2020年高考数学（理）三轮冲刺仿真模拟专练模块（解析版）

绝密★启用前

2020届全国统一考试数学仿真模拟试卷一

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。

2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用,橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答?下白书写，要求字体工整、

笔迹清晰。作图题可选用铅笔在等用卞规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米

的

黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书

勺

的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第I卷(选择题)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内)

1.设集合4={%|1082%<1},8={X|X2_X_2<0},则gA=()

A.(-8,2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.(-1,0)

【答案】B

【解析】：集合A={x|log2x<l}={x[()<x<2},

6={X|X2-X-2<O}={X|-1<X<2},

%4={x[—1<XV()},

故选：B

2.已知z=一、(〃>()),若z・i"=5,则〃=()

A.1B.y/5c.百D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

先把复数z进行化简，得到z=2a-ai,再根据共规复数的概念求出2,然后直接计算

即可求解.

【详解】

5a（2—i）

=2a-ai,

（2+，）（2-i）

z-z=5=（2a）2+（-a）2,a>0,解得a=l.

故选：A

【点睛】

本题考查复数的共辗，以及复数的四则运算，属于简单题

3.已知。二3°')"=(g)”，c=log5V6,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数的性质可得,Q<b<-,根据对数的性质可得综合即可得结

22

果.

【详解】

：3°3>3°=1，：.a>\,

vo<（!r<（|）'=|,.-.o<z?<1,

逐=且

：logsV6>log5g,log5屈<log55=1，；.g<c<1,

a>c>b,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了指数、对数值的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解

题的关键，属于基础题.

4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并

得到如图折线图.

1-9月份营业额

35］

30-

提

端25-

艇

20-

15-

10-

5-

0-

123456789月份

------甲门店-------乙门店

下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）

A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元

B.根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在［20,25］内

C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势

D.乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折线图依次判断每个选项：甲门店的营业额平均值远低于32万元，A错误，其他

正确，得到答案.

【详解】

对于A,甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，4

错误.

12+18+21+28+32+25+24+18+16194

对于8,甲门店的营业额的平均值为~9~

9

21.6,

即该门店营业额的平均值在区间［20,25］内，8正确.

对于C,根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.

对于力，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，

则极差为25万元，。正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的识图能力和应用能力.

3x-^+3>0

5.若x,），满足约束条件+y—3Ko，则z=x-2y的最大值为（）

3x-5y-9<0

A.5B.6C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由目标函数作出可行域，由直线方程可知，目标函数过点A时，z有最大值，求出A点

坐标，代入即可求出结果.

【详解】

由X,），满足约束条件，作出可行域如图，

由z=x-2y,—X--Z,

22

由图可知，当自线尸1A-1Z过可行域内点A时

直线在y轴上的截距最小，z最大.

3x-y+3=0

联立,解得A（—2,—3）

3x-5y-9=0

目标函数z=x-2y的最大值为一2+2x3=4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查线性规划问题，解题关键是能将问题转化为直线截距最值的求解问题.

6.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）

俯视用

A.卜5+9夜）万B.367rC.63nD.216+9兀

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目的三视图作出儿何体的直观图，然后计算即可求解.

【详解】

22

则该组合体的体积为V=Vft+V«-7f3-6+|n-3-3=637t.

故选：C

7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般

好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的

性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可

抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这

条曲线的函数是（）

〃/\cosx

B.f(x)=---------

7v72'-2T

sin5x

/(x)=

D.|2v-2-v|

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据奇偶性的判断可知，选项B,D不符题意，然后利用特值法，在范

围内代入一个特值，即可得出正确答案.

【详解】

观察图象可知，函数的图象关于y轴对称,

对于A选项,===为偶函数，

,.人一0/\cos(-x)COSX\，一―亚，

对于B选项，/(-%)==-.=-/(-^),为奇函数,

L-LL-L

CQS(-5X)CQS(5X)人、

对于C选项,4—x)=产可=万可=〃幻’为偶函数'

—sinSxsin5x

对于D选项,/(r)==一/(幻，为奇函数,

而选项B,D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意;

n---1-2^

对选项A而言，当时，如取x-，26-26=--------＜0，则有

6工

26

.5冗

乃、sin——[[

____^_=—（___:___）＜0,/（X）＜0，不合题意:

71久0、兀冗）

6>2%一2%22%一2%

故选：c

【点睛】

本题考查函数图像的判断，有以下几个方法：（1）根据奇偶性判断：（2）根据特值判断：（3）

根据单调性和趋势判断.

