《工程力学(第2版)》课后习题及答案

第二篇材料力学

模块四拉深、压缩与剪切

任务六轴向拉伸与压缩变形时的承载能力计算

一、简答题

1.什么称为轴力图？如何绘制拉压杆的轴力图？轴力图有什么用

途？

答：表示轴力随横截面沿轴线位置的变化情况的图表称为轴力图。轴

力图是按选定的比例，以平行于轴线的坐标表示横截面位置，垂直于

轴线的坐标表示相应截面的轴力值，从而得到截面位置坐标与相应截

面轴力间关系的图线。

2.叙述轴向拉压杆横截面上的正应力分布规律。

答：由平面假设可推知，杆中所有纵向纤维的伸长相等。又由于假设

材料是均匀的，各点的力学性能相同，故各点的正应力O与线应变£

的关系均相同，所以横截面上各点正应力。相同，即横截面上正应力

。均匀分布。

3.拉压杆的横截面与斜截面上的应力有何不同，如何计算？

答：斜截面上应力会随着斜截面与横截面夹角变化，Pa=ocosa

4.什么是强度条件？根据强度条件可以解决哪些问题？

答：强度条件是用来确定构件是否发生强度破坏，根据强度条件可以

确定构件所允许承受的最大轴力或结构所允许承受的最大载荷。

5.材料的主要力学性能有哪些？研究材料力学性能的巨的？它们的

含义是什么？

答：以低碳钢为例，主要力学性能有弹性阶段、屈服阶段、强化阶段

与颈缩破坏阶段。其中弹性阶段，应力。与应变£成正比；屈服阶段

时，应力基本保持不变，而应变显著增加；强化阶段时，材料又恢复

了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长必须增加拉力；而在颈缩破坏

阶段，在某一局部区段内横截面积突然急剧缩小，使试样继续伸长所

需拉力也相应减小。研究材料力学性能能够对材料了解更加详细，便

于运用于工程实际中。

6.为什么低碳钢材料经过冷作硬化后，比例极限提高而塑性降低？材

料塑性的高低与材料的使用有什么关系？

答：因为冷作硬化后，材料强硬度提高，变形量下降了。塑性高，材

料的强度和硬度低；塑性低，材料的强度和硬度高。

7.如何区分塑性材料和脆性材料？

答：材料的伸长率较大，明显大于5%,都属塑性材料。脆性材料的

特点是塑性较差，伸长率b很小。

8.试说明脆性材料压缩时，沿与轴线成45。方向断裂的原因。

答：轴向压缩时，与轴向成45。的斜截面上切应力达到最大值，发生

破坏。

9.怎样确定材料的许用应力？安全系数的选择与哪些因素有关？

答：通过材料强度失效时的极限应力值与安全系数确定。安全系数的

选择与材料的质量、构件的尺寸、载荷情况、构件简化和计算方案的

准确程度、工作条件、重要性、破坏的后果严重性、制造和修配的难

易程度等因素有关。

二、分析计算题

1.试用截面法求出图4-42中指定截面的轴力，并作轴力图。

a)FNi=30-40=-10kN;FN2=30kNo

b)FNi=-40+40-30=-30kN;FN2=40-30=1OkN;FN3=-30kN。

c)FNi=-60+60-80=-80kN;FN2=-20kNo

2.已知AD杆载荷如图4-43所示，计算出杆AD各段轴力，画出其轴

力图。若杆截面面积A=200mm2,试计算各段应力。

解：FNi=20-10+40=50kN,0③=250MP。；

A

FN2=40-10=30kN,cr,="=150MPa；

2A

FN3=40kN,cr,=&=200MP。。

A

3.某钏接钢板有三个钾钉孔，其受力如图4-44所示。已知钢板宽度

b=60mm,厚度t=10mm,孔径d=16mm,载荷P=40kN,试画出钢

板的轴力图并计算其最大应力。

解:FNI=P-P/3-P/3-P/3=O；

FN2=P-P/3-P/3=P/3；

FN3=P-P/3=2P/3；

FN4=P；

A=bXt-dXt=600-l60=440mm2

cr==OMPa-a,=£=30.3MPa;

AA

6=4=60.6MPa巴=也=90.9MPa;

