高考数学新设计大一轮复习第四章三角函数解三角形第1节任意角蝗制任意角三角函数习题理含解析新人教A

第1节随意角、弧度制及随意角的三角函数最新考纲1.认识随意角的观点和弧度制的观点；2.能进行弧度与角度的互化；理解随意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理角的观点的推行(1)定义：角能够当作平面内的一条射线绕着端点从一个地点旋转到另一个地点所成的图形.按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.(2)分类按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(3)终边同样的角：全部与角α终边同样的角，连同角α在内，可组成一个会合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.公式l角α的弧度数公式|α|＝r(弧长用l表示)角度与弧度的换算π1801°＝180rad；1rad＝π°弧长公式弧长l＝|α|r112扇形面积公式S＝2lr＝2|α|r1随意角的三角函数(1)定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosαy＝x，tanα＝x(x≠0).(2)几何表示：三角函数线能够看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.[微点提示]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.π若α∈0，2，则tanα>α>sinα.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采纳的胸怀制度一定一致，不行混用.象限角的会合基础自测判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )2(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边必定同样，终边同样的角也必定相等.( )0，π分析(1)锐角的取值范围是2.第一象限角不必定是锐角.顺时针旋转获得的角是负角.终边同样的角不必定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点(8，3)，且cosα＝－4，则的值为( )Pm5m1133A.－2B.2C.－2D.2分析由题意得<0且8m＝－4，解得＝－1.m（8m）2＋325m2答案A3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，全部与角α＝45°终边同样的角β组成的会合为________.分析全部与角α终边同样的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}3tanθ4.(2019·衡水模拟)若sinθ·cosθ<0，sinθ>0，则角θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角tanθ1θ>0，故cos分析由sinθ>0，得cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2018·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.分析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·武汉模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________.分析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，－x由三角函数的定义得tanα＝x＝x＝－1.答案－1考点一角的观点及其会合表示α【例1】(1)若角α是第二象限角，则2是( )A.第一象限角B.第二象限角4C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的会合为________.分析(1)∵α是第二象限角，∴π＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，2παπ∴4＋kπ＜2＜2＋kπ，k∈Z.α当k为偶数时，2是第一象限角；α当k为奇数时，2是第三象限角.(2)如图，在座标系中画出直线y＝3x，能够发现它与x轴的夹角是π，在[0，2π)内，终3边在直线y＝3x上的角有两个：π423，3π；在[－2π，0)内知足条件的角有两个：－3π，552π4－3π，故知足条件的角α组成的会合为－3π，－3π，3，3π.52π4答案(1)C(2)－3π，－3π，3，3π规律方法1.利用终边同样的角的会合求合适某些条件的角：先写出与这个角的终边同样的全部角的会合，而后经过对会合中的参数k赋值来求得所需的角.若要确立一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，而后再依据α所在的象限予以判断.【训练1】(1)设会合＝x|x＝k·180°＋45°，k∈Z，M2＝x|x＝k·180°＋45°，k∈Z，那么()N4A.M＝NB.M?N5C.N?MD.M∩N＝?(2)已知角α的终边在如下图暗影表示的范围内(不包含界限)，则角α用会合可表示为________.k而N中，x＝k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，所以必有M?N.4(2)在[0，2π)内，终边落在暗影部分角的会合为π54，6π，π5π所以，所求角的会合为α|2kπ＋4<α<2kπ＋6，k∈Z.π5π答案(1)B(2){α|2kπ＋4<α<2kπ＋6，k∈Z}考点二弧度制及其应用典例迁徙【例2】(经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π，R＝10cm，3求扇形的面积.π，R＝10，解由已知得α＝3121ππ2∴S扇形R＝(cm).2233【迁徙研究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.ππ解l＝α·R＝3×10＝3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形112π＝2·l·R－2·R·sin36110π123＝2×3×10－2×10×2＝50π－753(cm2).3【迁徙研究2】若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0<R<10)，1122所以S＝2lR＝2(20－2R)R＝10R－R＝－(R－5)＋25，所以当R＝5cm时，S获得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.规律方法1.应用弧度制解决问题的方法：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位一定是弧度；求扇形面积最大值的问题时，常转变为二次函数的最值问题，利用配方法使问题获得解决.2.求扇形面积的重点是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的随意两个量.【训练2】(一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的优秀代表作，此中《方田》章12给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝2(弦×矢＋矢)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆2π心角为3，半径等于4米的弧田，依据上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米7分析法一如图，由题意可得∠＝2π，＝4，在Rt△中，可得∠＝π，∠DAOAOB3OAAODAOD3＝π，＝1＝1×4＝2，于是矢＝4－2＝2.6OD2AO2由AD＝AO·sinπ33，得弦AB＝2AD＝43.3＝4×2＝21212所以弧田面积＝2(弦×矢＋矢)＝2×(43×2＋2)＝43＋2≈9(平方米).12122π16π1法二由已知，可得扇形的面积S1＝2rθ＝2×4×3＝3，△AOB的面积S2＝212π×OA×OB×sin∠AOB＝2×4×4×sin3＝43.16π故弧田的面积S＝S1－S2＝3－43≈9(平方米).答案B考点三三角函数的观点【例3】(1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点ππPsin3，cos3，则sin(π＋α)＝()3113A.－2B.