微波技术基础(微波技术与天线)第2章

第二章规则金属波导规则金属波导—截面尺寸、形状、材料及边界条件不变的均匀填充介质的金属波导管称为规则金属波导。根据其结构波导可分为矩形波导(rectanglewaveguide)、圆波导(circularwaveguide)和脊形波导(ridgewaveguide)等。

本章主要内容2.1导波原理2.2矩形波导2.3圆波导2.4激励与耦合微波技术基础(微波技术与天线)第2章2.1导波原理本节要点1.波导管内的电磁波的一般分析方法2.波的传输特性3.导行波的分类微波技术基础(微波技术与天线)第2章1.规则金属管内的电磁波理论分析的一般方法对由均匀填充介质的金属波导管建如图所示坐标系金属波导内部的电、磁场满足矢量齐次亥姆霍兹方程，即其中，k2=2。（2-1）

设z轴与波导的轴线相重合，并假设：(1)波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的；(2)波导管内无自由电荷和传导电流的存在；(3)波导管内的场是时谐场。微波技术基础(微波技术与天线)第2章（1）将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量即：代表z方向单位矢量，t表示横向坐标。将式（2-2）代入齐次亥姆霍兹方程（2-1），将矢量方程分解为部分标量方程（拉普拉斯算子分解）。（2-2）（2-3）t在直角坐标系中代表(x,y)，在柱坐标系中代表(,)。分析：微波技术基础(微波技术与天线)第2章（3）设在直角坐标系中，利用分离变量法，令：

（2-5）将式（2-4）和式（2-5）代入式（2-3）得式（2-6）中左边是横向坐标(x,y)的函数，与z无关；而右边是z的函数，与(x,y)无关。只有二者均为一常数上式才能成立。（2-6）（2）将标量拉普拉斯算子展开为（2-4）微波技术基础(微波技术与天线)第2章设该常数为2，则有：（2-7）式（2-7）中的第二式的形式与传输线方程相同，其通解为：若规则金属波导为无限长，没有反射波，故A_=0，即纵向电场的纵向分量应满足解的形式为：A+为待定常数，对无耗波导j，而为相移常数。

（2-9）（2-8）微波技术基础(微波技术与天线)第2章（4）设Eoz(x,y)=A+Ez(x,y)，则纵向电场可表达为：（2-10a)（2-10b)而幅值函数Eoz(x,y)和Hoz(x,y)

，满足以下方程：

（2-11）其中kc2=k2

2，为传输系统的本征值。同样纵向磁场也可表达为同理，对方程可再进行分离变量，拆分为一元微分函数，将各坐标分量函数求解。微波技术基础(微波技术与天线)第2章（5）由麦克斯韦方程可知，无源区电场和磁场应满足的方程为：

（2-12）将(2-12)用直角坐标展开微波技术基础(微波技术与天线)第2章将纵向分量代入，求解可得：（2-13）微波技术基础(微波技术与天线)第2章结论在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程，结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz，而场的横向分量即可由纵向分量求得；

既满足上述方程又满足边界条件的解有许多，每一个解对应一个波型也称之为模式，不同的模式具有不同的传输特性；kc是微分方程（2-11）在特定边界条件下的特征值，它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。由于当相移常数=0时，意味着波导系统不再传播，亦称为截止，此时kc=k

，故将kc称为截止波数(cutoffwavenumber)。微波技术基础(微波技术与天线)第2章2.波的传输特性描述波导传输特性的主要参数有：相移常数、截止波数、相速、波导波长、群速、波阻抗及传输功率。下面分别叙述如下：

(1)相移(phaseshift)常数和截止(cutoff)波数

在确定的均匀媒质中，波数k与电磁波的频率成正比，相移常数和k的关系式为：（2-14）微波技术基础(微波技术与天线)第2章(2)相速(phasevelocity)与波导波长电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为相速，于是有：

（2-15）其中，c为真空中光速。

对导行波来说k>kc，故即在规则波导中波的传播速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快。

导行波的波长称为波导波长，它与波数的关系式为：

（2-16）微波技术基础(微波技术与天线)第2章(3)群速(groupvelocity)

我们将相移常数及相速vp随频率的变化关系称为色散关系，它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时，相速已不再能很好地描述波的传播速度，一般引入“群速”的概念，它表征了波能量的传播速度，当kc为常数时，导行波的群速为：

（2-17）微波技术基础(微波技术与天线)第2章(4)波阻抗(waveimpedance)