AA

4.如图4-45所示为阶梯杆，材料E=200GPa,横截面面积A1=240

mm2,A2=160mm2,试求杆的总变形及最大应变emax和最大正应

力omaxo

解：FNi=40-10=30kN;FN2=-10kN；

_30000

125MPa；

3彳-240x10^

FN210000……

-1-6-0-x-1-0--6-=62.5MPa；

o-.125八662.5

J=——=-------=0.000625；=——=-------=0.0003125；

1E2000002E200000

%=£”=0.000625x200=0.125/m?；

A/2=s2-l2=0.0003125x200=0.0625mm；

AZ=A/j+A/2=0.1875mm0

5.在外径D=25mm,内径d=15mm,长1=200mm的铸铁管内套进一

根直径为15mm的钢杆，如图4-46所示。设铸铁的弹性模量为El=140

GPa,钢的弹性模量为E2=200GPa,P=12kN,求铸铁管和钢杆的应

力°1、o2及变形AL

解：因铸铁管与钢杆套在一起，压缩时铸铁与钢杆的压缩量应相同，故：

△/=F"_F~2/

E[A]E2A2

1+2P

联立上述方程求解，可得FNi=5.35kN;FN2=6.65kN；

见=_535_=i[MPa

A当一屋)

=也=坐=3765MPa

2

A2一

A/==0.037mm

E}A}E2A2

6.如图4-47所示，悬挂重杆长为1=2m,单位长度的自重为q=2kN/m,

载荷P=20kN,试作其轴力图。当杆件变形总伸长量Al=2mm时，其

抗拉刚度EA等于多少？

解：Fq=qx;FN=Fq+P;

d（A/）=FQk

EA

对上式积分得：△/=]["，＞=J_11/2+p/]

JEA£A（2J

EA=ql2+Pl^=22x106N。

7.一根直径为d=30mm的钢杆，在轴向载荷80kN的作用下，在1.5m

的初始长度内伸长了1.15mm,材料的比例极限为210Mpa,泊松系

数为0.27,试求：⑴拉杆横截面上的正应力；（2）材料的弹性模量E;

⑶杆的直径改变量Ad。

届(/,、F80k7V…cc

解：(1)cr=—=-----=113.23MPa

A万3()2

4

(2)E=e=^1^=147.7GPa

e1.15

1500

1.15_\d

(3)—v£-0.27

i5o6--7

=0.00621

8.长度1=320mm,直径d=32mm的圆形横截面钢杆，在试验机上受到

拉力P=135kN的作用。由测量得知杆直径缩小了0.006mm,在50mm

的杆长内的伸长为0.04mm,试求此钢杆的弹性模量E和泊松比V。

AX.F135k7VOAAAD

斛：cr=—=-----—=167.94MPa

A万3竿

4

=—=^^=0,0001875

d32

A/0.04八

£=—=------=0.0008

/50

16794

E=—==209.925GPa

£0.0008

e,0.0001875

v=—=--------------=0.234

£0.0008

9.一圆形横截面等直杆受轴向拉伸。已知杆的直径d=16mm,材料的

屈服极限os=235MPa,杆端拉力P=20kN。求杆的工作安全系数ns。

F20k?/

解：cr=—=------r-=99.5MPa

A万16一

4

巴235

n,--=------=2.36

*a99.5

10.如图4-48所示为起重机吊钩，上端用的螺母固定。若螺纹最小直

径d=60mm,材料的许用应力。=80MPa,试求吊钩最大起重力P。

解：..七二（二寺’⑸

丁

/.PW：/[M=226KN

11.在圆形钢杆上准备开一切槽如图4-49所示，已知d=40mm,拉力

P=100kN,材料许用应力o=120MPa,试设计切槽宽度b的允许值。

解：圆冠近似面积S=7rr2-2仍

，：b上—<[<T]

Sk_2rb

/.b<------=10.56OTH

22而]