8.已知函数/3=疝（勿+°）3>。）的图象与'轴的两个相邻交点的距离等于1

若VxeR/（小/田，则正数夕的最小值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，函数〃x）的半周期为:，故可求得0=4,又由条件VxeR,/（x）</图

7T

推得x=二是的一条对称轴，故而求得3的表达式，由9>0,求得最后结果.

6

【详解】

TT

:函数/0）=5皿（8+8）0>0）的图象与工轴的两个相邻交点的距离等于二,

4

・12471

••-.....—一—...，

2g4

二.。二4,

/./'(%)=sin(4x+0),

乂•.•VxeR,/闺，

71

・・.1=二是/。)的・条对称轴，

6

/.4x—+^>=—+,kEZ,

62

/.(p=k7i-%,keZ.

°>o

5兀

故令％=1,得e=二一为最小值.

6

故选：B.

【点睛】

本题为考查“/(x)=Asin(ox+e)+b的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角

函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型.

9.若(依+£)8的展开式中，的项的系数为F，则d的项的系数为()

7777

A.-B.-C.—D.—

481632

【答案】c

【解析】

【分析】

根据二项式的展开式公式求解再计算V的项的系数即可.

【详解】

勺+1-<8

QIQC1

令8—手=2,解得依4,，C；a4=?,解得。=±9

2o2

3〃7

令8-卞=5,得上2,故x5的系数为仁。6=二.

216

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了二项式的展开式公式的运用，属于基础题.

10.抛物线C：y2=4x的焦点为F,过F且斜率为Q的直线/与抛物线c交于M,N

两点，点尸为抛物线C上的动点，且点P在/的左侧，则APMN面积的最大值为()

16G

A.y/3B.2G2月

亍9

【答案】D

【解析】

【分析】

易得直线/的方程为y=G(x—l)，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出

\MN\；设与直线/平行的直线为：y=Gx+m，当直线y=+m与抛物线相切

时，P到直线/的距离有最大值，进而求得力的值，再求出直线/与直线了=氐+也

3

的距离，最后计算面积即可.

【详解】

由题意可知直线/的方程为：y=g(x-l),设M(X|,y),Ng,%),

代入抛物线的方程可得3/—10尤+3=0，玉+工2=7，

由抛物线的性质可得|VN|=%+々+P=即+2=与，

设与直线/平行的直线方程为：y="c+机，代入抛物线的方程可得

3X2+(2\/3m—4)x+m2=0»

当直线y=氐+力与抛物线相切时，P到直线/的距离有最大值，

所以△=(2j5m—4)2—4x3x77/2=0,解得根=YE,

3

直线/与直线y=&+等的距离［=乎，

所以APMN面积的最大值为Lx3x毡=心8,

2339

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维能力和运算

求解能力，属于常考题.

11.在矩形A8CD中，A3=4,BC=3,沿矩形对角线8。将ABC。折起形成四面

体ABC£>,在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABC。中，当D4L8C时，

24

BC1AC；②四面体ABC。的体积的最大值为与；③在四面体A8CO中，BC与平面

7T

AB。所成角可能为5；④四面体ABC。的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编

号为()

A.①④B.①②C.④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

对四个结论逐一分析判断，

对于①，利用翻折前后BC±DC这个条件不变，易得BCJ.平面OAC,从而，AC；

对于②，当平面BCO_L平面曲时，四面体A8CO的体积最大，易得出体积；

对于③，当平面58_L平面.时，BC与平面所成的角最大，即NCB。，计

算其正弦值可得出结果：

对于④，在翻折的过程中，8。的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的

直径恒为8D,体积恒为定值.