某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗，即：

（2-18）(5)传输功率

(transmissionpower)由坡印廷定理，波导中某个波型的传输功率为：

式中，Z为该波型的波阻抗。

（2-19）微波技术基础(微波技术与天线)第2章3.导行波的分类

根据截止波数kc的不同可将导行波分为以下三种情况：

(1)

kc2=0即kc=0

这时必有Ez=0和Hz=0，否则由式（2-13）知Ex、Ey、Hx、Hy、将出现无穷大，这在物理上不可能。这意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场，只有横向电场和磁场，故称为横电磁波简称TEM波。

对于TEM波，k，故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中情况相同。而且由于截止波数kc=0，因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输。此时不能用纵向场分析法，而可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。

微波技术基础(微波技术与天线)第2章(2)kc2>0

这时2>0，而Ez和Hz不能同时为零，否则所有场必然全为零。一般情况下，只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件，这时又可分为二种情形：(a)TM

(transversemagnetic)波将Ez0而Hz=0的波称为磁场纯横向波，简称TM波，由于只有纵向电场故又称为E波。此时满足的边界条件应为：其中，S表示波导周界。

（2-20）TM波的波阻抗为

（2-21）微波技术基础(微波技术与天线)第2章(b)TE

(transverseelectric)波将Ez=0而Hz0的波称为电场纯横向波，简称TE波，由于只有纵向电场故又称为H波。此时满足的边界条件应为：（2-22）TE波的波阻抗为

（2-23）其中，S表示波导周界。为边界法向单位矢量

无论是TE波还是TM波，其相速均比无界媒质空间中的速度要快，故称之为快波。微波技术基础(微波技术与天线)第2章(3)即相速比无界媒质空间中的速度要慢，故又称之为慢波。在由光滑导体壁构成的导波系统不可能存在的情形，只有当某种阻抗壁存在才有这种可能。

这时，而相速微波技术基础(微波技术与天线)第2章2.2矩形波导

设矩形波导(rectangularguide)的宽边尺寸为a，窄边尺寸为b。由于此时的导波系统中存在纵向场分量，故不能采用上一章等效电路的分析方法，而采用场分析法。

本节主要内容矩形波导中的场分析

矩形波导的传输特性

矩形波导尺寸选择原则脊形波导

微波技术基础(微波技术与天线)第2章1.矩形波导中的场分析将波导中的场分解为横向场(transversefield)和纵向场(longitudinalfield)的和，即其中，az为z向单位矢量，t表示横向坐标。设纵向电场、磁场为而E0z和H0z满足下列方程其中，微波技术基础(微波技术与天线)第2章将它们满足的麦克斯韦方程在直角坐标系中展开，得波导中各横向电、磁场的表达式为：

微波技术基础(微波技术与天线)第2章因为：纵向场分量Ez和Hz不能同时为零，否则全部场分量必然全为零，系统将不存在任何场。一般情况下，只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件，这时又可分为二种情形：横电波（TE波）横磁波（TM波）微波技术基础(微波技术与天线)第2章(1)TE波（transverseelectricwave）TE波：Ez=0,纵向场分量满足方程利用分离变量法，令则有下列方程可得微波技术基础(微波技术与天线)第2章TE波的纵向场的通解为其中，A1、A2、

B1、B2和kx、ky为待定系数，由边界条件确定。Hz应满足的边界条件为于是得微波技术基础(微波技术与天线)第2章于是，TE波各场分量的表达式为微波技术基础(微波技术与天线)第2章小结Hmn为模式振幅常数。根据解得形式可看出既满足方程又满足边界条件的解有很多，我们将一个解称之为一种传播模式。kc为矩形波导TE波的截止波数，显然它与波导尺寸、传输波型有关。

m,n分别代表波沿x方向和y方向分布的半波个数，一组mn对应一种TE波，称作TEmn模。

TE10模是最低次模，其余称为高次模。

微波技术基础(微波技术与天线)第2章(2)TM波（transversemagneticwave）

TM波：Hz=0TM波的全部场分量：微波技术基础(微波技术与天线)第2章小结矩形波导内存在许多模式的波，TE波是所有TEmn模式场的总和，而TM波是所有TMmn模式场的总和。TM11模是矩形波导TM波的最低次模，其它均为高次模。

