第一章集合与函数概念测评

第一章集合与函数概念第1课时集合的含义与表示基础梳理元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示.（2）把叫做集合（简称为），通常用表示.2.集合中元素的特征：、、.3.集合相等：只要构成集合的元素就说这两个集合是相等的.4.元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说，记作.（2）如果a不是集合A的元素，就说，记作.a属于Aa∈Aa不属于Aa

A集一些确定的不同的对象看成一个集体集合中的对象a，b，cA,B,C确定性互异性无序性完全相同5.

常用数集及表示符号符号实数集有理数集整数集正整数集自然数集（非负整数集名称NN*(N+)ZQR一一列举写在大括号内把集合元素的共同特性描述出来，写在大括号内（1）列举法：把集合中的元素

出来，并

表示集合的方法.6.

集合的两种表示方法——列举法和描述法（2）描述法：表示集合的方法典例分析题型一集合的判断例1给出命题：①{a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合；②方程

(x-2)=0的解集为{1,1,2}；③2008年北京奥运会火炬手构成一个集合；④所有参加中国2010年上海世博会的国家构成一个集合.其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析

①根据集合中元素的无序性可知，它们是同一集合，故①是错误的；②由集合中元素的互异性知②是错误的；③2008年的火炬手是确定的，而且是互异的，故③是正确的；④所有参加中国2010年上海世博会的国家届时是确定的，故④是正确的.举一反三1.设集合A={1,a,b},B={a,,ab},且A=B,求实数a,b.解析：∵A=B,∴=1或ab=1,且a≠1.①若=1,则ab=b.由=1,

ab=b,

a≠1得a=-1,

b=0.解

B②若ab=1,则=b,由ab=1,

=b,题型二集合的表示方法例2选择适当的方法表示下列集合.（1）e中的所有字母组成的集合.（2）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合.（3）所有正偶数组成的集合.（4）二元二次方程组｛的解集.（5）所有正三角形组成的集合.分析根据集合是有限集还是无限集和元素的特点选取适当的表示方法.解

（1）列举法：{W,e,l,c,o,m}.(2)列举法：{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321}.(3)描述法：{x|x=2k,k∈N*}.(4)列举法：{(0,0),(1,1)}.(5)描述法：{x|x是正三角形}.举一反三2.（1）用列举法表示下列集合：a.{15的正约数}；b.不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：a.正偶数集；b.{1，-3,5,-7,…，-39，41}.解析:（1）∵15的正约数有1，3，5，15，∴a为{1,3,5,15}.∵不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，∴b为{0,2,4,6,8,10}.（2）a为{x|x=2n,n∈N*}，b为{x|x=(-1)n-1·(2n-1),n∈N*且n≤21}.例3已知A={x|x∈R,ax2+2x+1=0},其中a∈R.(1)若1是A中的一个元素，用列举法表示A;(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B;(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围.题型三元素与集合的关系分析（1）根据条件求出a的值，然后再解方程.(2)分a=0和a≠0两种情况讨论.(3)按照集合中元素个数分两种情况讨论.解析：(1)∵1是A中的元素，∴1是方程ax2+2x+1=0的一个根,解得a=-3.方程为-3x2+2x+1=0,∴x1=1,x2=-,∴所求集合A={-,1}.(2)若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-;若a≠0，则当且仅当Δ=4-4a=0,即a=1时，方程有两个相等实根x1=x2=-1,此时集合A中有且仅有一个元素.∴所求集合B={0,1}.(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况:A中有且仅有一个元素，由(2)知a=0或a=1;A中没有元素，即A=,此时a≠0且Δ=4-4a<0,∴a>1.综上可知,a的取值范围是{a|a≥1或a=0}.举一反三3.已知集合A={a+2,,+3a+3},1∈A,求实数a的值.综上所述，a=0.若a+2=1,则a=-1,所以A={1,0,1},与集合中元素互异性相矛盾，应舍去.解析：若1∈A,则a+2,,+3a+3必有一个为1.若+3a+3=1,则a=-1(舍去)或a=-2(舍去).若=1,则a=0或a=-2.当a=0时,A={1,2,3}，满足题意；当a=-2时，A={0,1,1},与集合中元素互异性矛盾，应舍去.第2课时

