例说常用三角恒等变换技巧

例说常用三角恒等变换技巧【摘要】解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。【关键词】三角公式恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。1“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1( 兀、已知例1( 兀、已知cosx+—=I 4丿sin2x+2sin2x求1-tanx的值。【分析】考虑到“已知角”是x+7，而“未知角”是x和2x，注意到x=可直接运用相关公式求出sinx和cosx。37【简解】因为丁兀＜x＜兀,44sinx=sin7sinx=sin7冗'冗冗x+一———=sinx+—cos—_cosx+—V4丿4_V4丿4V4丿.兀sin=一47f270-'( 兀'33兀兀 C •( 兀'x+—=匚>0，所以—<x+—<2兀，sinx+—1 4丿5241 4丿又因为cosTOC\o"1-5"\h\z2sinxcosx+2sin2x 28tanx=7.原式= =_:1_tanx 75【反思】（1）若先计算出cosx=_计，则在计算sinx时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出sinx和cosx.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2x=2匸+x]V4丿_万，运用诱导公式和倍角公式求出sin2x。

例2已知tan(例2已知tan(a+卩)=九tan(a-卩)，其中九鼻1，求证:sin2a 九+1sin2P 九一1【分析】所给条件中出现的“已知角”是a+卩与a-卩，涉及的“未知角”是2a与20,将三个角比较分析发现2a=(a+卩)+(a-卩)，2卩=(a+卩)-(a-0)，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。sin2asin[(a+0)+(a-0)]【简证】禹不=sin[(a+p)-(a-p)]sin(a+0)cos(a-0)+cos(a+0)sin(a-0)sin(a+0)cos(a-0)-cos(a+0)sin(a-0)tan(a+0)+tan(a—0)九tan(a—0)+tan(a—0)九+1tan(a+0)—tan(a—0)九tan(a—0)—tan(a—0)九一1【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；(2)本题也可由已知直接求出tana与tan0的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有: a(a+0)-0，a(a-0)+0，2a+0= +0)-0,2a—0二2(a—0)+0，叟+a=——(——a)，75。二45。+30。4 2 4等.求f(x)=a-b的定义2求f(x)=a-b的定义例3已知向量a-(1-tanx,1)，b=(1+sin2x+cos2x,0)域和值域；【分析】易知f(x)=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】f(x) (1-tanx)(1+sin2x+cos2x)1-血xX+2sinxcosx+2cos2x-1)Icosx丿2(cosx2(cosx-sinx)(cosx+sin二2cos2x兀由cosx主0得，x丰k兀+―，keZ,2cos2x-2所以，f(x)=2cos2x.的定义域是jx|x丰k兀+壬,ke ,值域是(-2,2】.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.sina一cosa sinp例4已知a,卩都是锐角，且tanp= ，求 的值。sina+cosa sina一cosa【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.TOC\o"1-5"\h\zsina- 兀一1 tana -tan—【简解1】显然cosa0【简解1】显然cosa0时，tanp=sina-- 兀cosa+1 1+tanacosa4因为a,卩都是锐角，所以卩"-扌sinp所以， = sina一cosa 氓.2sisinp.( 冗、sina_—I 4丿sinp所以， = sina一cosa 氓.2sisinp.( 冗、sina_—I 4丿=昱=~2sinp sina-cosa【简解2】由cosp=snka得'sinpcospsin一cossin+coscosp设•血=.…尸=A，则sin一cossin+cossin2P+cos2P=A2lina一cosa》+(sina+cosa》］所以，2A2=1，sinpsin一cos【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.3“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如1=sin2x+cos2x，1=tan45°，<3=tan才等.1一sin6x一cos6x3 .小口例5(1)求证： =；(2)化简：sin2x+i：3cos2x.1一sin4x一cos4x2分析】第(1)小题运用1=sin2x+cos2x3和1=sin2x+cos2x2把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的y=Asin6x+申)的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.“ ,(sin2x+cos2x)3-sin6x-cos6x【简解】⑴左边=(sin2x+cos2x)2-sin4x-cos4x3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)_3TOC\o"1-5"\h\z2sin2xcos2x 2兀2)原式=sin2x+tan—cos2xsin sin2xcos+cos2xsin_2sin2x_2sin2x+—I3丿_sin2x+ -cos2x_—\o"CurrentDocument"兀 兀cos cos—3 3反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了1_sin2x+cos2x把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了1_tan45°，把分式变成了整式.“边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例6在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 2a sinA = （2b+c）sinB+（2c+b）sinC，2asinA_（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（1）求角A的大小；（2）若sinB+sinC_1，证明AABC是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。abc【简解】（1）（角化边）由正弦定理_ _得，sinAsinBsinC2a2_（2b+c）b+（2c+b）c，整理得，a2_b2+c2+be，b2+c2一a2 1 小， *2兀2bc所以cosA_ _--，因为0<A<兀，所以A_-—2bc2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，2sin2A_(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC即2sin2A_2(sinB+sinC)2-2sinBsinC，从而sinBsinC_—,4又sinB+sinC_1，所以sinB_sinC_—2所以B_C，AABC是等腰三角形.兀 兀法二：由（1）知B+C_—，C_3—B，代入sinB+sinC_1得,