【详解】

如图，当ZMJ.6c时，•：BCA.DC,8CJ.平面D4C,

•••4。<=平面。4。，；.8。，4。，即①正确；

当平面BCD_L平面9时，四面体48CO的体枳最大，最大值为

11…1224…十〃

-x-x3x4x—=■~■,即②正确；

3255

当平面SCOJ-平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为NCBD,而

./〜八CD46.兀

sinZCBD==—<——=sin—•

BD523

JT

：.BC与平面A8O所成角一定小于即③错误；

在翻折的过程中，AABO和AfiC。始终是直角三角形，斜边都是8D,其外接球的球

心永远是83的中点，外接球的直径为BZ),

四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.

故正确的有①②④.

故选：C.

【点睛】

本题考查图形翻折的应用，解题关键是应抓住翻折前后的“不变量”和“变量”，进而

分析计算，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养，属于常考题.

G

12.若对任意的为，x2[-2,0),x,<x2,此---又一<a恒成立，则a的最小值为

X]—x2

()

3211

A.一一rB.一一7C.一一7D.一一

eeee

【答案】A

【解析】

【分析】

x^ex'—x,eX1eXl+aeX1aexa

'------<。恒成立等价于------->------恒成立，令/(©=可得出

%一々X\X2X

a>er(x-l),再令g(x)=e*(x-l),可得aNga),,如,然后利用导数求g(x)”■“即可.

【详解】

对任意的花，w«-2,0),x,<x2,可知王<工2<0，

则犷-冰-<恒成立等价于为一%e*2>a(西一/)，即ex,+ae与+。

------>-------

X一9王X2

令/o)=C±q,则函数在卜2,o)上为减函数,

XX

e*(x—1)—a

m)=<o.

x2

*••ci2e'(x—1)»

再令g(x)=e*(x—l)，尤£1一2,0),

/.g'(x)=xex<0,

，g（x）在［—2,0）上为减函数，

3

gOLar=g（-2）=--f，

e

3

•••心丁

故选：A.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的恒成立求参问题，考查分析和转化能力，考查逻辑思维能

力和运算求解能力，属于常考题.

第H卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的

横线上）

13.已知向量。=0,1）,。=（4,加），向量a在b方向上的投影为则相=.

【答案】2

【解析】

【分析】

由向量投影的定义列出关于m的方程求解即可.

【详解】

ab相・4+1•加5m匚

由题意可知：向量4在〃方向上的投影为讨=二"+加厂=716+/，

25m2

两边平方，可得，=5,解得加=-2或机=2,

16+m~

5m

当加二一2时,■7==T=S不符合题意,

A/16+W

m=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题.

14.在△ABC中，角A,8,C所对的边分别为mb,C,已知a=2，7,b=4,A=120°，

则△ABC的面积为.

【答案】2G

【解析】

【分析】

根据题意，利用余弦定理列方程求解即可.

【详解】

■:a=2币,b=4,4=120。，

由余弦定理a1=b1+c2-2bccosA,可得28=16+c2-2x4xcx,可得c2+4c'-12=0.

解得c=2,

SAABC=—/?csinA=—x4x2x——―2.^3•

222

故答案为：2也.

【点睛】

本题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，准确求解方程,属于简

单题

2cosa+3sina-2

sina

15.若

sin2-

2

【答案】-2

【解析】

【分析】

将所给条件等式化简变形，代入所求式子，结合余弦二倍角公式化简即可得解.

【详解】

sina1

1-cosa3

3sina=1-cosa，

代入等式，结合余弦二倍角公式化简可得

2cosa+3sina—2

si.n24

2

2(2cosa+1-cosa-2)

=—2•

1-costz

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查了三角函数式化简求值的简单应用，二倍角公式的用法，属于基础题.

16.双曲线C的渐近线方程为）=±3彳，一个焦点为F（0，-8）,则该双曲线的标

3

准方程为.已知点A（-6,0）,若点P为。上一动点，且尸点在x轴上方，当点P

的位置变化时，△以尸的周长的最小值为

,2

【答案】工一x2

128

1648

【解析】

【分析】

答题空1：利用已知条件求出a,b,,然后求出双曲线方程即可

答题空2：利用双曲线的定义转化求解三角形的周长最小值即可

【详解】

♦.•双曲线C的渐近线方程为y=±±x，—个焦点为F(0,-8),

3

a2_1

.W，解得所4,/斤4G.

da2+/=8

22

...双曲线的标准方程为X—£=1；

1648

设双曲线的上焦点为尸'(0,8),则|P「|=|PP|+8,

尸的周长为|PF|+|用|+|AF|=|P尸'\+\PA\+\AF+8.