kc为矩形波导TM波的截止波数，它与波导尺寸、传输波型有关，其表达式仍为

微波技术基础(微波技术与天线)第2章2.矩形波导的传输特性

截止波数与截止波长主模主模的场分布

波导波长、相速与群速波阻抗功率容量损耗

微波技术基础(微波技术与天线)第2章(1)截止波数与截止波长(cutoffwavelength)其中，为波导中的相移常数，k=2/

为自由空间波数。

当kc=k时，=0，此时波不能在波导中传输，也称为截止，因此kc称为截止波数，它仅取决于波导结构尺寸和传播模式。由于kc2=k2

2矩形波导TEmn和TMmn模的截止波数均为：对应截止波长为

微波技术基础(微波技术与天线)第2章模式其中，=2/k为工作波长。

(1)当工作波长大于某个模的截止波长c时，2<0，即此模在波导中不能传输，称为截止模(cutoffmode)。(2)当工作波长小于某个模的截止波长c时，2>0，此模可在波导中传输，故称为传导模(propagationmode)；波导中的相移常数为

一个模能否在波导中传输取决于波导结构尺寸和工作波长。对相同的m和n，TEmn和TMmn模具有相同的截止波长，将截止波长相同的模式称为简并模

(degeneratingmode)。微波技术基础(微波技术与天线)第2章标准波导BJ-32各模式截止波长图

单模传输区域截止区微波技术基础(微波技术与天线)第2章[例2-1]设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm，试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。

解：由f=3GHz得而各模式的截止波长为因此，在3GHz时只能传输TE10模。微波技术基础(微波技术与天线)第2章(2)主模(principlemode)

导行波中截止波长最长的导行模。矩形波导的主模为TE10模。

(a)TE10模场分布

微波技术基础(微波技术与天线)第2章场强与y无关，各分量沿y轴均匀分布，沿x方向的变化规律为：

沿z方向的变化规律为：微波技术基础(微波技术与天线)第2章TE10模场分布沿纵向传播瞬时图

微波技术基础(微波技术与天线)第2章TE10模场分布横截面上瞬时图

微波技术基础(微波技术与天线)第2章(b)TE10模的传输特性1)截止波长与相移常数

相移常数为

截止波长为

2)波导波长与波阻抗

微波技术基础(微波技术与天线)第2章3)相速与群速

4)传输功率

其中，E10是Ey分量在波导宽边中心处的振幅值。由此可得波导传输TE10模时的功率容量为：

其中，Ebr为击穿电场幅值。微波技术基础(微波技术与天线)第2章当负载不匹配时，由于形成驻波电场振幅变大，功率容量会变小，因此不匹配时的功率容量和匹配时的功率容量Pbr的关系为：其中，为驻波比。因空气的击穿场强为30kV/cm，故空气矩形波导的功率容量为：

可见：波导尺寸越大，频率越高，则功率容量越大。微波技术基础(微波技术与天线)第2章这里我们用不匹配传输线功率的U和I表达式关系给予说明：微波技术基础(微波技术与天线)第2章当传输功率不能满足要求时，可采用下述措施：在不出现高次模(highmode)的条件下适当加大波导的窄边尺寸b；密闭波导并充压缩空气或惰性气体，来提高介质的击穿强度；保持波导内壁清洁和干燥；提高行波系数，减小反射。微波技术基础(微波技术与天线)第2章单位长波导内传输功率的减少等于单位长功率损耗Pl，所以有

5)

衰减特性设导行波沿z方向传输时的衰减常数为，则沿线电场、磁场按e-z规律变化，传输功率按以下规律变化：于是，衰减常数可按下式计算微波技术基础(微波技术与天线)第2章在计算损耗功率时，因不同的导行模有不同的电流分布，损耗也不同，根据上述分析，可推得矩形波导TE10模的衰减常数公式：其中，为导体表面电阻。它取决于导体的磁导率、电导率和工作频率。因此，减小导体表面电阻或增大波导高度b能使衰减变小。但当b>a/2时单模工作频带变窄。微波技术基础(微波技术与天线)第2章[例2-2]矩形波导截面尺寸为ab=72mm30mm，波导内充满空气，信号源频率为3GHz，试求：

只能传输模波导中可以传播的模式；该模式的截止波长，相移常数，波导波长、相速、群速和波阻抗；若该波导终端接有归一化导纳为0.7-j0.1的负载，试求其驻波比和第一个波节点离负载的距离。解：信号波长为TE10、TE20的截止波长为微波技术基础(微波技术与天线)第2章TE10的截止波长为：截止波数为：自由空间的波数为：

