数字信号处理总复习与习题

数字信号处理总复习和习题第0章绪论本章主要内容：1、信号：信号的定义和数学表示；信号分类；2、数字信号处理系统：数字信号处理的一般过程；数字信号处理的特点。3、数字信号处理的主要内容和应用领域。本章主要要求掌握的内容：数字信号处理的一些基本概念和术语基本概念题（填空、判断）。

本章典型题型与习题讲解：本章主要内容：1、连续信号的采样与恢复：信号的采样和数学模型；采样信号的频域表示；采样定理；采样信号到连续信号的恢复。2、时域离散序列：时域离散信号的序列表示；序列的运算规则；几种常用序列；离散序列的线性卷积的定义和性质；线性卷积的计算方法。3、时域离散系统及其特性：时域离散系统定义和数学描述；线性非时变（LTI：LinearTimeInvariant）离散系统的定义；LTI系统的单位脉冲响应序列；LTI系统的稳定性和因果性；LTI系统的差分方程描述。第1章时域离散信号与时域离散系统本章主要要求掌握的内容：本章介绍了数字信号处理的一些基本定义和时域分析方法。1、数字信号的序列表示和数学运算（周期序列的判断）。2、数字信号与连续信号的关系——采样定理的物理意义和数学描述，预滤波、平滑滤波的作用。3、LTI系统的时域描述（输入、输出信号之间的关系）。线性性、时不变性、因果性、稳定性的判断。1.周期序列的判断与周期T的求取。基本概念题（填空、判断、选择）。

本章典型题型与习题讲解：P72.判断系统是否是线性非时变系统。Linearsystem:

齐次性与叠加性即

y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]

y(n)=T[ax1(n)＋bx2(n)]=ay1(n)＋by2(n)*加权信号和的响应=响应的加权和。Time-invariant:时不变特性即y(n-n0)=T[x(n-n0)]习题3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）（2）解：（1）（2），这是无理数，因此是非周期序列。A是常数；，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；例1.判断下列系统是否为线性系统。解：(a)故为线性系统。（b)故为线性系统。故不是线性系统。(c)可见：(d)故不是线性系统。可见：[例2]判断系统是否是移不变系统。其中a和b均为常数解：故为移不变系统。[例3]判断系统是否是移不变系统。解：故不是移不变系统。又：显然例4.判断下列系统是否为移不变系统。解：故不是移不变系统。又：显然（a）故是移不变系统。又：显然（b)一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这完全由边界条件决定。例如：差分方程（c)边界条件时，既不是线性的也不是移不变的。（a)边界条件时，是线性的但不是移不变的。（b)边界条件时，是线性移不变的。见P16例1.4.1见P18例1.4.3令….所以：….所以：可见是移一位的关系，亦是移一位的关系。因此是移不变系统。代入差分方程，得：……..所以：因此为线性系统。3.判断系统是否是因果稳定系统。CausalandNoncausalSystem（因果系统）causalsystem:(1)响应不出现于激励之前

(2)h(n)=0,n<0（线性、时不变系统）StableSystem（稳定系统）

(1)有界输入导致有界输出

(2)（线性、时不变系统）

(3)H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）*实际系统一般是因果系统；

*y(n)=x(-n)是非因果系统,因n<0的输出决定n>0时的输入;例：P266.(2)、(4)、(5)（b）由于领先于，故为非因果系统。[例5]判断下列系统是否为因果系统。（a)为因果系统，由定义可知。解：由于由目前和过去的输入所决定，故为因果系统。由于n=-1时，有y（-1）=x(1)；也就是领先于，故为非因果系统。4.线性卷积的计算。5.模拟信号数字处理的方法与过程；采样、恢复的概念；采样定理及采样后产生的影响；预滤波、平滑滤波的作用；本章主要内容：1、离散信号与离散系统的频域表示：（离散）序列的傅里叶变换（DTFT）定义和性质；离散系统的频域描述——系统频率响应函数。2、Z变换：Z变换的定义及其收敛域；Z变换的性质；Z反变换计算方法；用Z变换分析LTI系统，系统函数的Z域表示；系统函数的收敛域与系统特性（稳定性、因果性和系统函数的零、极点位置对系统特性的影响）。3、时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系、序列的Z变换和傅里叶变换的关系。第2章时域离散信号和系统的频域分析本章主要要求掌握的内容：本章介绍了数字信号处理的频域分析方法。1、Z变换与逆Z变换；Z变换的收敛域特点和基本性质；2、Z变换与傅立叶变换的关系；Z变换与拉普拉斯变换的关系；3、LTI系统频域描述和Z域描述。（输入、输出信号之间的关系）4、离散系统的Z域分析方法。用Z变换计算系统函数，分析LTI系统的特性。5、Z变换在求解线性常系数差分方程中的应用。Condition:(DTFT)序列傅立叶变换(IDTFT)序列傅立叶反变换注：周期序列不满足该绝对可和的条件，因此它的DTFT不存在。1.DTFT的计算及其性质。分析计算题（计算证明、分析问答）。

