC=2AD,

AB=2b-a,

——.——.—.-14-

EB=AB—AE=2b—ci—ci——ci+2Z?；

33

(2)vAF=tAD=tb,

FB=AB-AF=-a+(2-t)b,

vEB=--a+2b,方，方共线，

3

-1_2-t

‘丁丁

3

1

t=­.

2

12.如图所示，在AABO中，OD=-OB,4)与3c相交于点M,设函=d,

42

OB=b.

(1)试用向量M,b表示0M；

(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD下点、E,F.记Og=/lci,OF=jLtb,

求证：［为定值.

2〃

1a13

【答案】⑴OM=-a+-b；(2)-+-=7.

77X〃

【解析】(1)由A,M,。三点共线，可设0而=加。4+(1-机)0方=〃加+上5'5,

由3,M,C三点共线，可设OM=〃O(j+(l-〃)0豆=巳1+(1-〃)5,

因为。，5不共线,

m--n

44

所以解得m=—n=—，

1-m77

2

u——•13-

^OM=-a+-b.

77

(2)因为E,M,F三点共线,

设OM=kOE+(1-k)OF=kXa+(1-k)jub,

i3

由(1)知版=亍，(1-幻〃=亍，

i3

即_l=7女，-=7-7/:,

A〃

i3

所以±+±二7,

故L』=7.

2〃

考点三平面向量数量积的运算

向量数量积的两种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a・b=|a||6|cos〈a,6〉.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(为，％),6=(小3，则a”

=汨必+必角.

一.选择题

1.已知|创=1,|5|=2,且彳与5的夹角为三，贝ij|G—石5|=

6

A.J7B.2V2C.VioD.V19

【答案】A

【解析】，.恒|=1,\b[=2,且1与6的夹角为巴，

:.\a-y/3b^=a2-2y5-a-b+3b2=1-2>/3xy/3+3x22=1,

故伍-何|=",

故选A.

2.已知向量。石满足|也|=1,||=2,<5,b>=—，则|±-5|=

3

A.3B.7C.V7D.x/3

【答案】D

［解析］由|d|=1,161=2,<a,6>=巴,

3

所以万石=|万||〃|cos-=lx2x—=1.

故|々-51=yl（a-b）2=>］a2-2ab+b2=Vl-2xl+22=£.

故选I）.

3.已知向量G=（百,1）,6是单位向量，若|1+B|=石，则万与万的夹角为

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】根据题意，设0与B的夹角为。，

向量a=（JL1）,则|刖=2,

若|a+5|=5贝1」修+6|2=/+庐+2力6=5+436=3,变形可得cos6»=」,

2

又由砥8%，则夕=女，

3

故选C.

4.若非零向量万，石满足|4|=3|b|,（2a+3b）A.b,则万与5的夹角为

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】根据题意，设，与5的夹角为6,出|=/,则|d|=3|b|=3r,

若（2万+3b）_Lb,则（25+35）・1=2无5+352=630«6+3/=0,

即cos^=--,

2

又由晨船乃，则"二，

3

故选c.

5.已知向量方=(1,血)，出|=2,\a-b\=y/l3,则2与5的夹角为

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】根据题意，设1与6的夹角为，，

因为|d-b|=相，所以0-6)2=13,即/一2无5+户=13,

向量d=(l,a),则|刈=G,

h

则有3—26X2XCOS8+4=13,解得cos。=—灯，

2

又由噫万，则"包，

6

故方与5的夹角为区；

6

故选D.

6.向量M=(2,l),5=(-3,4),c=(3/71-1,l-2m),若m+25)_L1,则实数加等

57

A.1B.?-C.?-D.2

44

【答案】B

【解析】根据题意,b=(-3,4),c=(3/n-1,1-2m),则t+=(3加一7,9-2⑼，

若(3+2b)-La,则(-+2。)•q=2x(3加一7)+(9-2m)=4m-5=0,

解可得：m=—y

4

故选B

7.已知向量。,力，满足|初=1,||=>/5,且-方|=2,则=

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】由|d-方|=2得®-方>=筋+户一2a=4,

即1+5—2M•6=4,解得ab—\.

故选C.

8.已知|2|=2,屹|=1,S.a-b=-l,m(2a-b)-(a+b)=

A.6B.8C.3D.-3

【答案】A

【解析】(,2a-b)-(a+b)

=2d2-b2+a-b

=2X22-1-1=6.

故选A.

9.已知向量寸=(2,3),b~(k,5),S.a-b=3,则|2〃+5|=

A.4x/3B.3&C.55/5D.60

【答案】C

【解析】va=(2,3),b=(k,5),

a-b=2k+\5=?>,解得/=-6,

."=(-6,5),2G+5=(-2,ll),

|267+fe|=V4+121=5x/5.

故选C.

填空题

io.设非零向量a而满足花5),且出|=2|a|,则向量4与B的夹角为

【答案】-

3

【解析】根据题意，设|M|=r,则|0|=2f,向量土与B的夹角为6,

若M—，则4•①一万)=/-"•/?=/一2*cos。=0,

解可得cosO=L,

2

又由啮吩兀,则。=工，

3

故答案为：

3

11.已知单位向量5,5的夹角为王，贝"万一折|=.

【答案】1

【解析】因为回|2="-2后石+352=1-3+3=1,所以|&-屏|=1.

故答案为1.

三.解答题

12.已知|利=4,历|=3,(5-3*)-(25+36)=-31.

(1)求1与6的夹角夕；

(2)求|万+5|的值.

【答案】(1)0=--.(2)V13.