任务七剪切与挤压变形时的承载能力计算

一、简答题

1.对连接件的强度计算采用实用计算的依据是什么？

答：由于连接件的破坏有剪切破坏和挤压破坏两种形式，强度计算时

便依据这两种强度条件。

2.挤压与压缩有何区别？为什么挤压许用应力比许用压应力要大？

答：挤压应力obs与压应力o不同。压应力o遍及整个杆件的内部，

在横截面上是均匀分布的，而挤压应力obs则只限于接触面附近的局

部区域，而且在接触面上的分布情况比较复杂。

3.实际挤压面与计算挤压面是否相同？试举例说明。

答：不相同，实际挤压面为平面时，计算挤压面积为实际挤压面积，

当实际挤压面为曲面是，计算挤压面积为半圆柱面的正投影面积。

二、分析计算题

1.图4-58所示为螺栓联接，试根据标注尺寸写出剪切面积、受拉面积

和挤压面积的表达式。

解：剪切面积4=成/?；

受拉面积A="兀d2；

4

挤压面积4=?（。2-阅。

2.如图4-59所示，直径为30mm的心轴上安装着一个手摇柄，杆与

轴之间有一个键K。键长x宽x高为36mmx8mmx8mm,已知键的许

用切应力[T]=56MPa,在距轴心700mm处所加的力P=300N,试

校核键的强度。

解：剪切面积A=36x8xl()6m2；

Px700

剪切力/3F=14000TV；

剪切强度T="=48.6<56MPa=[r],满足剪切强度条件。

A

3.如图4-60所示装置中，键的长度1=35mm,许用切应力x=100MPa,

许用挤压应力0bs=220MPa,试求允许作用在手柄上的力F的最大值。

Px600

解：剪切力与3F=60F；

p60P

剪切应力7===-^—4[T]=100MRZ；F<291.67A^;

A5x35

60F

挤压应力%s=2=--<\ahs]=22bMpcI；F<320.83N

Ahs2.5x35

所以，允许作用在手柄上的力F为320.83N。

4.如图4-61所示的钾钉连接中，两板厚t=20mm,钾钉的许用切应力

ET]=100MPa,d=30mm。连接件能够承受多大的拉力P?

解：剪切应力7=£=_匕W卜],

A"

4

拉力尸武丁耳储=70.68N。

5.如图4-62所示为两块厚度为10mm的钢板，用4个直径为16mm

的钏钉搭接在一起。已知钏钉和钢板许用应力T=120MPa,obs=300

MPa,o=160MPa,P=110kNo试校核钏钉的强度，并确定板宽最小

尺寸b的值。

P

p~

解：剪切强度7=，=3=108.12«周=120MPa；

A武L」

丁

挤压强度o•面=旦=---=152.78MP。<[a,„]=300MP。；

4s4x10x18

满足剪切和挤压强度要求。

拉伸强度0=:=为言石丽"口]口60用网

b>104.75mm。

6.如图4-63所示木杆由A、B两部分用斜面胶接而成。已知胶缝的许

用切应力t=517MPa,许用拉应力a=850MPa,求许可载荷F。

解：由拉伸强度和剪切强度得

Fsin20°

Fa=928.4F<[(r]=850A/Pa

<7=T=14x9；

xlO-6

sin20°

Fcos20°

=2550.74/”上]=517M4

14x9

xlO-6

sin20°

F<202.7kN.

7.切料装置用刀刃把插进切料模中的①16棒料切断，如图4-64所示,

棒料为20钢，剪切强度极限Tb=320MPa,试计算切断力P。

pP

解：由剪切强度得丁=，=三2用=320如.

A加广

丁

最小切断力为「之卜（笛=64-3kN

8.冲床的最大冲力为400kN,被冲剪钢板的剪切强度极限xb=360

MPa,冲头材料的许用应力o=440MPa,如图4-65所示，试求在最

大冲力作用下所能冲剪的圆孔的最小值径d和板的最大厚度6。

pp

解：由拉伸强度b=，=<[（r]=440MPa

A血"

丁

d>max=34.03〃zm

力]