本章典型题型与习题讲解：方法1：根据定义式求解见P656.12.一般序列共轭对称序列共轭反对称序列一般实序列偶序列奇序列方法2：根据DTFT的性质求解（特别是对称性）（a）序列分成实部与虚部时:其中

序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。其中（b）序列分成共轭对称与共轭反对称时:

序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ejω)

。例1：P6410.若序列h(n)是实因果序列，其DTFT的实部如下式：HR(ejω)＝1+cosω求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω).解：2.Z变换的计算、Z变换的收敛域求取。方法1；由定义式计算方法2：根据ZT的性质求解例：P6517例：P6514注意：Z变换的收敛域特点和基本性质；若没有告诉变量的取值范围，则求Z变换时需要讨论。（P6514(2)）（P6514(1)）（P6514(3)）（P6514(6)）方法2.幂级数法(长除法)左边序列：将X(z)的分子、分母按Z的升幂排列右边序列：将X(z)的分子、分母按Z的降幂排列

对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。方法3.部分分式展开法3.逆Z变换的计算。方法1.用留数定理求逆Z变换※求逆z变换时特别需要注意收敛域的范围，收敛域不同，逆z变换的结果是不同的。如果没有明确告诉收敛域的范围，则求逆z变换时需要讨论。（见P6516.18.）16.已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。时，（1）当收敛域令，因为c内无极点，x(n)=0；，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有那么（2）当收敛域时，，C内有极点0.5；，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（3）当收敛域n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。，C内有极点0.5，2；或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。最后得到（2）收敛域对应的原序列。18.已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；解：,（1）当收敛域时，，内有极点0.5，c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,最后得到c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此（2)当收敛域时，c内有极点0.5,2,,最后得到时域（或频域）----------频域（或时域）

连续非周期周期离散时间信号频谱信号模拟信号连续非周期非周期连续连续周期非周期离散序列信号离散非周期周期连续离散周期周期离散4.时间信号与频谱信号波形之间的一般关系1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：稳定性：（收敛域包括单位圆）如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，则系统稳定；反之，如果系统稳定，则系统函数H(z)的收敛域包括单位圆。5.离散系统的Z域分析方法。因果性、稳定性的判断。

Causality(因果性)：inthez-domain如果系统函数H(z)的极点都在某个圆内（收敛域在圆外），则系统为因果系统；反之，如果系统为因果系统，则系统函数H(z)的极点都在某个圆内。因果、稳定系统：H（z）的收敛域为：（极点均在单位圆内）2、利用零极点分布确定系统的频率特性：图2.6.2频响的几何表示法当B点转到零点附近时，零点矢量长度最短，使分子变小，形成波谷，因而幅度特性可能出现谷值，且零点越靠近单位圆，零点矢量长度就越短，波谷值越低。当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，使形成波峰，因而幅度特性可能出现峰值，且极点越靠近单位圆，极点矢量长度就越短，波峰值就越高越尖锐。极点不能在单位圆上或圆外（这两种情况下系统不稳定）。零点可以位于单位圆上（此时谷值为零），也可位于单位圆外。极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。零点在单位圆上0,

处；极点在,处。ω0。。本章主要内容：1、离散傅里叶级数(DFS)和离散傅里叶变换（DFT）的定义和性质。2、一般信号的DFT处理。3、Z变换与DFT的关系。4、循环卷积的定义以及与线性卷积的关系。5、用DFT计算线性卷积；分段卷积方法。6、用DFT进行谱分析。第3章离散傅里叶变换（DFT）本章主要要求掌握的内容：1、DFT的定义式、物理意义和实际工程意义。2、用DFT计算线性卷积的方法，循环卷积的计算方法，循环卷积与线性卷积的关系。3、分段卷积方法。4、谱分析方法，加窗后对谱分析的影响，截断效应。本章典型题型与习题讲解：分析计算题（计算证明、分析问答、判断）。

1.DFT与IDFT的计算、性质，DFT成立的条件。k=0,1,…,N-1n=0,1,…,N-1根据定义式来计算见P931.2.注意：

仅有限长序列或周期序列才存在DFT变换。因而对于非周期序列如果要求其DFT，则应该以这个序列为主值序列，然后周期延拓成周期序列，只有这样才能求其DFT；对于无限长序列如果要求其DFT，则应该首先截断（即加窗）成有限长序列，再周期延拓，只有这样才能求其DFT。但是要注意在截断的过程中会出现“频谱泄漏”现象。DFT是加窗信号的连续频谱的抽样值。