集合间的基本关系基础梳理A的任一元素是B的元素包含AB子集的概念（1）定义：一般地，对于两个集合A,B，如果就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集.（2）用符号表示为：.2.集合相等（1）定义：如果，那么就说集合A与集合B相等（2）用符号表示为：.3.真子集的概念（1）定义：如果，那么称集合A是集合B的真子集.（2）用符号表示为：.4.空集的概念（1）定义：的集合，叫做空集.（2）用符号表示为：.不含任何元素AB且BAA=BAB，且B中至少有一个元素不属于AAB子集5.两个重要结论（1）任何一个集合都是它自的，即（2）对于集合A，B,C,如果AB,BC,那么AAAC典例分析题型一求集合的子集例1

已知集合M满足{2,3}M{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.分析由{2,3}M知M至少含有两个元素2，3，由M{1,2,3,4,5}知，M中至多含有1,2,3,4,5五个元素，可分类求解.解

当M中含有两个元素时，M为{2,3};当M中含有三个元素时，M为{2,3,1},{2,3,4}{2,3,5};当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}.所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.举一反三1.（改编题）已知集合A={0,2,3},B={x|x=a+b,a，b∈A},则B的子集个数为（）A.4个B.8个C.16个D.64个解析：由已知得B={0,2,3,4,5,6}，则B的子集个数为=64.答案：D题型二集合与集合关系的判定分析

本题中两集合都是用描述法给出的集合，一定要将元素特性弄清楚.例2

已知集合A=｛x│x=k+,k∈Z},B=｛x│x=k,k∈Z｝,则AB.解析

方法一（列举法）：对于集合A，取k=…,0,1,2,3,…,得A=…，12,32,52,72,….

对于集合B，取k=…,0,1,2,3,4,5,…,得B=…，0，12,1，32,2，52,….

故AB.方法二（通分法）：集合A：x=(k∈Z),分子为奇数，集合B：x=(k∈Z),分子为整数，∴AB.方法三（特征性质分解比较法）：对于集合B，令k=2n(n∈Z),则x=n(n∈Z),令k=2n+1,则x=n+(n∈Z),∴B=｛x│x=k,k∈Z｝=｛x│x=n或x=n+,n∈Z｝，∴AB.举一反三2.以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来.（1）a与{a};（2）0与;（3）与{0};（4）{(a,b)}与{(b,a)}.解析：（1）a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，所以a∈{a};（2）元素与集合的关系，0;（3）与{0}都是集合，由空集定义知{0},又集合{0}是非空集合，所以{0};（4）集合与集合的关系.当a=b时，{（a,b）}={(b,a)};当a≠b时,{(a,b)}≠{(b,a)}.

题型三应用集合关系求参数例3设集合A={1,3,a},B={1,-a+1}，且AB，求实数a的值.分析若AB，则B中的元素都是A的元素，所以-a+1=3或-a+1=a，但求出a值要注意检验.解因为AB，所以-a+1=3或-a+1=a.由-a+1=3,得a=2或a=-1;由-a+1=a,得a=1.经检验，当a=1时，集合A、B中元素都有重复,与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.举一反三3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若BA,求实数m的取值范围.解析：A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且BA.①若B=,则m+1＞2m-1,解得m＜2,此时有BA;②若B≠，则m+1≤2m-1,即m≥2,由BA得m≥2,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.由①②得m≤3，∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.第3课时集合的基本运算（1）基础梳理交集：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的，记作，即.根据交集定义，对于任何集合A，B，有A∩BB∩A,A∩BA,A∩BB;特别地，A∩AA，A∩.2.并集：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的，记作，即.根据并集定义，对于任何集合A，B，有A∪BB∪A,A∪BA,A∪BB;特别地，A∪AA，A∪A.交集A∩BA∩B={x|x∈A且x∈B}.===并集A∪BA∪B={x|x∈A或x∈B}.===典例分析题型一求交集、并集例1

已知集合A={y|y=-2x-3,x∈R},B={y|y=--2x+13,x∈R}.求A∩B,A∪B.分析两集合都是函数值域，因此，应先求两函数值域，化简集合，然后再求交、并集.解

A={y|y=-2x-3,x∈R}={y|y≥-4}，B={y|y=--2x+13,x∈R}={y|y≤14},将集合A、B分别标在数轴上，如下图.∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.举一反三1.已知集合A={y|y=+1，x∈R},B={y|y=-+5，x∈R},求A∩B.解析：∵A={y|y=+1}={y|y≥1},B={y|y=+5}={y|y≤5},∴A∩B={y|1≤y≤5}.题型二求交集、并集中元素的个数例2