由剪切强度T="=&>[r]=360MP«

A兀db

7id\u\

9.两块钢板采用7个钏钉连接而成，如图4-66所示。已知钢板的厚度

5=6mm,宽度b=200mm,钏钉直径d=18mm。材料的许用应力o=160

MPa,工=100MPa,obs=240MPa,载荷F=150kN,试校核此接头强度。

解：剪切强度7=匕=—^=84.254，]=100；

A7兀d-

丁

挤压强度ahs=2=_L_=198.4IMPaW[%]=240MP。；

4v7xbxd

拉伸强度：3个孔的那列是危险面，有

p3F

a=—=—7-----；=73.4<k]=]60MPa

A75（力一3。）

此连接满足强度条件。

10.如图4-67所示，凸缘联轴节传递扭矩M=35kN・m,直径dl=12mm

的螺栓分布在D=150mm的圆周上。材料的许用切应力T=90MPa,

试校核螺栓的剪切强度。

解：Fg=116.67kN

剪切强度「="=2”=1032.1>[i]

A就2L」

4

不满足强度条件。

模块五扭转与弯曲

任务八圆轴扭转变形时的承载能力计算

一、简答题

1.为什么变速箱中的低速轴的直径比高速轴的直径大？

答：对于同一个齿轮箱，功率一定的情况下，低速轴承受的力矩比较

大，高速轴承受的力矩比较小。所以低速轴要粗，能承受更大的力矩

2.为什么减速箱中的传动轴要做成中间粗两边细的阶梯轴？

答：符合轴受弯矩的合理形状；为了便于轴上零件的装拆与固定，且

使轴上各截面接近于等强度

3.阶梯轴的最大扭转应力是否一定发生在最大扭矩所在截面，为什

么？

答：不一定。

4.圆轴扭转切应力在截面上是怎样分布的？

答：横截面内任一点的切应力和这一点到圆心的距离成正比。切应力

的方向应和对应的半径相垂直。在纵截面上同样有切应力，分布规律

与横截面上一样。

5.两根圆轴，一根为钢，另一根为铜，直径相同，长度相同。在相同

扭矩作用下，两根轴的最大切应力、强度、扭转角（p、刚度是否一样？

答：因为材料的切变模量不一样，所以强度、扭转角、刚度不一样，

但最大切应力一样。

6.有两根长度及重量都相同，且由同一材料制成的圆轴，其中一轴是

空心的，内外径之比a=d/D=0.8,另一轴是实心的，直径为D。试问:(1)

在相同许用应力情况下，空心轴和实心轴所能承受的扭矩哪个大？求

出扭矩比值。(2)哪根轴的刚度大？求出刚度比值。

答：(1)实心轴所能承受的扭矩大，扭矩比值为1:0.744;(2)实心轴的

刚度大，刚度比值为1:0.744。

二、分析计算题

1.作如图5-21所示轴的扭矩图，已知M=20N・m。

2.画出如图5-22所示各杆横截面上的切应力分布图。

3.已知图5-23所示轴Me1=6kN-m,Me2=4kN-m,轴外径D=120mm,

空心轴内径d=60mm,G=80GPa。画扭矩图，求最大切应力-rmax及

C截面相对A截面转过的角度。

解：

T(N.m)

-4

-10

7,_MeTMe+M

T222ei

maxin.SMPa,rmax2=31A5MPa

%2d4

丁有-Z)31-

1616D4

AT180Me180八”。，

0.=―t!-----=----2=-----=0.14/w

GIn7lD兀

1Ao----

32

7；180Me+Me180

8、=-i-----=----J2；----t-----=0.38/m

GIp,7t「乃(£)J/)乃

32

4.传动轴上的功率分配如图5-24所示，已知转速n=300r/min,G=80

GPa,T=40MPa,9=l°/mo试作扭矩图，设计各段阶梯轴直径，并计

算轮5相对轮1的转角（p51o

w二忡；6M力”的

Me”存储.

7

cwA

Mei的

州}

。

跖1«!1-

〃铲

服工汴13MMQlfMgMM/M.Wi

—"，GM加科名

p产+应W3M空九’码

J诃彳"p,<P)

作u乃'

解：

=9549二=1273.2N-m,Me2=9549里=3183N•m,

nn

Me4=9549乌=636.6N•m,MeS=9549G=636.6N•m,

nn

八T180T180g

0=---------=------------<16*1

G1717lD37t

PG---

32

A=,o,=2正,A=o,内㈤=A

V1071

(Ps\=\o\•I=7.5°

5.直径d=50mm的圆轴，其两端受矩为1kN-m的外力偶作用而发生

扭转，轴材料的切变模量G=80GPa,求：（1）如图5-25所示，横截面

上pA=d/4处的切应力和切应变；（2）最大切应力和单位长度扭转角。

解：(i)e=L=—^

*G就

32

3

T

(p=G0=l£.