当P点在第二象限，且A,P,F'共线时，尸尸|+|必|最小，最小值为|AF'1=10.

而|A尸1=10,故，△出尸的周长的最小值为10+10+8=28.

丫2X2

故答案为：=1；28.

1648

【点睛】

本题考查根据已知条件求解双曲线的标准方程，以及求解三角形的周长最小值问题，属

于简单题.

三、解答题：(本大题满分60分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.)

17.设｛4.｝是一个首项为2,公比为q(qWl)的等比数列，且3a”2痣，的成等差数列.

(1)求｛斯｝的通项公式;

（2）已知数列仍“｝的前”项和为S"，仇=1,且£一6二=1（〃22）,求数列｛斯•瓦｝

的前八项和T„.

【答案】⑴a,,=23""w"；（2）（=2（，-1）3"+2.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合等差数列、等比数列的性质可得4X2q=3X2+2,,解方程后利用等比

数列的通项公式即可得解；

（2）由题意结合等差数列的判定与通项公式可得£=〃，利用々与S,,的关系可得

2=2〃一l,〃wN*,进而可得4•々=2（2〃-1>3"T,〃GN*,再利用错位相减法即可

得解.

【详解】

（1）因为3。”2a2,。3成等差数列，所以4。2=3。］+。3,

又｛&｝是一个首项为2,公比为4（4/1）的等比数列，

所以4X20=3X2+27,解得q=3或g=l（舍去），

则见=2・3"T,〃WM；

（2）由=目.-y/S”_i=1（〃22）,

可得｛后｝是首项和公差均为1的等差数列，

所以底=1+〃-1=〃，所以S“=〃2,

可得〃=1时,b\=S\=\；

22

〃之2时，bfl=Sn-SM_）=n-（7?-1）=2/1-1,对于〃二1时，该式也成立，

则bn=2H-1,HGN*,

所以q,心=2(2〃_1>3"T,〃GM

所以7；=21/+3・3+5・32+…+(2〃-

37；,=2[l-3+3-32+5-33+---+(2n-l)-3n],

两式相减可得一2骞=2口+2-(3+32+…+3"T)-(2〃-1>31

=2+4x-2(2K-1)-3,'=-4(/?-l)3n-4-

所以1=2(〃一1)3"+2.

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了数列an与5„的关系与错位相减法

求数列前〃项和的应用，牢记错位相减法对应的形式并且细心计算是解题关键，属于中

档题.

18.如图，长方体A3CD—44GR的底面为正方形，AB=l,AA,=3,BE=2EB],

4M=2M4,N是棱GA的中点，平面AEG与直线”相交于点尸.

(1)证明：直线MN〃平面AEC/；

(2)求二面角E—AC—E的正弦值.

AR

【答案】（I）证明见解析；（2）旦.

3

【解析】

【分析】

（1）推导出CE〃AR,设点G为。尸的中点，连接GM,GN,推导出GN〃平面

AEQF,GM〃平面AEC；R,从而平面MNG〃平面,由此能证明MN〃平

面；

（2）以。为原点，D4为％轴，0c为了轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法求出二面角E—AC-尸的正弦值.

【详解】

（1）证明：平面B4GC〃平面

平面AEC}F平面BB}C}C=EC1,

平面AEG?平面A41f>[£>=AE,

：.CyEHAF,由题意得£>[E=2£D,

设点G为力厂的中点，连接GM,GN,

QN是棱CR的中点，GN〃凡；，

GN仁平面AECtF,FC,u平面AEQF,

:.GN〃平面AEJF,

D、F=2FD,A"=2M4，

GM//AF,

GM0平面AEGF,AFu平面AEC.F,

r.GM〃平面AEG尸，

GNGM=G,

：.平面MNG//平面AEJF,

MNu平面MNG,

；.MN〃平面AECF；

(2)解：以。为原点，D4为x轴，OC为了轴，为z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，

AB=1,DD、=3,

：.A(1,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),E(l,l,2),

AC=(-1,1,0).他=(0,L2)，AF=(-1,0,1).

