高一必修一数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的详细分析式，只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数。因为抽象函数表现形式的抽象性，使得这种问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常有题型及解法评析以下：一、定义域问题例1.已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。解：f(x2)的定义域是［1，2］，是指1x2，所以f(x2)中的x2知足1x24从而函数f（x）的定义域是［1，4］中

评析：一般地，已知函数f(x的取值范围为A，据此求

(x))的定义域是(x)的值域问题。

A，求（fx）的定义域问题，相当于已知

f(

(x))例2.已知函数f(x)的定义域是[1，2]，求函数f[log1(3x)]的定义域。2解：f(x)的定义域是[1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，由此可得1log1(3x)2(1)23x(1)11x112224所以函数f[log1(3x)]的定义域是[1，11]24评析：这种问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f((x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的重点。这种问题实质上相当于已知(x)的值域B，且BA，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（x），同时知足以下条件：①f(2)1，f(6)1；②5f(xy)f(x)f(y)，求f（3），f（9）的值。解：取x2，y3，得f(6)f(2)f(3)因为f(2)1，f(6)14，所以f(3)55又取xy3得f(9)f(3)f(3)85评析：经过察看已知与未知的联系，奇妙地赋值，取x2，y3，这样便把已知条件1与欲求的f（3）交流了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。f(2)1，f(6)5三、值域问题例4.设函数f（x）定义于实数集上，对于随意实数x、y，f(xy)f(x)f(y)总建立，且存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，求函数f(x)的值域。解：令xy0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。若f(0)0，则f(x)f(x0)f(x)f(0)0，对随意xR均建立，这与存在实数x1x2，使得f(x1)f(x2)建立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。因为f(xy)f(x)f(y)对随意x、yR均建立，所以，对随意xR，有f(x)f(xx)f(x)f(x)[f(x)]2022222下边来证明，对随意xR，f(x)0设存在x0R，使得f(x0)0，则f(0)f(x0x0)f(x0)f(x0)0这与上边已证的f(0)0矛盾，所以，对随意xR，f(x)0所以f(x)0评析：在办理抽象函数的问题时，常常需要对某些变量进行适合的赋值，这是一般向特别转变的必需手段。四、分析式问题例5.设对知足x1的全部实数x，函数f(x)f(x)f(x1)1x0，x知足x的分析式。

，求f（x）解：在f(x)f(x1)1x(1)中以x1代换此中x，得：xxf(x1)f(1)2x1(2)xx1x再在（1）中以x1代换x，得1f(1)f(x)x2(3)x1x1(1)(2)(3)化简得：f(x)

x3x212x(x1)评析：假如把x和x1分别看作两个变量，如何实现由两个变量向一个变量的转变是解题关x键。往常状况下，给某些变量适合赋值，使之在关系中“消逝”，从而保存一个变量，是实现这种转变的重要策略。五、单一性问题例6.设f（x）定义于实数集上，当x0时，f(x)1，且对于随意实数x、y，有f(xy)f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：在f(xy)f(x)f(y)中取xy0，得f(0)[f(0)]2若f(0)0，令x0，y0，则f(x)0，与f(x)1矛盾所以f(0)0，即有f(0)1当x0时，f(x)10；当x0时，x0，f(x)10而f(x)f(x)f(0)11所以f(x)0f(x)又当x0时，f(0)10所以对随意xR，恒有f(x)0设x1x2，则x2x10，f(x2x1)1所以f(x2)f[x1(x2x1)]f(x1)f(x2x1)f(x1)所以yf(x)在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所知足的关系式，应看作给定的运算法例，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果有关系。六、奇偶性问题例7.已知函数f(x)(xR，x0)对随意不等于零的实数x1、x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，试判断函数f（x）的奇偶性。解：取x11，x21得：f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0又取x1x21得：f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0再取x1x，x21则f(x)f(1)f(x)，即f(x)f(x)因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。七、对称性问题例8.已知函数yf(x)知足f(x)f(x)2002，求f1(x)f1(2002x)的值。解：已知式即在对称关系式f(ax)f(ax)2b中取a0，b2002，所以函数yf(x)的图象对于点（0，2002）对称。依据原函数与其反函数的关系，知函数yf1(x)的图象对于点（2002，0）对称。所以f1(x1001)f1(1001x)0将上式中的x用x1001代换，得f1()f1(2002)0xx评析：这是同一个函数图象对于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数yf(x)对一确实数x都知足f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f（x）知足：对随意实数m，n，总有f(mn)f(m)f(n)，且当x>0时，0<f（x）<1。1）判断f（x）的单一性；（2）设{(，)|(2)(2)(1)}，xyfxfyfAB{(x，y)|f(axy2)1，aR}，若AB，试确立a的取值范围。解：（1）在f(mn)f(m)f(n)中，令m1，n0，得f(1)f(1)f(0)，因为f(1)0，所以f(0)1。在f(mn)f(m)f(n)中，令mx，nx因为当x0时，0f(x)1所以当x0时x0，0f(x)1而f(x)f(x)f(0)1所以f(x)110f(x)又当x=0时，f(0)10，所以，综上可知，对于随意xR，均有f(x)0。设x1x2，则x2x10，0f(x2x1)1所以f(x2)f[x1(x2x1)]f(x1)f(x2x1)f(x1)所以yf(x)在R上为减函数。（2）因为函数y=f（x）在R上为减函数，所以f(x2)f(y2)f(x2y2)f(1)即有x2y21又f(axy2)1f(0)，依据函数的单一性，有axy20由AB