p420.38MP。

7nd4

P

九=2.55x10-4

G-----

32

G&L=40.76MPa

⑵「max

2

T180T180一十/

9----------------=-----------7---------=1.17/m

“maxGI717ld71

〃G

32

6.材料相同的一根空心圆轴和一根实心圆轴，它们的横截面面积相

同，扭矩相同，试分别比较这两根轴的最大切应力和单位长度扭转角。

解：

因为AkAz，所以-尾,

TT八TT

----=----T，"，=----=------：---7~

GIp]r血:Gig%(G—/)

3232

*a-点)或)+语.

—-z-z->1，t

,dfd：D2&D2

4比-或心+/一

------------------------------------>JL,a>%。

02d：D；-d；

7.一根轴转速360r/min,传递功率150kW,切变模量为80GPa,试

设计其直径，使切应力不超过50MPa,并且在2.5m长度内扭转角

不超过3°。

解：

P

M=9549—=3978.75N-m，

n

T=—=——<[r]=50Mpa,

W—£)3

16

M180M1803

0<[(9]=°!m,

n7rDA71

*(J——

32

44举/日D2W405477=74mm八山

求解得：，取。274〃?加

D>#24242442=70.15mm

8.空心圆轴的外径D=100mm,内径d=50mm,已知间距L=2.7m的

两横截面的相对扭转角(p=1.8。，材料的切变模量G=80GPa。求：⑴

轴内最大切应力；(2)当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴传递的功率。

和,I、八T180T1802.

解：(1)0=------=---------------=-o/m

GIp71G^(D4-d4)713

_TT_____

7G心=2.BGPa

小一可一而2

(1-

P4

7=9549—=比/〃——

⑵nT80

nP=215.11kN

9.已知等截面轴输入的功率如图5-26所示，转速n=l450r/min,1=60

MPa,M0.6°/m,G=80GPa,1=500mm0试设计轴的直径。

解:

陷=9549二=98.78Ar，〃

n

M2=9549”=263.48N•加

n

%=95492=164.64N.m

n

M,ri

’2=方《旧

“=会同7TD

7TIF

,/M1<M2

/.r,<r2

用T2计算得:£>>V13982.1724.1mm

D>#6291975.52«50.1mm

轴颈要大于50.1mm

1。传动轴外力矩MA=3kN-m,其分配情况如图5-27所示，MB=7

kN-m,MC=4kN-m,dl=60mm,d2=65mm,T=60MPa。试校核该

轴各段的强度。

解：AB段：7\=M,\=3kN-m

BC段：Tz=Mc=4kN-m

r,=2L=2L=70.77>用不满足强度要求，

一叫

16

r2=i=_ZL=74.22>[r]不满足强度要求。

叫2成2

16

11.实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，如图5-28所示，

已知轴的转速n=100r/min,传递功率P=7.5kW,最大切应力为40

MPa。试选择实心轴直径dl和内外径之比为1/2的空心轴外径D2。

解：

A/=9549—=716.175A^-/n

n

MMr-I

r,=——=—r<Irl

6里L

16

MMr-1

解得：A=l,

D22

4>V91232.48®45nvn

D,>V97314.65«46mm

任务九弯曲变形时的承载能力计算

一、思考题

1.梁的挠曲线形状与那些因素有关？

答：根据挠曲线公式，挠曲变形与所受弯矩、惯性矩和弹性模量有关：

与弯矩成正相关；与惯性矩和弹性模量成负相关

2.梁上弯矩最大的截面，挠度是否也最大；弯矩为零的截面，转角是

否为零？

答：挠度不一定最大；转角不一定为零

梁上弯矩最大的截面，挠度也最大；弯矩为零的截面，转角为零。（错）

3.两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，

则两梁相对应的截面的挠度及转角是否相同？

两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则

两梁相对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料无关。（错）

4.梁的切应力公式与正应力公式推导过程有何不同？

5.已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y（x尸Ax2（41x-612-x2）,

则该段梁上的载荷是什么分布情况？

答：有均布载荷作用

6.提高梁的刚度措施有哪些？

答：选用合理的截面形状、合理安排梁的约束与加载方式等

二、分析计算题

1.图5-70所示钢梁，弹性模量£=2.0x105“7%,具有两种截面形式，

试分布求出两种截面形式下的最大拉、压应力。

2.处于纯弯曲情况下的矩形截面梁，高120mm,宽60mm,绕水平形

心轴弯曲。如梁最外层纤维中的正应变£=7xl0\求该梁的曲率半径。

3.直径d=3mm的高强度钢丝，绕在直径D=600mm的轮缘上，已知

材料的弹性模量E=200Gpa,求钢丝绳横截面上的最大弯曲正应力。

4.图5-71所示梁的许用应力[a]=8.5Mpa,若单独作用30kN的载荷时,

梁内的应力将超过许用应力，为使梁内应力不超过许用值，试求F的

最小值。

5.截面为45a工字钢的简支梁，如图5-72所示，已知材料的弹性模量

E=200Gpa,测得A、B两点的伸长为0.012mm,问施加于梁的F多

大？

6.用积分法求如图5-73所示梁A截面的挠度和B截面的转角。

解：OA段，02W//2,M(x)=9+px,

AB段，l/2<x<l,pl,

(}三x+葭且

*3=Jdx=2：-+q,*(%)=,(x)公___+C.X+D,,

CJLCJLJLLL

令T,则咽=鸣，咽=吗

pF

D「DPF

8EI248£7

A处有4(0)=0，/(x)=0,解得G=0,2=0

(、匹X+E》2/F+KJ

4(x)=J疝=22_,小(x)=Ja(x)i/x=~—

ClLli1d

&⑴=f必@公=池-心，叱(x)=®(*x=应+工

2-JEIEI8EI2-J2-2EI48E/

%(/)=pF

12EI

7.简支梁受三角形分布载荷作用，如图5-74所示。

(1)试导出该梁的挠曲线方程。

(2)确定该梁的最大挠度。

解:

AB段M(尤)=Jq=

K)=J誓八。尤4।

\2EIl

qx5

“x)=j0[x}dx=+cx+D

60Ell

d

有”0)="/)=0,则£>=0,

60E/

5

小)qxqPx

60E//60£7

w'(x)=0,有x=—j=

V5

1q「

%ax

近75EI

8.如图5-75所示桥式起重机的最大载荷P=20kN,起重机大梁为32a

号工字钢，E=210GPa,1=8.76cm0规定[f]=l/500,试校核梁的刚度。

解：

i500F/2500X10X103X(8.76X102)2…口&加

而=48X2I0X]()9X；1080X1/5两足条件

9.如图5-76所示结构中梁为16号工字钢，其右端用钢丝吊起。钢拉

杆截面为圆形，d=10cm,E=200GPa。试求梁及拉杆内的最大正应

力。

解：对杆有4=检，A=Q,。=工

EA4A

对梁有，B端挠度%=-4，

B端挠度可分为均布载荷作用与末端集中作用,

%=卬]+w2

心,叫=乙丘

18E/23E1

弘4

得尸产/呼/=]4.9%N

、3EIEX）

从B至UA,M（x）=FNX-^~

pM

M=—，^^=79.68MPa

mdXac2qIlldAw

杆bm,x=g=L91〃Pa。

模块六组合变形

任务十拉压和弯曲组合变形时的承载能力计算（P183）

一、简答题

1.什么叫组合变形？

答：杆件的变形是由两种或两种以上的基本变形的组合时，称为组合

变形。

2.什么是截面核心？怎样画出一截面的截面核心？

答：采用使偏心压力P向截面形心靠近（即减小偏心距ey,ez）的办

法，可使杆横截面上的正应力全部为压应力而不是拉应力。当偏心压

力作用在截面的某个范围以内时，中性轴的位置将在截面以外或与截

面周边相切，这样在整个截面上就只会产生压应力。通常把截面上的

这个范围称为截面核心。要求其截面核心时，首先应选择通过截面形

心的主轴Oy与Oz为坐标轴，然后过截面周边上的任意一点F作与

周边相切的中性轴f—f,并求出它在两坐标轴上的截距ay和az,将

ay与az代入式（284）求得ey和ez,它们就是与中性轴f—f相对

应的偏心压力作用点F的坐标。按照同样的方法，由与截面周边相切

的一系列中性轴，可求得一系列偏心压力作用点，将这些点按顺序连

接起来得出的闭合图形（如图2-159中阴影部分）即为我们要求的截

面核心。

3.如图6-19（a）所示为一正方形截面杆受到轴心拉力P作用。若将

力P沿OA线平移到截面边缘中点如图（b）所示，或将力P沿对角

线OB平移到截面角点B如图（c）所示，问杆内的应力将怎样变化？

答：（a）中杆截面受到拉伸所产生的正应力；（b）中除了拉伸的正应

力外，还要叠加上弯矩Pa/2所产生的应力；（c）则在拉伸的正应力

外叠加上弯矩0.71Pa所产生的应力。

4.如图6-20（a）所示为一正方形截面的短柱受到轴心压力P作用，图（b）

表示将柱的一侧挖去一部分，图（c）表示将柱的两侧各挖去一部分。试

判断三种情况下短柱中的最大正应力的大小及位置。

答：a）应力处处相同；b）应力最大处位于缺槽截面；c）应力最大

处位于缺槽截面。

二、分析计算题

1.试证明对于矩形截面梁，当集中载荷P沿矩形截面的一对角线作用

时，其中性轴将与另一对角线重合。

Psin2-Z-yPcos2-7-z

解：<7,=-----7---，%=---------；---

1bh_32协3

1212

\2pl(sin2-ycos2•zA八

a,+a,=————5-^-+——%—=0,

12hb<h2b2)

即为中性轴，有y=-^z,即为另一对象线。

b

2.如图6-21所示为一浆砌块石挡土墙，墙高4m。已知墙背承受的土

压力Pa=137kN,且其作用线与竖直线之间的夹角a=45.7。，浆砌块

石的密度pl=2.345xl03kg/m3,墙基混凝土的密度p2=2.396><103

kg/m3,其他尺寸如图所示。试取1m长的墙作为计算对象，求墙A、

B、C、D各点处的正应力。

解：

叱=p、x4x0.6xlx9.8=55.15女N,W2=p、xgx4x1.6x1x9.8=73.54ZN,

W,=0*0.5x3xl=3.59ZN,N=Wt+弘+?,sin45.7=226.74AN,

对横截面AB的形心力矩为：

M=叱x0.8—%x0.03+。sin45.7x1—以cos45.7x(l.l-cot68.2)

=44.12-2.2+98+29.72=1102N-m

bh?

W=——=0.807"7,A=2.2m2,

6

NM226.74110.2

%A*w2.20.807

NM226.74110.211R1pe

O'D——1—11.OKriu,

BAW2.20.807

同理，对于横截面CD有

_N'M'_N+W^Wx0.7-Wx0.13+^,sin45.7xl.25-^cos45.7(1.2-cot68.2)_

cy~+,2*-1AKf

cAWA1.0x3.02

6

N'M'

crD=­--=20.18A:Fao

DAW，

3.如图6-22所示为一渡槽的空心墩。已知：墩上承受的水重W3=2400

kN,渡槽槽身重W2=2143kN,在截面AB以上部分墩身的自重Wl=5

115kN,风压力对截面AB上y—y轴产生的力矩My=7514kN-m,

截面AB的面积A=4.67m2,抗弯截面模量Wz=6.42m3。试求作用

在截面AB上的最大正应力和最小正应力。

解：FN=Wt+W2+W3=965SkN,

M,=7514kN-m,A=4.67m2,

mm_F.My9658,7514_3.2MP。

umaxA-w4.67-6.420.9MPa

z

4.如图6-23所示为某渡槽刚架的基础。已知：该结构受到由柱子传来

的弯矩M=110kN-m,轴力Nl=980kN,水平剪力Q=60kN,基础的

自重和基础上土重的总重N2=173kNo试作出在基础底面的反力分布

图（假定反力是按直线规律分布的）。

1、般:AD御土

N。M+A/vAV

向二夕6。川

仿二

个付

65MM,”邻小

冲加第/“？淋

gO.Y

解：在AB面上,

FN=FNI+F^=1153kN,h=Q=⑴kN,M'=M+Q-l=170kN-m,

b=&=133.45kPa,b2=^^

\?>.12ykPa,

1A2I.