设平面ACE的法向量〃?=(x,y,z)，y>z),

m-AC=-x+y=0

则(,，取z=l,得加=(—2,—2,1),

m-AE=y+2z=0

设平面ACF的法向量n={a,b,c),

〃,AC=-a+〃=0,八…

则《,取〃=1,得〃=（1』,1）,

n•AF=一。+c=0

设二面角E—AC—P的平面角为

|m-«|_|-2-2+1|_^

由6昨即

sin®=

二面角E—AC—P的正弦值为逅.

3

【点睛】

本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法，考查推理论证能力与运算求解能力，属

于中档题.

19.已知0V机＜2,动点用到两定点Q（一肛0）,巳（见0）的距离之和为4,设点M

的轨迹为曲线C,若曲线C过点N

（1）求加的值以及曲线C的方程;

（2）过定点且斜率不为零的直线/与曲线C交于48两点.证明：以AB为直径

的圆过曲线C的右顶点.

2

【答案】（1）—+y2=l；（2）证明见解析.

4-

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的定义可知曲线c是以两定点a,6为焦点，长半轴长为2的椭圆，再代入点

N求得椭圆中的基本量即可.

(2)设直线/：x=bg,再联立椭圆的方程，得出韦达定理，代入PA-PB进行计算可得

=O证明即可.

【详解】

(1)解：设M(x,y),因为'人|+|M&|=4>2见所以曲线C是以两定点R,B为焦点,

长半轴长为2的椭圆,所以a=2.

设椭圆c的方程为：+，=i(40),代入点卜心1,

由c=a-b2,得?=3,

2

所以〃?=C=J§，故曲线C的方程为?+>2=1；

(2)证明：设直线/：x=ty+^,A(xi,yi),B3,以)，

椭圆的右顶点为P(2,0),联立方程组

6

消去X得(产+4)y2+?)_||=o

0

龙一2,

——+V=1

14•

—⑵64

W，2

△>o,yi+y25（774））25(产+4)，

所以。4依=（西一2）（々一2）+x%=（r+l）yy2TM+乂）+^|

一64--64+48/+16产+64八

=河西=°，；•PA1PB，

故点P在以A3为直径的圆上，即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义以及方程的求解方法，同时也考查了联立直线与椭圆的方程，

得出书达定理证明圆过定点的问题，可利用向量的数量积为0列式化简求解.属于难题.

20.已知函数/(x)-Inx-tx+t.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当尸2时，方程/(x)刊-奴恰有两个不相等的实数根孙孙证明：-4~->2-a.

2xtx2

【答案】(1)当心0时J(x)在(0,+8)上单调递增；当00时J(x)在(0,；)上

单调递增，在(L+8)上单调递减：(2)证明见解析.

t

【解析】

【分析】

(1)求导后分f40和t〉0两种情况讨论极值点的大小关系以及导函数的正负，进而求得

原函数的单调区间即可.

(2)代入t=2,根据-ax,可得8(力=111%+(。一2)%+2=加的两根分别为％1j2,

InA|x+x,尤，,

再消去m化简得到o尤2，再代入所证的T~~^>2一生换元令」=C,C>1,

a-Z-------2xtx2x.

Xt-X2

进而求导分析导数的正负以及原函数的单调性即可.

【详解】

(1)/(X)的定义域为(0,+8)，［(x)=--r,

x

当rWO时,r(x)>()恒成立J(x)在(0,+8)上单调递增，

当f>0时，令#(x)>0,得OCxV］，令r(x)V0,得

tt

：.f(x)在(0,；)上单调递增，在(；，+8)上单调递减.

综上所述，当/W0时J(x)在(0,+8)上单调递增；

当，>0时J(x)在(。，)上单调递增，在(；，+8)上单调递减.

(2)证明：由f(x)-m-ax,得x+(a-2)x+2-m=O.

令g(x)-Inx^(a-2)x+2,则g(%i)-g(M)-m.