3

【解析】(1)|利=4,|b|=3,5―3B)-(2d+3bj=-31.

所以2^_952-3无5=-31,即32-81-3a石=一31,所以无5=-6,

-a,h—61

cos<a,b>=----=---=—，<a,>e[0,TT],

\a\\b\4x32

可得，=生，

3

(2)\a+b\=\la2+b2+2a-b=^16+9-12=V13.

13.在平面直角坐标系中，a=(1,/n),b=(3,1).

(1)若加=2,求|24+5|的值;

(2)若向量々J_5,求机的值.

【答案】(1)55/2；(2)m=-3.

【解析】(1)根据题意，若％=2,即1=(1,2),

贝IJ2d+6=(5,5),

^\2a+b\=V25+25=572,

(2)若向量则1-5=3+%=0,

解可得利=-3>

故，77=—3.

考点四平面向量数量积的性质应用

平面向量数量积求解问题的三个策略

a•b

(1)求两向量的夹角：cose=----------，要注意J£[0,n].

a,br

⑵两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a_L抉=>a・6=0=a—b\=a+

⑶求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①厅=a・a=a-或|a|=y]a'a.

②Ia±引=yj(a±疗=y1a±2a•b+b\

③若a=(x,y),则|aI=yjx+y.

一.选择题

1.在A4BC中，C=90。，点。在AB上，AD=3DBf\CB\=4f^CBCD=

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【解析】因为AABC中，C=90。，点。在4?上，AD=3DB,|CB|=4,

___________Q______Q____1___§___

^（.CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（AC+CB）=-CA+-CB,

4444

所以c从c/5=C方•（）至+3围）=1（S•cQ+3c才=]2,

4444

故选C.

2.若MBC的外心为。，且NA=60°,AB=2,AC=3,则

。4&（+。初。4+0/4不等于

A.5B.8C.10D.13

【答案】C

【解析】取AB的中点。，BC的中点E,AC的中点/，连接O£）,OE,OF,OA,

••,O为A48C的外心,

故O£>_LAB,

bABA=(dD+DA)BA=-AB,

同理可得：OBCB=-CB,OCAC=-AC2,

22

•/ZA=60°,AB=2,AC=3,

BC2=22+32-2x2x3xl=7,

2

.,.则OABA+OBCB+OCAC=^(22+32+7)=10,

故选C.

3.已知。X,OB,反均为单位向量，且满足d+2万+2反=0,则丽•恁的

值为

35719

A.-B.-C.-D.—

8888

【答案】B

【解析】OA,OB,。3均为单位向量，且满足。4+20月+203=0,

故A,B,。围成AABC,

设BC的中点为。，连接。4,OB,OC,OD,

因为OX+2O3+20^=6,

04+400=0,

故A,O,。三点共线，且AO=48,

:OA=OB=OC=\,

故ABOC为等腰三角形,

故有OD_L3C,即AD_L3C,ELOD=~,AD=1H—=一,

444

BD=yjOB--OD1=Jl2-(I)2=^-=DC,

ABAC=(AD+DB)(^D+DC)=AD2+(DB+DC)AD+DBDC=(1)2+O-(^)2=|.

故选B.

4.在AABC中，AB=4,AC=2,点M是BC的中点，则必的值为

A.-6B.6C.-8D.8

【答案】A

【解析】•.•在AA8C中，AB=4,AC=2,点M是BC的中点，

----.--------1---»----]---»2---*21°o

BCAM=(AC-ABy-(AC+AB)=-(AC-AB)=-x(22-42)=-6.

222

故选A.

5.点尸是边长为2的正A4BC的边BC上一点，且屈=!而，则而•(而+/)=

3

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】・・•点尸是边长为2的正AABC的边上一点，且万」围，

3

____________2______2__,__,1___2__.

/.AP=AB+BP=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

—•----1—.2—•—.1—.2—.—.2—-24I8

AP(AB+AC)=(.-AB+-AC)(AB+AC)=-AB+ABAC+-AC=-+2x2x-+-=6)

3333323

故选C.

6.在A48C中，AB=?后,CB=\,AC=2,点M,N分别为CA,CB的中点,

则丽.砺

B.?|C.一?|D-7i

【答案】B

【解析】在AA8C中，AB=?右,CB=\,AC=2,可知CB?+AC?=43。,

所以三角形是直角三角形，如图：建立如图所示的坐标系，

则8(0,1),A(2,0),点"，N分别为C4,C3的中点，

所以M(l,0),N(0,；),

所以丽=(-2,!)，M力=(T,D，

2

所以丽.碗=(-2,,1)=2+-=-.

222

7.已知。为AABC的外心，AB=6,AC=4,则无5•反=

A.10B.5C.-10D.-5

【答案】C

【解析】过点O分别作OE_LAB于E,OF_LAC于尸，则£、尸分别是四、AC的

可得RtAAEO中，cosNOAE=!=」.处

[AO\21Aoi

,­,ABAO^AB\x\AO\COSZBAO=gIA囱2=18,

同理可得冠•荷=g|正『=8,

AO-BC=AO-(AC-AB)=AO-AC-AOAB=8-18=-10,

故选C.

8.四边形ABCD中,AB=2DC,ABBC=O,|函=2,则彷反

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】由题意知|觉=1,DCBC=O,

所以

ADDC=(AB+BC+CD)DC=ABDC+CDDC=2x\xcosO+lx\xcos7r=2-l=\

故选B.

二.填空题

9.已知矩形中，AB=2,AD=\,设AC与交于点O,则标