考研数学强化阶段重要题型攻略高等数学十六

钻石卡指导：2012考研数学加强阶段重要题型攻略之高等数学（十六）万学海文在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比许多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研指导专家们在此给出有关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下边，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转变为数项级数敛散性的鉴别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，往常有以下两种情况．【方法一】假如幂级数为标准形anxn，则可直接利用公式，由lim|an1|，得收敛半径为R1，收敛区间为(R,R)．nann0【方法二】假如幂级数为缺项幂级数，如a2nx2n,a2n1x2n1，则不可以直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数n0n0un(x)，由比值鉴别法，先求(x)lim|un1(x)|，再令(x)1，解出的取值范围，即为收敛区间．收敛区间长度的一半即为收敛半径．n1nun(x)求得收敛区间

(a,b)后，再观察数项级数

un(a)

与

un(b)

的敛散性，即可获得收敛域，需注意的是：n1

n1（1）一般不可以用比值法或根值法判断级数un(a)与un(b)的敛散性．n1n1（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变．【例1】下边有四个命题：①若anxn的收敛域为[R,R]，则幂级数nanxn1的收敛域为[R,R]．n0n0②设幂级数

anxn在x

2处条件收敛，则它的收敛半径

R2．n0③设幂级数

anxn,

bnxn的收敛半径分别为

R1,R2，则

(an

bn

)x

n的收敛半径为

R

min{R1,R2}．n0

n0

n0④设an0，且知足an11(n1,2,3,)，则an收敛．ann0这些命题中正确的个数是（）．A．0B．1C．2D．3解对于命题①，取anxnxn，其收敛域为[－1，1]，但nanxn1的收敛域为[－，），所以①不正确．n1nn11n0n1对于命题②，设幂级数anxn的收敛半径为．若R2，因为对知足|x|R的随意，级数anxn绝对收敛，进而推出an(2)n绝对n0n0n0收敛，这与已知矛盾；若R2，因为对知足|x|R的随意，级数anxn发散，进而推出an(2)n发散，也与已知矛盾．所以R2，②n0n0正确．对于命题③，当R1R2时，Rmin{R1,R2}，于是要观察R1R2的情况．设有两个级数(11)xn,(1)xn，易求得它们的收敛半n1n2nn1n径为R1R21，但[(11)xn1xn]1xn的收敛半径为R2，所以③不正确．n1n2nnn12n对于命题④，这里要注意，对于正项级数an，若极限liman1存在，且liman11，则级数an收敛．但an11与liman11有nananannann0nn0实质差别，由an11可能得liman11，这时比值鉴别法无效．比如：取an1anan，则nn

an1n，但an发散，所以命题④不正确．an1n1n0综上所述，可知应选B．【例2】设幂级数an(x1)n的收敛域为（－4，2），则幂级数nan(x3)n的收敛区间为______．n0n0解设tx1，则由题设知幂级数antn的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数nantn1的收敛半径也是3，明显，幂级数nantnn0n1n0有同样的收敛半径3．由|x3|3，可得幂级数nan(x3)n的收敛区间为（0，6）．n0【例3】级数(1)n8n3n2的收敛域为______．n1nln(n3n)xun1(x)(n1n13n)3n1解limlim1)8nln(nx3|,un(x)(1)n8n(n1)ln[(n1)3(n3n28|xnn1)]x故当1x1时，原级数绝对收敛．22又当x1时，有2(1)n8nx3n2(1)n4,n1nln(n3n)n1n1n(n3n)此级数知足交织级数收敛的条件，故原级数在x1处条件收敛．21时，原级数化为4，此级数是发散的，故该级数的收敛域为11]．当xn1nln(n3(,2n)22(x2)n【例4】幂级数n1n2n的收敛域为______．解因为lim|alim|n2n，n1|(n1)2|1nann(n1)11，进而