相移常数为：

此时，相速和群速分别为微波技术基础(微波技术与天线)第2章波导波长和波阻抗分别为

由负载归一化导纳求得终端反射系数，进而求得驻波比。第一个波节点离负载的距离为

微波技术基础(微波技术与天线)第2章3.矩形波导尺寸选择原则

波导带宽问题：保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的模传播，其它高次模都应截止。

波导功率容量问题：在传播所要求的功率时，波导不致于发生击穿。适当增加b可增加功率容量，故b应尽可能大一些。波导的衰减问题：通过波导后的信号功率不要损失太大。增大b也可使衰减变小，故b应尽可能大一些。综合上述因素，矩形波导的尺寸一般选为：

微波技术基础(微波技术与天线)第2章4.脊形波导（ridgewaveguide）特点：与相同尺寸a的矩形波导相比，其TE10模的截止频率低得多；高次模的截止频率又比矩形波导高；缺点是衰减比矩形波导大，功率容量比矩形波导小。脊形波导是矩形波导的变形，分为单脊形和双脊形波导。

微波技术基础(微波技术与天线)第2章2.3圆波导

若将同轴线的内导体抽走，则在一定条件下，由外导体所包围的圆形空间也能传输电磁能量，这就是圆形波导，简称圆波导(circularwaveguide)。与矩形波导一样，圆波导也只能传输TE和TM波型。本节要点圆波导中的场圆波导的传输特性几种常用模式微波技术基础(微波技术与天线)第2章1.圆波导中的场表达式中的cosm和sinm是由于圆波导的轴对称性，使场的极化方向具有不确定性，因此导行波的场分布在方向存在两种可能的分布，它们独立存在，相互正交，截止波长相同，构成同一导行模的极化简并模(degeneratemode)。其中，Jm(x)为m阶贝塞尔函数；mn为m阶贝塞尔函数的一阶导数的第n个根，kcTEmn=mn/a

。(1)TE波采用分离变量法及边界条件，求得纵向磁场的通解为

微波技术基础(微波技术与天线)第2章微波技术基础(微波技术与天线)第2章与TE波相同的分析，可求得TM波纵向电场通解为：

结论：圆波导中存在着无穷多种TE和TM模，不同的m和n代表不同的模式，记作TEmn和TMmn，其中，m表示场沿圆周分布的整波个数，n表示场沿半径分布的最大值个数。

它们的相移常数分别为(2)TM波微波技术基础(微波技术与天线)第2章圆波导模TEmn和TMmn的截止波数分别为

各模式的截止波长分别为：在所有的模式中，TE11模截止波长最长，其次为TM01模，三种典型模式的截止波长分别为

2.圆波导的传输特性（1）截止波长微波技术基础(微波技术与天线)第2章圆波导中各模式截止波长的分布图

微波技术基础(微波技术与天线)第2章圆波导是圆对称结构。对于m0的任意非圆对称模式,由于场沿方向存在sinm和cosm两种场分布，两者的截止波数相同，传播特性相同，但极化面互相垂直，称之为极化简并。(2)简并模由于贝塞尔函数具有的性质，所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等，故，从而形成了TE0n模和TM1n模的简并。(a)E-H简并(b)极化简并(polarizationdegenerate)

在圆波导中除TE0n和TM0n外的所有模式均存在极化简并。

微波技术基础(微波技术与天线)第2章极化简并旋转利用极化兼并现象制成极化衰减器、极化变换器等微波技术基础(微波技术与天线)第2章(3)传输功率其中，

TEmn和TMmn模的传输功率分别为：

微波技术基础(微波技术与天线)第2章3.几种常用模式

TE11模的截止波长最长，是圆波导中的最低次模，也是主模。圆波导中模的场分布与矩形波导的模的场分布很相似，因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导，从而构成方圆波导变换器。(1)主模(principlemode)TE11模

场结构分布图方圆波导变换器

但由于圆波导中极化简并模的存在，所以很难实现单模传输，因此圆波导不太适合于远距离传输场合。微波技术基础(微波技术与天线)第2章（2）圆对称TM01模

TM01模是圆波导的第一个高次模。由于它具有圆对称性故不存在极化简并模，因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式。TM01模的场分布磁场只有H分量波导内壁电流：

因其磁场只有H分量，故波导内壁电流只有纵向分量，因此它可以有效地和轴向流动的电子流交换能量，由此将其应用于微波电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式。微波技术基础(微波技术与天线)第2章(3)低损耗的TE01模

TE01模是圆波导的高次模式，比它低的模式有TE11、