为了减少频点的泄漏，有必要对DFT所使用的窗函数的形状进行控制。DFT的隐含周期性：DFT隐含有周期性，周期为N有限N长序列x(n)的N点离散傅里叶变换（DFT）X(k)也可以定义为x(n)的周期延拓序列X((n))N的离散傅里叶级数（DFS)的主值序列。DFT的共轭对称（a）如果其中则其中（b）如果其中则其中实序列的DFT对称性质归纳如下：实序列对称性的应用：（1）用单次N点DFT实现两个实序列的N点DFT（2）用单次N点DFT计算一个实序列的2N点DFTforN=8可见，x(n)的N点DFT是Z变换在单位圆上的N点等间隔采样，采样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。DFT与Z变换的关系2.DFT与ZT、FT的关系DFT与DTFT变换的关系可见，x(n)的N点DFT是DTFT变换在区间[0,2π]上的N点等间隔采样，采样点在频率轴上[0,2π]的N个等分点上，且第一个采样点为k=0。

N越大，即采样点越多，则DFT越接近DTFT。

对于实信号，其DFT结果关于k＝N/2对称。频域采样定理

如果x（n）的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有可由频域采样恢复原序列x（n），否则将产生时域混叠现象。在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应的时间序列周期延拓，延拓周期为N。P9513已知序列x(n)=anu(n)，0＜a＜1，今对其Z变换X（z）在单位圆上N

等分采样，采样值为求有限长序列IDFT[X(k)]。解：在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应的时间序列周期延拓，延拓周期为N。3.循环卷积的计算方法，循环卷积与线性卷积的关系，用DFT计算线性卷积的方法。设x1(n)（0≤

n≤M-1)，x2(n)(0≤n≤N-1)循环卷积：L取M、N中较长的一个（设M>N，则L=M）。较短的一个需要补0至L（两个序列的长度要求相等）。循环卷积可以用DFT(FFT)实现；用循环卷积实现线性卷积：L≥M+N-1

若不满足这个条件，则只在N-1≤n≤M-1范围内两者相等。例：P95144.DFT的应用（频谱分析、分段卷积）。频谱分析：DFT代替频谱分析引起的误差（混叠现象、栅栏效应、截断效应[频谱泄漏、谱间干扰]）；提高谱分辨率的方法；分段卷积（重叠相加法、重叠保留法）15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：（3）最少采样点数（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。；（1）最小记录时间（2）最大取样间隔；；解：（1）已知（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）本章主要内容：1、FFT计算原理。2、基2时间抽取算法和频率抽取算法。3、DFT、R-2FFT算法的运算量比较。4、实数序列的FFT高效算法。5、FFT的应用。第4章快速傅里叶变换（FFT）本章主要要求掌握的内容：1、FFT、IFFT的计算方法、特点，DIT、DIF的运算流图。2、FFT应用于频谱分析和快速卷积。3、DFT、FFT的运算量计算。4、FFT减少运算量的途径。本章典型题型与习题讲解：作图题（作图、计算）。

N点的FFT的运算量为复乘:CM=（N/2）M=（N/2）log2N复加:CA=NM=Nlog2N1.画出N点（例如8点、16点）FFT的运算流图2.FFT的特点，FFT减少运算量的途径。DITDIF3.FFT的运算量的计算，与DFT运算量的比较。FFT算法的基本思想、特点、编程方法N点的DFT的运算量为复乘:CM=N2复加:CA=N（N-1）例1：P1271.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs,每次复数加需要1μs,用来计算N＝1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢?照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。解：N=1024=210直接计算DFT的运算量：复乘:CM=N2＝10242＝220次复加:CA=N（N-1）＝1024×1023＝1047552直接计算DFT所用的时间为：用FFT计算DFT的运算量为复乘:CM=（N/2）M=（N/2）log2N＝1024/2×10＝5120复加:CA=NM=Nlog2N＝1024×10＝10240用FFT计算DFT所用的时间为：快速卷积时，要计算一次N点FFT（H(k)已经计算好存入ROM中了，不需用FFT计算出H(k)）；N次频域复数乘法（H(k)*X(k)）；一次N点IFFT（也是用FFT实现的）。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为所以，每秒种处理的采样点数（即采样速率）为例：P1273.4.3.实数序列的FFT高效算法。由采样定理可知，可实时处理的信号最高频率为实际实现时，fmax要比这个小一些。3.已知和是两个N点实序列和的DFT，若要从和求和，为提高运算效率，试设计用一次N点IFFT来完成。解：因为和均为实序列，所以，和为共轭对称序列，j为共轭反对称序列。可令和j分别作为复序列共轭对称分量和共轭反对称分量，即计算一次N点IFFT得到由DFT的共轭对称性可知，故本章主要内容：1、数字滤波器的分类及特性。2、数字信号系统的信号流图。3、IIR滤波器的结构和信号流图：直接型；级联型；并联型。4、FIR数字滤波器的结构和信号流图：直接型；快速卷积型、频率采样型。第5章数字滤波器的结构本章主要要求掌握的内容：1、数字信号系统的信号流图描述方法。2、IIR滤波器的信号流图：直接型；级联型；并联型。3、FIR数字滤波器的实现流图：直接型；级联型；线性相位型（第7章P201）。作图题本章典型题型与习题讲解：1.画出滤波器的实现结构（实现流图）。P1471.7.P2221(2)1.设系统用下面的差分方程描述：，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：将上式进行Z变换（1）按照系统函数，画出直接型结构如图（一）所示。