即加X］+ka-2)x\=btX2+(a-2)也，

王一超

不妨设0<R〈M,要证T—->2-Q,

只需证土卫">2(2-a)-2加工即证五一二<_2打强

XjX2=------x2xl西

元]~~x]

,X1

令一2=c(0>1),g(c)=2lnc-c+—,

%c

'/g(c)=17=-(I)2<0.

ccc

:・g(c)在(l,+8)上单调递减，则g(c)<g(1)=0.

故T-^>2-a成立.

2X}X2

【点睛】

本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数解决双变量的

问题,需要根据题意消去参数,再换元构造函数分析单调性与最值证明不等式.属于难

题.

21.2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门

了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持

警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实

际需要，某小区物业提供了A,B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的

最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独

投给A方案，则A方案得1分，B方案得-I分；②单独投给8方案，则B方案得I分，

A方案得-1分；③弃权或同时投票给A,B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人

员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4

名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.

假设A,8两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为!■和!.

(1)在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为。求4的分布列；

(2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

1Q1

【答案】(I)分布列见解析；(2)

324

【解析】

【分析】

(1)由题意知，匕的所有可能取值为-1,0,I,然后，列出自的分布列即可

(2)记M表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记也表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

记选取4方案为小区管理方案的概率为P,

然后分别求出P(M2),P(M,)的值，则选取A方案为小区管理方案的概率

为:

P=P（M^+P（M2）+P（M3）,然后计算求解即可.

【详解】

（1）由题意知，g的所有可能取值为-1,o,1,

211211112,]_

P(£=-1)=(1一一)x-=-,P(£=0)=-x-+-x-=-,P(?=l)=-x1

326323223I23

的分布列为

-101

P111

63

（2）记M表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

由（1）知，P（陷）=[〃偌=1）]2=（；）2=\

记此表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

PM）=C；[P（4=P（J=0）=2X（i）2=

记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，

①若A方案比B方案多4分，有两类：

第一类，A方案前三次得了一次I分两次。分，最后一次得I分，其概率为

第二类，A方案前两次得了一次1分一次-1分，后两次均得1分，其概率为

c；.p（L"i）r$

O1

②若4方案比8方案多2分，有三类：

第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为

C.[P（J=0）『P（J=l）=:；

O

第二类，A方案前三次得了一次1分，一次。分，一次-1分，最后一次得了1分，其

概率为8.[p(g=i『p(4=o).p(4=-i)=±；

1O

第三类，A方案前两次得了一次1分一次-1分，第三次得1分，第四次得。分，其概

率为C；.[P(J=l)]2.p(J=O).p(4=—l)=].

11111109

故P(M)=--1---1--1---1---=---

128161854324

...最终选取A方案为小区管理方案的概率为

P=P(M)+P(M)+P(M3)=:+/M=M

77DJ4什

【点睛】

本题考查离散随机变量的分布列问题，属于中档题.

22.已知函数/(x)=|x-g|,且对任意的x,/(x)+/(-x+g)2m.

(1)求利的取值范围；

(2)若"？eN,证明：./'(5皿2&)二/1(8$2々+1)＜机.

【答案】(1)mV』(2)证明见解析.

2

【解析】

【分析】

(1)先求得函数+-式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而

得相的取值范围；

(2)由(1)中用的取值范围，结合机eN可得能=0.代入不等式及函数解析式，分

类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立.

【详解】

(1)函数/(x)=|x-g|，

山绝对值三角不等式可得/(x)+/f-x+1j=i

2+H

>]_

+(T2

当且仅当「一：｝(一另20时取等号，

因而777<—

2

(2)证明：由(1)可知根(,，且mwN,

2

则机=0,

要证明/(sin2a)-/(cos2cr4-1)<m，

只需证明/(sin2a)—/(cos2。+1)W0，

11

22

nacosa+

而/(sin2a)-/(cos2a+1)=si-2--2

=sin2a---cos2a--

22

2sin2cr-2,—<sin2a<1

2

.1

—1,0Wsin7-a<万

当5Wsin2a«1时，/(sin?a)-/(cos26r+l)=2sin2a—2<0.

当OSsir^ac；时，/(sin2a)-/(cos2a+l)=-l,

综上可知/(sin2a)-f(cos2a+1)W0，

原命题得证.

【点睛】

本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值

证