－2C.2D.2cosα(2)若sinαtanα<0，且tanα<0，则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角分析(1)易知sinπ＝3，cosπ＝1，则P3，1.32322281sinα＝21由三角函数的定义可得＝2，32122＋21则sin(π＋α)＝－sinα＝－2.cosα(2)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角；由tanα<0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.答案(1)B(2)C规律方法1.三角函数定义的应用直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确立这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，能够经过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.三角函数线的应用问题的求解思路确立单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，而后求解.【训练3】(1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的极点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆订交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为34435，5和－5，5，则cos(α＋β)的值为( )24724A.－25B.－25C.0D.251(2)知足cosα≤－2的角α的会合为________.93443分析(1)由三角函数的定义可得cosα＝5，sinα＝5，cosβ＝－5，sinβ＝5.24所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－25.(2)作直线x＝－1交单位圆于，D两点，2C连结OC，OD，则OC与OD围成的地区(图中暗影部分)即为角α终边的范围，故知足条件的角α的会合为2k24απ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z33.24答案(1)A(2)α|2kπ＋3π≤α≤2kπ＋3π，k∈Z[思想升华]1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，若有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r必定是正当.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是表现数学直观想象核心修养.[易错防备]1.注意易混观点的差别：象限角、锐角、小于90°的角是观点不一样的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边同样，但终边同样的角不必定相等.3.已知三角函数值的符号确立角的终边地点不要遗漏终边在座标轴上的状况.10基础稳固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.给出以下四个命题：π4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象①－4是第二象限角；②限角.此中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3π4ππ4π分析－4是第三象限角，故①错误.3＝π＋3，进而3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，进而③正确.－315°＝－360°＋45°，进而④正确.答案C9π2.以下与4的终边同样的角的表达式中正确的选项是()9A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋4π(k∈Z)5πC.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋4(k∈Z)9π9π分析与4的终边同样的角能够写成2kπ＋4(k∈Z)，可是角度制与弧度制不可以混用，清除A、B，易知D错误，C正确.答案C37π3.已知角α的终边经过点(m，m)，若α＝3，则m的值为( )11A.27B.27C.9D.9117π31分析∵tanm－13＝27，＝＝m－＝3，∴m＝33m61∴m＝27，应选B.答案B4.(2019·石家庄模拟)已知点M在角θ终边的反向延伸线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为( )A.(2cosθ，2sinθ)B.(－2cosθ，2sin)C.(－2cosθ，－2sinθ)D.(2cosθ，－2sinθ)分析由题意知，M的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cosθ，－2sinθ).答案C5.设θ是第三象限角，且cosθθθ2＝－cos2，则2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角θ分析由θ是第三象限角，知2为第二或第四象限角，∵cosθ＝－cosθ，∴cosθ<0，综上知θ为第二象限角.2222答案B已知角θ的极点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )4334A.－5B.－5C.5D.5分析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ.122221将其代入sinθ＋cosθ＝1中可得cosθ＝5，23故cos2θ＝2cosθ－1＝－5.答案B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A(2，1)，则sin32π－α＝()255525A.－5B.－5C.5D.5分析由三角函数定义，cosα＝225＝5，55则sin2π－α＝－cosα＝－5.3答案A8.已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π，cos2π，则角α的最小正当为( )335π2π5π11πA.6B.3C.3D.6由题意知点P在第四象限，依据三角函数的定义得cosα＝sin2π3分析3＝2，故α＝π11π2kπ－6(k∈Z)，所以α的最小正当为6.答案D二、填空题9.已知角θ的终边经过点(4，)，且sinθ＝3，则等于________.Pm5m分析由题意知m>0且sinm3，解得m＝3.θ＝＝16＋m25答案310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.13分析设扇形半径为r，弧长为l，l＝π，πr6则解得l＝3，1π2lr＝3，r＝2.答案π3111.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝5x，则tanα＝________.分析因为α是第二象限角，1所以cosα＝5x<0，即x<0.又cosα＝1＝x5x，x2＋1644解得x＝－3，所以tanα＝x＝－3.4答案－312.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________.分析∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.3a－9≤0，∴∴－2<a≤3.a＋2>0，答案(－2，3]能力提高题组(建议用时：20分钟)14给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制仍是用弧度制胸怀一个角，它们与扇形的半径的大小没关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边同样；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.此中正确命题的个数是( )D.4分析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°π5π时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；因为sin6＝sin6，但π5πcosθ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不6与6的终边不同样，故④错；当是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.答案A14.(2018·全国Ⅰ