《线性代数》同济大学第四版课后答案

线性代数同济大学第四版

课后答案

习题一

习题一,1_56To

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201

(1)1—4—1

-183

1

〃

z)2

201

解1—4—1

-183

=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8

-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)

=—24+8+16—4=—4.

(2)

⑶

(4)

xyx+y

解yx+yx

x+yxy

二:v(:v±y)i+K«v+；T)+(.Y+V)V.Y-；y-(.v+y)-x

=3.个(丫土］)一/一3.dy-x^-y3-x3

=-2(.?+i-3).

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序

数：

(1)1234;

(2)4132;

(3)3421;

(4)2413;

(5)13•••(2n-l)24•••(2/z);

(6)13…(2〃-1)(2〃)(2〃-2)…2.

解逆序数为5:32,31,42,41,21.

解逆序数为华1：

32(1个)

52,54(2个)

72,74,76(3个)

(2/z-l)2,(272-1)4,(272-1)6,•♦•,(2/z-l)(2/z-2)(zz-1个)

解逆序数为〃(7L1)：

32(1个)

52,54(2个)

(272-1)2,(272-1)4,(2n-l)6,♦一，(2H-1)(2H-2)(7L1个)

42(1个)

62,64(2个)

(27/)2,(2/z)4,(f)6,•…，(2/2)(272-2)(//-I个)

3.写出四阶行列式中含有因子M1S3的项.

解含因子。11。23的项的一般形式为

(-1)%11。23。必45,

其中方是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.

所以含因子。11。23的项分别是

(-1)31。2#3/44=(-DQ到32"44=-61。2/3/44,

(-1)%11。2/3也42=(-1)2。11。2/34处2=。11。234M42・

4.计算下列各行列式:

124

202

520

-17

1

2141

3721

X

2I

/1232

5062

。

1244「21O

1-4

2021202

解122G43

S20321-X+

-4314

-1710010

1110

41099

AXI0

1-212002O

-_--

3I414

X+-1

110211/171

⑵

21412140240

3T21322320

解

12321-2130136

O6562240

5201

140

120

7O

236=

O00

⑶

(4)

1oOO1TO

Q1-APQ

TT1OTIO

解OP1IOI

-cC

OoT"OT"

l+aba0|。3+。,1+"aad

二(—1)(—1产—1c1-1c1+cd

0-1d\I0-10

=(_])(_1产1苧ad\-abcd^-ab+cd+ad+1.

1+司

证明

a2ab留c2~ci\a2ab-ci1b2-a2

2cia+b2b\-2^7b-a2b-2ci

1111q-cj100

^ab-ci2b2-a2

=(T)3=(b-a)(b-ci)cl

b-a2b-la

cix-[-byay+bz。二+bx

(2)ay+bzciz+bxax+by(<73+Z)3)y

“二+ZrvaY+Zrrav+bz

证明

ax+byay+bzaz+bx

ay+bzaz+bxax+by

ciz+bxax+byay-^-bz

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx

-ayciz+bxcix+by+b=ciz+bxcix+by

二cix+bvav+bzxax+byay+bz

xay+bzzy二ciz+bx

-ci1vaz+bxx+〃二xax-\-by

二ax+by),xyay+bz

xyzyx

-c^y=x+Z>3zxy

zx•yx•<vz

xyzxyz

=cPyzx+b3yzx

xyz

=(n3+Z)3)ysx

证明

cr(a+1)2(4+2)2Q+3)2

b20+1)2(5+2)2伯+3)2_得)

(C+1)2(C+2F(C+3)2&马。r厂。r。rGr得)

c12,2

cF(d+1)2©+2)2©+3)2

%+1勿+3%+5

N2+12+3»+5/殂、

c12c+l2c+32c+5Q-3,。厂。2得)

d227+12J+32d+5

22122

+1

22<7122

b+1o

一

一

一

2一

2c+122

c212

?d+12

1l11

〃c

x%%

7^

"/722

c4济

//c

~{a-b)(ci-c)(ci-d)(b-c)(Jb-d)(c-(7)Q+6+c+，);

证明

Il1I

〃d7

7c/

2d2

Az>2c244

z)4c4

l

o111

ob-ac-ad-a

b(b-a)c(c-a)d(d-a)

b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)

111

=(b-a)(c-a)(d-a)bed

b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)

111

=(b-ci)(c-ci)(d-«)0c-bd-b

0c(c-b)(c+b+d)d(d-b)(d+b+ci)

二S_m(c_m("-力(0_/))©_”以6+{+力cKcl+b+a)

=^(^Z))(«-C)(6Z-60(Z>-C)(Z)-J)(C-67)(6H-Z)+C+<7).

x二Ooo

oToo

(5)二¥^+〃，-1+…+%_]'+%.