某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，班级中既爱好体育又爱好音乐的有多少人？分析

本例是一个数学应用题，可应用问题转化为数学集合问题，把爱好音乐的人组成集合A，把爱好体育的人组成集合B，再通过集合间的运算求解.解

设音乐爱好者的集合为A，体育爱好者的集合为B，既爱好音乐又爱好体育的人数为x,则由题意知，A∪B中的人数为51,如图，由题意知（34-x）+x+(43-x)+4=55，∴x=26.答：该班既爱好音乐又爱好体育的有26人.举一反三2.某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，只拥有上述三种电器中的两种的占63%，三种电器齐全的占25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A.10%B.12%C.15%D.27%解析：不妨设调查了100户农户.A={100户中拥有电冰箱的农户}；B={100户中拥有电视机的农户}；C={100户中拥有洗衣机的农户}.由图知：A∪B∪C的元素个数为49+85+44-63-25=90,所以相对贫困户占10%,故选A.答案：A

题型三含参数的交、并集运算例3

已知A={2,4,a3-2a2-a+7},B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7},且A∩B={2，5}，求实数a的值，并求A∪B.分析由并集元素入手，求出给定系数a的可能值，再检验是否符合条件，这也是高考题分类讨论的常用方法.解∵A∩B={2,5},A={2,4,},∴=5,解得a=-1,1,2.当a=-1时，A={2,4,5},B={-4,2,5,4}，则A∩B={2，4，5}，这与已知矛盾;当a=1时，A={2,4,5},B={-4,4,1,12},则A∩B={4},这也与已知矛盾；当a=2时，A={2，4，5}，B={-4，5，2，25}，则A∩B={2,5},符合题意.故a=2,此时A∪B={2,4,5}∪{-4,5,2,25}={-4,2,4,5,25}.举一反三3.设A={x|},B={x|}.求：（1）若A∩B=B,求a的值；（2）A∪B=B,求a的值.解析：首先化简集合A，得A={-4,0}.(1)由于A∩B=B,则有BA,可知，集合B为或{0}或{-4}或A=B.①若B=，由Δ=＜0,得a＜-1.②若0∈B,代入,得,即a=1或a=-1.当a=-1时，B={x|}={0},符合题意；当a=1时，B={x|}={0,-4}=A,符合题意.③若-4∈B,代入,得,即a=7或a=1.当a=1时，符合题意；当a=7时，B={x|}={-12,-4},不合题意.由①②③得a=1或a≤-1.(2)因为A∪B=B,所以AB.又A={-4,0},而B至多只有两个根，因此应有A=B.由（1）知，a=1.第4课时集合的基本运算（2）基础梳理含有我们所要研究的各个集合的全部元素U不属于A1.全集的定义一般地，如果一个集合那么就称这个集合为全集，记作.2.补集（1）补集的定义对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集U的补集，记作.(2)集合表示

（3）运算性质题型一补集定义的应用例1

设全集U={2,3,},A={|2a-1|,2}={5},求实数a的值

解∵={5},∴5∈U且5A，∴=5,解得a=2或a=-4.当a=2时，|2a-1|=3≠5;当a=-4时，|2a-1|=9≠5,但9U.故a的值是2.分析

={5}包含三层意义：5∈U，5A,且AU.

举一反三典例分析题型二交、并、补集的综合运算解析：利用Venn图，由题意可得方程组

将②式变形为=0,解得a=-4或a=2.例2

设U={x|0≤|x|＜4,x∈Z},A={x|=0},B={x|=0},求1.设U={2，3，},A={b,2},={5},求实数a和b的值.

分析

先将各集合化简，因为三个集合都是数集,可用Venn图将集合表示出来，再求解.举一反三解

由0≤|x|＜4,x∈Z，得x的值为-3，-2，-1，0，1，2，3，方程=0的解为x=-2或3，方程=0的解为x=±1,所以U={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={-2,3},B={-1,1},所以={-3,-1,0,1,2},={-3,-2,0,2,3},={-1,1},

={-2,3}∪{-3,-2,0,2,3}={-3,-2,0,2,3}.