/max=18.22X1.8=32.8(RPa

max_166.25kPa

一巧一

CTmin^2max100.65女尸。

5.如图6-24所示的混凝土重力坝，剖面为三角形，坝高h=30m,混

凝土的密度为2.396x103kg/m3o若只考虑上游水压力和坝体自重的

作用，在坝底截面上不允许出现拉应力，试求所需的坝底宽度B和

在坝底上产生的最大压应力。

解：G==gp'hBg,p=pgh,

ph1

7'介（一依

6

B

RM-G

19.38m

6

„M-G-

a=£+---------61.69M&。

maxAB2

6

6.如图6-25所示，链条中的一环，受到拉力P=10kN的作用。已知

链环的横截面为直径d=50mm的圆形，材料的许用应力[o]=80MPa。

试校核链条的强度。

M=P（60+-1

解：FN=P=\QkN,xlO3=850N，m,

5川=以+竺=与+4=74.39<[a]，满足强度条件。

maxAW7id2L」

7IT

7.受拉构件形状如图6-26所示，已知截面尺寸为40mmx5mm,通过

轴线的拉力P=12kN。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材

料的[o]=100MPa时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截

面的应力变化图。

M

°max<[b],解得A-5.21mm,

（40-x）-55x（40-x）2

6

M

cr=7------------------—=37.09MPa

m，hn(40-力55x(40-疗

6

8.一圆截面直杆受偏心拉力作用，偏心距e=20mm,杆的直径为70

mm,许用拉应力［o］为120Mpa,试求此杆的许可偏心拉力值。

P

解：5nax

1位2小欣,

412

得，PW14Q48AN。

9.求图6-27中杆内的最大正应力（力P与杆的轴线平行）。

解：固定端左下角正应力最大，设中性轴z到T底端距离为近则

,4。•。•2a+4。•2。•5。.

n=-------------------=4a,

4。•。+4。•2。

PP

14a-2a+a-4a12a2

,2a(4aF4a•/,,4P-2a-2a4P

I=--——+-----=11/,02max

7Y121211/

>'

4a(2aV..a•(4a)'__Pa-Aa_P

=—~~+2a-4a-a2+—~~=32«4，

,1212maxT.—-二

=0.574"51P

Gmax—+02max+^,3max

a264a2

10.试画出如图6-28所示截面的截面核心。

“品：@1）.q

Ir竿/罕寸零;”〃加用

心为/*3⑶

—Q邓,卜外也的

任务十一扭转和弯曲组合变形时的承载能力计算

一、思考题

1.如图6-40结构由三段组成，AB杆为y方向，BC杆为水平x方向，

CD为水平z方向。三杆在Pl、P2共同作用下，试分析各为何种组

合变形。

答：CD杆发生弯曲，AB、BC杆产生拉压、弯曲和扭转的组合变形。

2.圆形截面杆，在相互垂直的两个平面内发生平面弯曲，如何计算截

面上的合成弯矩？

答：可以将这两个平面弯曲合成为斜弯曲。

3.在图6-41中各梁的横截面上，画出了外力的作用平面试指出

哪些梁发生平面弯曲，哪些梁发生斜弯曲？

答：第一个和第十个发生平面弯曲，其他发生斜弯曲。

4.对处在扭转和弯曲组合变形下的杆，怎样进行应力分析，怎样进行

强度校核？

答：各种应力的最不利最后情况可得会发生在最大弯曲和最大扭矩所

作用的横截面的边缘处，需要对这些位置进行应力分析。首先应及时

出危险截面上某些危险点处的主应力，再根据所选择的强度理论，列

出相应的强度条件，进行强度校核。

二、分析计算题

1.如图6-42所示，一木悬臂梁，梁长，=2m,矩形截面8X/?=0.15mX

0.3m,集中荷载P=800N,要求：（1）计算。为0°和90°时的最大

拉应力，并指出最大拉应力发生的位置。（2）计算1为45°时的最大

拉应力，并指出最大拉应力发生