隐函数及参数方程所确定的导数

一、隐函数的二、参数方程求导1一、隐函数的定义由方程F(x,y)0所确定的函 yy(称为隐函数yfx形式称为显函数F(x,y) yf(问题1:隐函数是否可导

隐函数的问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导2隐函数求导例 求由方程eyxye0所确定的隐函y的导数dy,

x解方程两边对x求导将y看成中间eydyxdyy 又x0时，y

dy y xe

eedxx

xe

xy3例2设曲线C的方程 x3y33xy,求过C 点 )的切线方 ,并证明曲 C在该 的法线通过原 解方程两边对x求导,3x23y2y3y3

y

(3,32

y2

(3,32所求切线方程为y3x

xy3法线方程y3x

yx,显然通过原点4例3设fx)可导，且fx)1,yyx由yfx由yfxy)两边对xyf(xy)(1 y f(x 1f(x

1f(x5二、由参数方程所确定的函数的y(t若参数方程x(t)确y(t称此为由参数方程所 定的函数消参

例 1tyx

y1ty2

2t消 或无法消参的求导可用复合函求导方 1.x(t在方

yty(t中)设函数x(t)具有单调连续的反函数t1y[1(x)]再设函数x(t),y(t)都可导且(t由复合函数及反dydydtdy1(t

dydt(t

(t

(t7xacos 例8

ybsin

在t

4处的切线方程 dy

dy bdxt 4当t时,x2 y24 所求切线方程为y

22bb(x 22 即aybx 8ya(1cost)例 求摆线：xa(tsint)(0ya(1cost)的切线方程

t2aaa(2解：dydydt asint cott dxdt a(1cost) 又txa(1),y

k

t2

cot4 切线方程：yax 极坐标系，如r极径，xryr

C:rr( P(r,r 极坐标系中曲线C的方程为rr(若将极坐标系中曲线C的方程rr()的方程C:y C:xr()yr()

(为参数极坐标系中常见曲线的方程有ra,racosrasin（a为圆的半径对数螺线：r螺线r心形线：ra(1cosra(1sin)四叶玫瑰线：rasin2,racos2双扭线：r2a2cos2,r2a2sin2

sin

0

0

e

6420

0

4sin2

3210

4sin3

3210

0

四叶玫瑰 三叶玫瑰

0

41cos

0

心脏

曲线C的方程y f(x

rr(

C:rr( P(r,r转换关xrryr设在极坐标系中函数(曲线)为 rr(

xr()yr()

(为参数dydyd[r()sin dx [r()cos

r()sinr()r()cosr()例1求心形线ra(1cos)在处的切线方程2解心形线的参数方程 axa(1cos)xya(1cos) xdy[a(1cos)cos]coscos [a(1cos)sin sinsin2时，x0,ya,k 22切线方程为:ya

dx例2设yyx)由极坐标re确定，求6420 6420ye (esin

cos

e coscoscossin

cossin(ecos e(cossin隐函数求导法则:直接对方程两边求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则x(ty(t

dydy/dt(t) dx/ (t

d2 dx dxxr()

d((t)yr()

(为参数

(tdydyd[r()sin dx [r()cos 设x(t)，由

(t

((t)y(t

(t

(t)，对吗？(t思考题不对ydy

dyx

(t

t t

(t)

(t一、填空

1、设x32x2y5xy25y10确定y是x的函d2数

dx2、曲线x3y3xy7在点（1，2）处的切线方程 ytsin 3、曲线xtcost在tytsin xetcos4、已知

,则dy

ye

sin

t35、设xyexy,则dy= 二、求下列方程所确定的隐函数yd2 1y1xe 2ytan(x

xyy (x0，yxyy三、用对数求导法则求下列函数的：1y

x2(32、y (xxsinx1xsinx1ex四、求下列参数方程所确定的函数的二ybsin1、xybsin

d2：dxy (t)f2、xf(ty (t)fxln(1t2三阶导

d3.dx六、设f(x)满足f(x)2f(1)3，求f( 七、在中午十二点正甲船的6公里/小时的速率向东率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多八、注入水深8米，上顶直径8米的 其速率为每分钟4当水深为5米时，其面上升的速率为多练习 6x4xy8xy20yy10x(y)2一、1 10xy2x2 2、x11y23

3、

xy

234、sintcost,23

5

exy.二、1

costsinte2y(3y)；(2

xex2、-2csc2xy)ctan3xy(lny1)