广东高考数学二轮复习每日一题规范练(第二周)理

每天一题规范练(第二周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间π0，2上的最大值和最小值；ππ若f(x0)＝5，x0∈4，2，求cos2x0的值．解：(1)f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)3sin2x＋cos2xπ＝2sin2x＋6，因此函数f(x)的最小正周期为π.π又x∈0，2，π7π因此2x＋6∈6，6，因此sin2x＋π∈－1，1，62因此函数f(x)在区间0，π上的最大值为2，最小值为－1.26由于f(x0)＝2sin2x0＋6＝5，π3因此sin2x0＋＝，ππ又x0∈4，2，2π7π知2x0＋6∈3，6.π2π4因此cos2x0＋6＝－1－sin2x0＋6＝－5，因此0＝2x0＋π－π＝0＋π·π＋20＋ππ＝－4cos2xcos66cos(2x6)cos6sinx6sin65331×＋×＝2523－4310

.[

题目2](本小题满分

12分)已知数列

{an}是等差数列，

a2＝6，前

n项和为

Sn数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.求{an}，{bn}的通项公式；求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)由于数列{an}是等差数列，a2＝6，因此S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，因此b1＝1，由于b2＝2，数列{bn}是等比数列，因此bn＝2n－1，则b3＝4.由a1b3＝12，得a1＝3，则等差数列{an}的公差为d＝a2－a1＝3.因此an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)．设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，则Cn＋1＝(－1)n＋12n，Cn＋1因此Cn＝－2，又C1＝－1，因此数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．因此Tn＝－1×[1－（－2）n]＝1[(－2)n－1]．1－（－2）3[题目3](本小题满分12分)经过随机咨询100名性别不一样的大学生能否喜好某项运动，获得以下2×2列联表：喜好状况男女总计喜好40不喜好25总计45100将题中的2×2列联表增补完好；可否有99%的掌握以为能否喜好该项运动与性别相关？请说明原因；(3)假如按性别进行分层抽样，从以上喜好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为，求X的散布列和数学希望．X附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82822n（ad－bc）K＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)题中的2×2列联表增补以下：分类男女总计喜好402060不喜好152540总计5545100K2＝100×（40×25－20×15）2≈8.25＞6.635，55×45×60×40因此有99%的掌握以为能否喜好该项运动与性别相关．(3)由题意，抽取的6人中包含男生4名，女生2名，X的取值为0，1，2，32112C1CC3CC144242PX5PX5PX5C6C6C6故X的散布列为X012P131555131E(X)＝0×5＋1×5＋2×5＝1.[题目4](本小题满分12分)在以下图的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA⊥AB，M是线段EC上的点(不与端点重合)，F为线段DA上的点，N为线段BE的中点．若M是线段EC的中点，AF＝3FD，求证：FN∥平面MBD；EM1若＝λ，二面角M-BD-A余弦值为，求λ的值．MC3证明：连结MN.由于M，N分别是线段EC，线段BE的中点，1因此MN∥CB且MN＝2CB＝4DA，1又AF＝3FD，因此FD＝4DA，因此MN＝FD，又CB∥DA，因此MN∥DA，因此MN∥FD.因此四边形MNFD为平行四边形，因此FN∥MD，又FN?平面MBD，MD?平面MBD，因此FN∥平面MBD.(2)解：由已知，分别以直线，，为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系-，AEABADAxyz以下图．设CB＝1，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，E(2，0，0)→→→DB＝(0，2，－2)，DC＝(0，2，－1)，CE＝(2，－2，－1)，→→→1→由于EM＝λMC，因此CM＝1＋λCE，→→→→1→2，2λ，－2－λ1＝＋＝＋＝＝(2，2λ，－2－λ)．DMDCCMDC1＋λCE1＋λ1＋λ1＋λ1＋λ设平面ABD的一个法向量为n＝(1，0，0)，1平面的法向量为n＝(x，，)，MBDyz→→则有n⊥DB，n⊥DM.