2.已知全集为U,集合P={x|x=,a∈R},Q={y|y=,b∈R},求P∩Q和P∪

题型三补集思想的应用分析

本题集合A中元素个数的情况有三种：0个，1个，2个.集合A中至多有1个元素，即包括0个或1个元素两种情况.此时，我们先求出集合A中有2个元素时a的取值范围，再求其补集即可.解析：∵x==(a+2)2-3≥-3,∴P={x|x≥-3}.又∵y==-(b-1)2+4≤4，∴Q={y|y≤4}.利用数轴，如图，P∩Q={x|-3≤x≤4}.又∵={y|y＞4},∴P∪={x|x≥-3}.例3

已知集合A={x|=0},若集合A中至多有1个元素，求实数a的取值范围.举一反三解

假设集合A中有2个元素，即方程=0有两个不等实数根，则解得a＜且a≠0.所以，集合A中至多有1个元素时，实数的a的取值范围为a≥或a=0

3.已知集合A={y|y＞a+5或y＜a},B={y|2≤y≤4}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.解析：我们不妨先考虑当A∩B=时，a的取值范围.如图所示，∴当A∩B=时，a的取值范围为-1≤a≤2.而A∩B≠时，a的取值范围显然是其补集，从而易知所求实数a的取值范围为a＞2或a＜-1.第5课时

函数的概念基础梳理函数及其相关概念设A、B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个，记作，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的.2.区间的相关概念设a,b是两个实数，且a＜b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做，表示为［a,b］;(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做，表示为;(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做，分别表示为［a,b)、（a,b］.数集唯一f:A→B函数y=f(x)自变量定义域函数值值域闭区间开区间（a,b）半开半闭区间（-∞，+∞）［a,+∞）(-∞,b］(a,+∞)(-∞,b)定义域值域对应关系定义域对应关系3.无穷区间的表示实数集R可以用区间表示为,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别表示为、、、.4.函数的构成要素及函数相等（1）函数的三要素：、及称为函数的三要素.（2）函数相等：由于函数的值域由和确定，所以如果两个函数的相同，并且完全一致，就称这两个函数相等.定义域对应关系典例分析题型一

函数的概念分析

按照函数的定义，若一个对应是函数，则应满足一对一或多对一，不能一对多，逐一进行判断即可.例1

下列对应是否为A到B的函数.(1)A=R,B={x|x＞0},f:x→y=|x|;(2)A=Z,B=Z,f:x→y=

;(3)A=R,B=Z,f:x→y=

;(4)A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0.解（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；（2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f:x→y=

,在集合B中都有唯一一个确定的整数

与其对应，故是集合A到集合B的函数；（3）A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数;(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应f:x→y=0,在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.举一反三1.下列图形可以作为某个函数的图象的是（）解析：

A、C、D都不满足“对任一x都有唯一y值与之对应”

这一性质.答案：B题型二

相同函数的判断分析

由函数的定义可知，在函数三要素中，只要定义域和对应关系相同就是同一函数；否则，只要定义域和对应关系中有一个不同就不是同一函数.例2

判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）

;(2)(3)f(x)=x与g(x)=

;(4)f(x)=x与F(x)=(5)解

（1）不是同一函数，定义域不同；（2）不是同一函数，定义域不同；（3）不是同一函数，值域不同；（4）是同一函数；（5）不是同一函数，定义域、值域都不同.举一反三2.判断下列各组函数是否表示两个相同的函数.（1）f(x)=

与g(x)=1；(2)f(x)=

与g(x)=

(3)f(x)=

g(x)=(4)f(x)=

,g(t)=解析：（1）f(x)=

=1.两个对应关系相同，但f(x)=

的定义域是{x|x≠0},而g(x)=1的定义域是R，故这两个函数不相同.（2）定义域不相同，f(x)=

的定义域是R，g(x)=

的定义域为{x|x≥0},故两个函数不相同.（3）函数f(x)=

的定义域为{x|-1≤x≤1},g(x)=

的定义域也是{x|-1≤x≤1},两个函数的对应关系也相同，所以是同一函数.（4）虽然两个函数的自变量形式不同，一个是x，另一个是t，但x与t的取值范围都是R，且对应关系也相同，故是同一函数.题型三

求函数的定义域例3

求下列函数的定义域.

（1）y=

;

（2）

(3)

(4)分析

使得式子有意义的x的取值范围即是函数定义域，因此，分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数大于或等于零.解（1）函数y=

的定义域为R.

（2）要使函数有意义，需满足

所以函数

的定义域为{x|x≤1且x≠0}.举一反三(3)要使函数有意义，需满足所以函数

的定义域为｛x│x≤0且x≠

｝.(4)要使函数有意义，需满足

解得

≤x＜2且x≠0,所以函数

的定义域为

｛x│≤x＜2且x≠0｝.题型四

函数的对应关系及函数求值例4

已知A中元素（x,y）在f的对应下是B中元素（x+y,x-y）,求：（1）A中元素（-3,2）在B中的对应元素；（2）B中元素（2，1）在A中与之对应的元素.3.求下列函数的定义域.（1）

(2)解析

（1）

∴原函数的定义域为（-∞,-1）∪(-1,0).