cosB-1sinB=1，所以sinJB〕2 13丿兀 兀所以B=三，C=2，AABC是等腰三角形.66【反思】第(1)小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第(2)小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件sinB+sinC=1化为边的关系，而把条件2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.“升降幕变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幕公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幕用“降幕”技巧，常见的公式有：1土sinx=xxsin土cos—22丿〕2,1+cosx=2cos212x1-cosx=2sin2-，可以看出，从左至右是“幕升角变半”，而从右至左则是幕降角变倍”例7化简：、订+sin6+、i-sin6分析】含有根号，需“升幂”去根号.d I【简解】原式=Jsin23+cos23+2sin3cos3+vsin23+cos23-2sin3cos3=|sin3+cos3+|sin3一cos3|3兀 L( “因为——<3<兀，所以sin3+cos3=^2sin3+—<0，sin3-cos3>0，4所以，原式=-(sin2+cos3)+(sin3一cos3)=-2cos3.例8求函数f(x)二2sin2例8求函数f(x)二2sin2分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幕”后“角变倍，”与第二项的角一致..TOC\o"1-5"\h\z(n '【简解】丁f(x)=1-cos-+2xV2 丿・・・nW2x-彳W普，即2W1+2sin(2x-子3,・・・f(x) =3,f(x) =2.max min

【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.“公式变用”技巧. sin2a sin2a几乎所有公式都能变形用或逆向用，如sma= ,cosa=—2cosa 2sinatana土tanP=tan（a±P）（+tanatan卩）等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幕”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例9求值：（1）cos20°cos40°cos60°cos80°；（2）tan70°—tanl0°— tan70°tanlO°。【分析】第（1）小题中，除60。是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式;第（2）小题中两角差为60。，而^3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。sin40。sin80。 sinl60。 sinl60。 l【简解】（1）原式= cos60。 = =-o2sin20。2sin40。 2sin80o16sin20。16（2）原式=tan（70°—10。）（1+tan70°tan10°）3tan70°tan10°=*3。【反思】第(1)小题的一般性结论是：cosacos2a—cos2n-1a=:in2"a\ieNJ.2nsina例10求证：tanxtan2例10求证：tanxtan2x+tan2xtan3xH btannx=tannx-ntanx【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.【简证】因为tanx【简证】因为tanx=tantankx-tan(k-1)x1Htankxtan(k-1)xk=2,3,4,…,n所以tan(所以tan(k-1)xtankx=tankx-tan(k-1)xtanxtan2x-tantan2x-tanx左边=—tanxtan3x-tan2x+tanxtan4x-tan3x+tanxtannx-tan(n-1)x-ntanxtannx= -ntanx【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.“辅助角变换”技巧通常把asinx+bcosx=\a2+b2sin（x+申）叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为y=AsinCdx+申）的形式,来研究其图象与性质.尤其是当b=±1，其是当b=±1，土民要熟记其变换式，如sinx+cosx=<2(sinv'3sinx一cosx=2(sinx一一等.v'3sinxI6丿1+sinx例11求函数y= 的值域.3+cosx【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了asinx+bcosx，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.1+sinx【简解】由y= 得3y+ycosx=1+sinx,所以sinx-ycosx=3y-1，3+cosx从而卫+y2sin(x+申)=3y-1,y1其中辅助角P由sinp=- ，cosp= 决定.3-1解得0-y-4.3-1解得0-y-4.所以，由|sin(x+p)=—+tanytanav'1+y2【反思】(1)解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化

为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.(2)辅助角公式的形成，也( b )可以看成是“常数变换”的结果.事实上，asinx+bcosx=asmx+—cosx，可设I a 丿b-=tanp，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”a“换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现sinx+cosx(或sinx-cosx)与sinxcosx,这时，可设t设t二sinx+cosx(或t二sinx-cosx),t2-1 1-t2贝ysinxcosx= •(或sinxcosx= )，22(xeo,—kk2丿丿sinx-cosx的值域．sinx-cosx的值域．例12求函数yJ.1+sinx+cosx,所以tw(1，■2],【分析】同时出现sinx+cosx与sinxcosx时，可用(sinx+cosx,所以tw(1，■2],sinx+—I4丿【简解】设sinx+cosx=t，因为0<x< sinx+—I4丿^2又由(sinx+cosx》=1+2sinxcosx得,sinxcosx=~2~，12-1

sinx-cosx -2~t-1所以，y= =-=1+sinx+cosx1+1 2■— ,'2—1由tg（1八迈］得，0<y<'2 .【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式（sinx+cosxZ二1+2sinxcosx应用广泛，如在解答命题“已知sin9，cos9是方程x2-kx+k+1=0的两根，求k的值.”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。例13x-y y-z z-x x-yy-zz-例13++=..-1+xy1+yz1+zx1+xy1+yz1+zx【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设tana=x,tan卩=y,tany=z,因为C—卩）+（B—Y）=a—丫，所以tanKa—B)+(|3—y)]=tan(a-y),比(^)鴛-;]=tan^一丫)，变形整理得tan(a—P)+tan(P—y)+tan(y—a)=tanCx—P)tan(P—y)tan(y—a)所以，tana-tan卩+tan卩-tany+tany-tana所以，1+tanatanP 1+tanPtany 1+tanytanatana-tanP1+tanatanPtanP-tany1+tanPtanytany