→n·DB＝0?2y－2z＝0?y＝z，因此→n·DM＝0?2x＋2λy－（2＋λ）z＝0，令z＝1，则n＝2－λ，1，1.2由于平面ABD与平面MBD所成二面角的余弦值为13，2－λ1121|n·n|因此|cos〈n，n1〉|＝|n||n1|＝3?2－λ2＝3，2＋2解得λ＝1或λ＝3.又由于平面ABD与平面MBD所成二面角为锐角，因此λ＝1.[题目5](本小题满分12分)已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，务实数a的值；(2)设()＝(－2)x，若存在x0∈1f(x0)≤(0)成立，务实数a的取值范，e，使得gxaegx围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，a＋2x2x2－4x＋a′( )＝－4＝.fxxx由于x＝3是函数f(x)的一个极值点，因此f′(3)＝0，解得a＝－6.经查验，当＝－6时，＝3是函数f(x)的一个极小值点，切合题意，ax故实数a的值为－6.(2)由f(x)≤g(x)，得(x－lnx2－2x，000000记()＝－ln(x＞0)，则′( )＝x－1x＞0)，(FxxxFxx因此当0＜x＜1时，F′(x)＜0，F(x)单一递减；当x＞1时，F′(x)＞0，F(x)单一递增．因此F(x)＞F(1)＝1＞0，2x0－2x0.因此a≥x0－lnx021记()＝x－2x，x∈，e，Gxx－lnxe则G′(x)＝（2x－2）（x－lnx）－（x－2）（x－1）（x－lnx）2（x－1）（x－2lnx＋2）＝（x－lnx）2.1由于x∈e，e，因此2－2lnx＝2(1－lnx)≥0，因此x－2lnx＋2＞0，1因此当x∈，1时，G′(x)＜0，G(x)单一递减；当x∈(1，e]时，G′(x)＞0，G(x)单一递加．因此G(x)min＝G(1)＝－1，因此a≥G(x)min＝－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．x2y2[题目6](本小题满分12分)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的焦距为23，且椭圆C与y轴交于A(0，－1)，B(0，1)两点．求椭圆C的标准方程及离心率；(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右边，直线，与直线x＝3交于，PAPBMN两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围及|EF|的最大值．解：(1)由题意，得＝1，＝3，bc22c3因此a＝b＋c＝2，离心率e＝a＝2，x22椭圆C的标准方程为4＋y＝1.(2)设P(x0，y0)(0＜x0≤2)，A(0，－1)，B(0，1)，y0＋1y0＋1因此kPA＝x0，直线PA的方程为y＝x0x－1，y0－1同理得直线PB的方程为y＝x0x＋1，直线PA与直线x＝3的交点为M3，3（y0＋1）x0－1，直线与直线x＝3的交点为N3，3（y0－1）＋1，PBx0线段MN的中点3，3y0，x0因此圆的方程为(x－3)2＋y－30232y＝1－x0.x029y032221－，令y＝0，则(x－3)＋x0＝x02136022由于＝－，4＋y0＝1，因此(x－3)4x0由于这个圆与x轴订交于E、F两点，因此该方程有两个不一样的实数解，则13－6＞0，又0＜x0≤2，4x024解得x0∈13，2.24故P点横坐标的取值范围为，2.13设交点坐标E(x1，0)，F(x2，0)，则|EF|＝|x1－x2|＝2136244－(＜x0≤2)，x013因此||的最大值为1.EF[题目7]1.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝4cosα＋2，y＝4sin(α为参数)，以Oα为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．求曲线C的极坐标方程；设直线l与曲线C订交于A，B两点，求|AB|的值．解：(1)将方程x＝4cosα＋，2消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，y＝4sinα因此曲线C的一般方程为x2＋y2－4x－12＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得ρ2－4ρcosθ＝12，因此曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝12.(2)设A，B两点的极坐标分别为ππρ1，6，ρ2，6，2－4ρcosθ＝12，2由π消去θ得ρ－23ρ－12＝0，212是方程ρ－23ρ－12＝012＝212依据题意可得ρ，ρ的两根，因此ρ＋ρ3，ρρ＝－12，因此|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.2．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x－1|.当a＝2时，求对于x的不等式f(x)＞5的解集；若对于x的不等式f(x)≤|a－2|有解，求a的取