人教版中考数学一轮复习数学基础讲练：第16讲 直角三角形

第16讲直角三角形考标要求考查角度1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．(2022广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是()A．eq\f(36,5)B．eq\f(12,25)C．eq\f(9,4)D．eq\f(3\r(3),4)2．(2022四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式eq\r(c2－a2－b2)＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．3.(2022重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.解：△MEF是等腰直角三角形．连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°.∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA．又∵FB＝FD，∴FB＝EA，∴△BFM≌△AEM(SAS)，∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME.∵∠AMF＋∠BMF＝90°，∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，∴△MEF是等腰直角三角形．方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是()A．∠A＝∠B＝eq\f(1,2)∠CB．∠A＝90°－∠C C．∠A＋∠B＝∠CD．∠A－∠C＝90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE.(1)解：图2中△ABE≌△ACD．证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD．(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为xcm，由折叠得△ACD≌△AED．∴AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x)cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3方法总结1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积．考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E站应建在距A站xkm处，根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.所以E站应建在距A站6km方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以81．(2022湖南邵阳)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段__________．2．(2022湖南岳阳)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________.3．(2022湖南郴州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边长为__________．4．(2022湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3eq\r(2)千米，请据此解答如下问题： 图甲 图乙(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据eq\r(2)≈，eq\r(3)≈，eq\r(6)≈；(2)求∠ACD的余弦值．1.如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为()A．3cm B．6cm C．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝eq\f(1,2)b，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()A．5eq\r(7) B．25 C．5eq\r(7)或25 D．无法确定4.如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则()A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则eq\f(CE,BC)的值是()A．eq\f(24,7)B．eq\f(\r(7),3)C．eq\f(7,24)D．eq\f(1,3)6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝2eq\r(5)，则BE的长为__________．7.如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为___________.8.如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．参考答案【知识梳理】一、1.互余2.一半3.一半二、°2.互余3．一半4.平方和导学必备知识自主测试1．A根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝15.过点C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(9×12,15)＝eq\f(36,5)，则点C到AB的距离是eq\f(36,5).2．等腰直角三角形由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．3．解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝2eq\r(3)＋4＋2＝6＋2eq\r(3).探究考点方法触类旁通触类旁通2.解：在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝eq\r(42＋32)＝5，在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝eq\f(1,2)AB·AD＋eq\f(1,2)BC·BD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×12×5＝6＋30＝36.触类旁通3.解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32(2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝4eq\r(5)，故△ABD的周长为(20＋4eq\r(5))m.(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，则x＝eq\f(25,3)，故△ABD的周长为eq\f(80,3)m.品鉴经典考题1．答案不唯一，BD＝CD或BE＝CE或AC＝CE或CE＝AE或AC＝AE或AE＝BE等由线段垂直平分线的概念，得BD＝CD；由线段垂直平分线的性质，得BE＝CE；由△ACE是等边三角形，得AC＝CE＝AE；由三角形中位线的性质，得AE＝BE，由上面结论，任选两条相等的线段即可．\f(3,2)设B点的对应点为B′，连接DB′，由勾股定理得AC＝5，又AB′＝AB，所以B′C＝5－3＝2，设DB＝DB′＝x，则DC＝4－x，在Rt△DB′C中，x2＋22＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2).3．54．解：(1)连接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(152＋152)＝15eq\r(2)(千米)．在Rt△ACD中，AC＝15eq\r(2)千米，CD＝∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r((15\r(2))2－(3\r(2))2)＝12eq\r(3)(千米)．∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝15＋15＋3eq\r(2)＋12eq\r(3)＝30＋＋≈55(千米)，面积＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×15×15＋eq\f(1,2)×12eq\r(3)×3eq\r(2)＝eq\f(225,2)＋18eq\r(6)≈157(平方千米)．(2)cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(3\r(2),15\r(2))＝eq\f(1,5).研习预测试题1．D2．A由a＋c＝2b，c－a＝eq\f(1,2)b，可得c＝eq\f(5,4)b，a＝eq\f(3,4)b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．3．C5．C由折叠性质可知，AE＝BE，设CE为x，则BE＝8－x.在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2，所以x＝eq\f(7,4).故eq\f(CE,BC)＝eq\f(\f(7,4),6)＝eq\f(7,24).6．4eq\r(2)∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴CD＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)BC，∴AB＝4eq\r(5)，BC＝4.在Rt△ACB中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝8，∴CE＝eq