(2)

∴原函数的定义域为（-∞,

）∪（,+∞）.分析

条件用数学符号语言给出了对应关系f(x,y)→(x+y,x-y),取A中的点后纵横坐标和为B中点的横坐标，A中的点的横坐标减纵坐标为B中点的纵坐标.

抓住对应关系f:A→B,因（x,y）→(x+y,x-y),所以（1）中(-3,2)对应着（x,y），（2）中（2，1）对应着(x+y,x-y).解

(1)由题意x+y=-3+2=-1,x-y=-3-2=-5,

∴(-3,2)在B中的对应元素为(-1,-5).

(2)

∴B中元素（2,1）在A中与之对应的元素为4.已知函数f(x)=3

-5x+2,求f(3)，f(

)，f()，f(x+1).解析：f(3)=3×

-5×3+2=14；f(

)=3×

-5×(

)+2=6+

+2=8+

；f()=3

-5()+2=f(x+1)=

-5(x+1)+2=3

+6x+3-5x-5+2=3

+x.2)2(-第6课时

函数的表示法基础梳理数学表达式图象表格1.函数的表示方法（1）解析法用表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法.（2）图象法用表示两个变量之间的对应关系的方法叫图象法.（3）列表法列出来表示两个变量之间的对应关系的方法叫列表法.典例分析题型一

映射的概念例1

下图中各图表示的对应构成映射的个数是（）A.3个

B.4个C.5个

D.6个解析式非空任一唯一2.分段函数如果函数y=f(x)（x∈A）的自变量x在A中不同的取值范围需用不同的表示，则称这样的函数为分段函数.3.映射设A、B是两个的集合，如果按一个确定的对应关系f,使对于集合A中的元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.分析

所谓映射是指多对一的对应，一对一的对应，且A中的元素无剩余，以此判断既准确又快速.解

（1），（2），（3）这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应关系下，B中都有唯一的元素与之对应.对于（4），（5），A的每一个元素在B中有两个元素与之对应，所以不是A到B的映射.对于(6),A中的元素a3,a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射.综上，可知能构成映射的个数为3.故选A.举一反三解析：

①中x=-1没有象与之对应，故不是映射；③中对任意一个非负数都有两个数与之对应，故不是映射；②是映射.答案：B1.下列对应是A到B的映射的有（）①A=R,B=R,f:x→y=②A={北京奥运火炬手}，B={火炬手的体重}，

f:每个火炬手对应自己的体重;③A={非负实数}，B=R,f:x→

=x.A.0个

B.1个C.2个

D.3个题型二

作函数的图象例2

作下列各函数的图象.（1）y=1-x,x∈Z;

(2)y=|x-1|.分析

第一个函数是点函数，直接描点；第二个函数是分段函数，先化简再作图.解

（1）因为x∈Z,所以函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=1-x上，如图1.图1图2

（2）所给函数可化简为y=x-1(x≥1)，1-x(x＜1)，是端点为（1,0）的两条射线，如图2.举一反三解析：

(1)∵0≤x＜3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x＜3之间的一段弧（如图1）.2.作下列各函数的图象.(1)y=2

-4x-3(0≤x＜3);

(2)图1图2（2）这个函数的图象由两部分组成：当0＜x＜1时，为双曲线y=

的一部分；当x≥1时，为直线y=x的一部分（如图2）.题型三

求函数解析式例3

已知f(

+1)=x+2

,求f(x).分析

本题可采用观察拼凑法，也可采用换元法.解

方法一：∵x+2

=

+1-1=

(

+1≥1),∴f(x+1)=

(

+1≥1)，即f(x)=

-1(x≥1).方法二：令t=

+1,则x=

（t≥1），代入原式得f(t)=

+2(t-1)=

-2t+1+2t-2=

-1.∴f(x)=

-1(x≥1).举一反三3.若f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b,f［f(x)］=

x+ab+b,f{f［f(x)］}=a(

x+ab+b)+b=

x+

b+ab+b,∴代入检验，则f(x)=3x+2即为所求.题型四

分段函数及应用例4

若f(a)=3,求a的值.分析

解答本题要对x的可能范围逐段进行讨论，因为函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪个区间.解