（2）将的分母进行因式分解按照上式可以有两种级联型结构：(b)

画出级联型结构如图（二）（b）所示

(a)

画出级联型结构如图（二）（a）所示级联型结构图（二）（a）级联型结构图（二）（b）（3）将进行部分分式展开根据上式画出并联型结构如图（三）所示。本章主要内容：1、数字滤波器的设计方法：IIR的设计方法分类。2、理想滤波器的特性及逼近方法：理想滤波器的特性；连续函数逼近方法。3、模拟滤波器设计：几种逼近函数及特点；模拟滤波器逼近函数设计方法。4、模拟滤波器的数字仿真：冲激响应不变法；双线性变换法。5、数字滤波器的频率变换。第6章IIR数字滤波器的设计本章主要要求掌握的内容：1、数字滤波器的概念、技术指标、设计过程、设计方法。2、IIR数字滤波器的设计与模拟滤波器设计的关系；转换方法：冲激响应不变法；双线性变换法；3、Butterworth数字低通滤波器的设计。4、

IIR数字滤波器频带变换方法（由低通，设计高通、带通、带阻滤波器）5、IIR滤波器的特点。综合设计题（计算）。

本章典型题型与习题讲解：1.

IIR滤波器的设计与实现。见P19410.实际模拟滤波器与其对应的归一化低通滤波器指标转换关系：2.

IIR滤波器的频带变换方法（由低通，设计高通、带通、带阻滤波器）LP2LPLP2HPLP2BPLP2BS见P19411.12冲激不变法（或称为脉冲响应不变法）步骤：（1）将模拟滤波器的传递函数Ha（s）展开成部分分式的形式：（2）将由第（1）步所得到的sk代入到下式中：（3）设一个T值，并将T值和z＝ejω代入到上式中即可得到数字滤波器的频率响应。T的选取应按照滤波器最高截止频率的2倍以上选取（T过大时，频率混叠现象严重。）3.

IIR模拟滤波器到数字滤波器的转换方法见P1945.(2)（和不变）频率预畸变双线性变换法步骤：通带截止频率、通带衰减、阻带截止频率、阻带衰减；（1）确定数字低通技术指标：（2）将数字低通指标转换成模拟低通指标：

边界频率的变换关系：这里的采样间隔T可任意选取通常取T=1或T=2（3）设计模拟低通滤波器；（4）转换成数字低通滤波器：4.

IIR模拟滤波器到数字滤波器转换特性与对应关系脉冲响应不变法Ha(s)的极点si映射到z平面，其极点变为esiT产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的设计。（SZ）稳定条件：例：P1946.设hα(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应，用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（h(n)表示单位取样响应，即h(n)＝ha(nT)）。确定系统函数H(z)，并把T作为参数，证明：T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。Ha(s)的极点s1＝－0.9，数字滤波器系统函数应为证明：H（z)的极点为画出T=0.5和T=1时的幅频响应，由图可以看出数字滤波器近似是低通滤波器。（SZ）双线性变换法稳定条件：消除了频率混叠，但产生了频率畸变现象，需要预畸变处理。

双线性变换法的频率变换关系如令则得：（预畸变公式）（SZ）（Z

S）1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。解：（1）求阶数N。将和值代入N的计算公式得所以取N=5

（2）求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数或

当然，也可以按（6.12）式计算出极点:按（6.11）式写出表达式代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。

如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。由于本题中，即因此对分母因式形式，则有5.已知模拟滤波器的传输函数为：（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。（1）解：（1）用脉冲响应不变法①方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：代