证明用数学归纳法证明.

当时，D==x2+nx+«,命题成立.

2•vIc/|12

假设对于（厅1）阶行列式命题成立，即

2-尸//2+,..+恁_2丫+q_],

则2按第一列展开.有

—10•••00

2M_X（T严上二二？？

11…x-1

二.丫。%_1+4?2=/+々斜”一＜一.+an_\X^-an.

因此,对于〃阶行列式命题成立.

6.设〃阶行列式及deta"把。上下翻转、或逆时针旋转

90。、或依副对角线翻转.依次得

4,••"1月,一"xnq刀

4=，。2二,4二

%…q「

如…，

证明。=Z)2=(-1)2D、D2=D.

证明因为Z）=det（徇），所以

知…%

凡14万

D[=

%…%

盯…为

小•

沏,

二（—1严（一1尸

4.

H（H-1）

=（_1）1+2+物-2）+S-DD=（_D

同理可证

*1汹1…％M（M-1）M（M-1）

4二（-1尸......二.（.—1）丁gjin-D.

%.…a）m

。3二（一1）亍2=（T）T（-1）-1-D=（-Y）n^D=D.

7.计算下列各行列式（5为k阶行列式）：

a1

（1）2=，其中对角线上元素都是a未写出的元素

1a

都是0；

解

1

Qooo1

o4oo

oooo

(按第〃行展开)

ooo4o

1oo0«

oOOO1

nOOOO

oOOO

。+(—1产y

000a0

=(-l)M+1-(-l)M+4-r&M-2(21).

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得

a/•«

-•o

-o-4•o

-•••・二

o.,•VooX

再将各列都加到第一列上，得

.x+(/z-l)«aa…a

0x-a0・••0

2=00x-a・・・0=[*+(止1)〃](“一。尸.

・・・・・・・・・・・・・・♦

0000x-a

解根据第6题结果，有

111

aa-\a-n

%二S尸

cfA(a-1)"T

an(q-r)n(a-72)"

此行列式为范德蒙德行列式.

-6+1)

%=(T尸口[37+1)-3-，+1)]

»+1>2>；>1

n(n+l)

=(T)Fn«，)]

n+\>i>j>\

通+1)M+(«-l)+--+l

二(T尸•(—2-

«+1>2>；>1

=□(1-，)•

(3c：5

d

解

bn

（按第1行展开）

4

%o0GT%

生"qh

q4+(T严“ci4

4-io%4.i

o

04Cn

再按最后一行展开得递推公式

。2»一q&。2«-2-0%。四0%-2,即D为一(a'd片-b”cQI)2*-2,

于是口幼—PJ(qdj-bjcj)D2.

7=2

而02=彳J=©4-Aq,

所以4=n(a"8q).

i-1

（5）D=det（徇％其中叼啡工

解的尸|L/|，

013-1

1-122

o1-

21

xl-3

304

2=det(%)二MC1-

••7-

o

A1

•

lc

.I

o0o

o0o

20o

2o

-2

・

••二

7

1+q1…1

11

解D尸1+。2…

111+0

q00­001

一弓%0•001

Cl~C2

0一生6.001

C2~C3

000­•,一4-L1

000•••01+6

100.••00

—110­••00

0—11•••00

000•・・—11姑

000•••0—11+端

100.••00可1

—110«••00

0—11•••00

000•.・—11©1

n

000•••001+2X

7=1

解因为

1111

D=2-3-13=T42,

31211

5111511

D、=_5二3-1&=-142,。2=二二&=-284,

0-12110211

1

T

1

=-426,4二T-142

2

所以%=君=2,%=君=3,品=石=-1.

解因为

0

0

0

5

6

1

0

6

5

0

0

6

5

1

0

6

6

5

=

=

5

1

0

6

0

1

0

0

5

0

0

0

0

6

1

0

5

I

0

0

1

X

-

5

0

0

6

-

6

0

1

0

M

1

V

1

0

6

5

5

6

0

o

C

U

=

4

=

,

=

3

1

0

5

7

5

1

—

4

=1

,

0

1

6

5

1

5

6

o

n

》

0

5

0

1

0

1

5

1

I

O

1

X

0

1

5

6

0

0