当a≤-1时，f(a)=a+2,又f(a)=3，∴a=1(舍去);当-1＜a＜2时，f(a)=

,又f(a)=3,∴a=±

,其中负值舍去,∴a=

;当a≥2时，f(a)=2a,又f(a)=3,∴a=

(舍去).综上所述，a=

.举一反三4.则函数y的最大值是

.解析：如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值，而点A的坐标就是方程组∴A(-1，4)，∴函数的最大值为4.答案：4第7课时

单调性与最大（小）值基础梳理单调递增的单调递减的单调性单调区间最大值1.一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x１＜x2时，若都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是；若都有f(x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.2.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的），区间D叫做y=f(x)的.3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的.典例分析题型一

用定义证明（判断）函数的单调性分析

判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法.严格证明，需要从单调函数的定义入手.最小值如果存在M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的.例1

证明函数f(x)=

在［0,+∞)上是增函数.证明

设

≥0,

＞0,且

＜

,则f(

)-f(

)=

∵0≤

＜

,∴

-

＜0,

＞0，∴f(

)-f(

)＜0,即f(

)＜f(

).由定义知，f(x)=

在［0,+∞）上为增函数.举一反三1.求证：函数f(x)=

+x在R上是增函数.证明：在R上是增函数即则设分析

解答本题关键是弄懂f(2+t)=f(2-t)所表达的意思，它表示2加t或减t,函数值不变，即x=2是这个二次函数的对称轴；然后利用函数的单调性，将自变量转化到同一单调区间内比较就行了.题型二

函数单调性的应用例2

如果函数f(x)=

+bx+c,对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.解

由题意知，对任意实数t,f(2+t)=f(2-t),即

+b(2+t)+c=

+b(2-t)+c,化简得（2b+8）t=0,∴2b+8=0,即b=-4，∴f(x)的对称轴为x=2,故f(1)=f(3).举一反三2.已知f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x＞2时，f(x)为增函数，设a=f(1),b=f(4),c=f(-2),试确定a、b、c的大小.∵f(x)在［2,+∞)上是增函数，∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4).解析：∵f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x＞2时，f(x)为增函数，∴当x＜2时，f(x)为减函数.

由以上可知，离对称轴x=2距离越远的数，其函数值越大，∴f(-2)＞f(4)＞f(1),即c＞b＞a.题型三

求函数最值例3

求函数f(x)=x+

在x∈［1,3］上的最大值与最小值.分析

本题首先应用函数的单调性定义判断求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.解

∴f(x)的最小值为f(2)=2+

=4,又f(1)=5,f(3)=3+

=

＜f(1),∴f(x)的最大值为5.举一反三3.求f(x)=

-2ax-1在区间［0,2］上的最大值和最小值.图1

图2图3

图4

解析：f(x)=

对称轴为x=a.当a＜0时，由图1可知，

=f(0)=-1,

=f(2)=3-4a；当0≤a＜1时，由图2可知，

=f(a)=-1-

,

=f(2)=3-4a；题型四

应用题中的最值问题例4

某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问：该商品售价定为多少时才能使利润最大？并求出最大利润.分析

可设售价为x元，则利润为单件商品的利润乘以销售量，其中单件利润为（x-8）元,销量为60-(x-10)·10.解

设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)［60-(x-10)·10］=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(x＞10).当1≤a≤2时，由图3可知，

=f(a)=-1-

,

=f(0)=-1；当a＞2时，由图4可知，

=f(2)=3-4a,

=f(0)=-1.当且仅当x=12时，y有最大值160.答：售价定为12元时可获最大利润160元.举一反三4.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元.解析：设每天应从报社买进x份，易知250≤x≤400，设每月赚y元，得y=0.5x×20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x×30=0.3x,x∈［250,400］.因为y=0.3x是定义域上的增函数，所以当x=400时，y=120=1170(元).故每天从报社买进400份报纸时获得利润最大，每月可赚1170元.第8课时

奇偶性基础梳理f(-x)=-f(x)任一xf(-x)=f(x)1.奇、偶函数的定义（1）奇函数如果对于函数f(x)的定义域内，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）偶函数如果对于函数f(x)的定义域内，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.任一x典例分析题型一

判断（证明）函数的奇偶性（1）f(x)=

(2)f(x)=

(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;

(4)f(x)=(x-1)原点y轴2.奇（偶）函数图象的对称性（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.分析

先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.解（1）函数的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞)，关于原点对称.又∵f(-x)=

=

=

=-f(x),∴函数f(x)=

是奇函数.（2）函数的定义域为（-∞,+∞）,关于原点对称.又f(-x)=

=

=f(