线性代数答案5章习题

第一节矩阵的特征值与特征向量一、填空题1.已知n阶方阵的特征值为，则=

.解:特征多项式为:第五章习题答案2.若0是矩阵A的特征值，则A______（可逆，不可逆）.解:0是矩阵A的特征值所以矩阵A不可逆。不可逆3.已知A为二阶方阵,则A的特征值为____.解:设A的特征值为,对应的特征向量为x,即有由于则有又由于只有在等式两边左乘A得：4.若三阶方阵A的特征值为1,2,3，则______解:三阶方阵A的特征值为1,2,3A的迹（对角元之和）为

______。5.零矩阵的特征值只能是______解:6.

已知三阶方阵A的三个特征值为-1

,

2

,4

,

解:根据方阵特征值的性质知:征值,的特征值为应填:6

,

3

,11

.6,3

,

11若是可逆方阵A的特若是可逆方阵A的特征值，6.

已知三阶方阵A的三个特征值为–1,2,4,解:由式,相同的特征方程,因而有相同的特征值.应填:–1,2,4.–1,2,4

由于三阶方阵A有三个特征值:–1,2,4,故|A|=–1×2×4=–8.故应填:8,–4,–2.8,–4,–2

7.若A是n阶方阵，若，则的特征值

为

。解:所以A必有特征值为：二、选择题1.设A是n阶矩阵,如果|A|=0,则A的特征值().(A)全是零;(B)全不是零;(C)至少有一个是零;(D)可以是任意数.解:所以A的特征值中至少有一个是零.故应选(C).C2.设=2是可逆阵A的一个特征值,解:若A可逆,若是矩阵A的特征值,B则故应选(B).的一个特征值应由于=2是可逆阵A的一个特征值,为:三、1、求下列矩阵的全部特征值及特征向量.解:解:2、四、证明题：1、设，证明：A的特征值只能是1或2.证:所以A的特征值只能是1或2。2、设

是n阶方阵A的两个不同的特征值，

是分别属于特征值

的特征向量，证明：证:则有不是A的特征向量.（提示：用反证法）设A对应于特征向量的特征值为,而矛盾假设不成立，故原命题成立。2.若四阶方阵A与B相似,方阵A的特征值为1,-2,3,-4,I为四阶单位阵,则|B

+I|=______.解:A与B相似,A为四阶方阵且有四个特征值1,-2，3,-424第二节相似矩阵与矩阵的对角化一、填空题则B也有四个特征值1，-2,3,-4,且与对角阵相似.1.若方阵A与B相似,则|A|______|B|.=3.设矩阵相似于矩阵B,则矩阵R(B−I)=_______.1解:已知A~B,由相似关系的传递性知B~C.R(B−I)=R(C−I)所以应填1.所以1、

n

阶方阵A具有n个互不相同的特征值,是A与对角阵相似的().(A)充分必要条件;(B)充分而非必要条件;(C)必要而非充分条件;(D)既非充分又非必要条件.解:

n阶方阵A具有n个互不相同的特征值,则A必可化为一个对角阵(即与对角阵相似).

但n阶方阵A的n个特征值有若干相等时,A还是可化为一个对角阵,

只要A具有n个线性无关的特故选项(B)正确.

征向量,B二、选择题2、

n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个().(A)相同的特征值;(B)互不相同的特征值;(C)线性无关的特征向量;(D)两两正交的特征向量.解:

n阶方阵A具有n个互不相同的特征值,则A必与一个对角阵相似.

但n阶方阵A的n个特征值有若干相等时,A就与一个

只要A具有n个线性无关的特征向量,

因此选项(C)正确C对角阵相似.3.

设三阶矩阵A的特征值分别是0，-1，2，其对应的特征向量分别为解:构成可逆矩阵P的特征列向量的排列要与对角阵特征值的排列顺序相对应,故选项(A)是正确的.A4.方阵

与

相似，则下列说法不总成立的是（）(A)A与B有相同的特征值;B(B)A与B有相同的特征向量;(C)A与B有相同的秩;(D)A与B有相同的特征多项式;三、判断下列方阵A能否对角化?若能,则求P,为对角阵.1、解:A的特征方程为：因为A有三个不同的特征值，所以A可对角化。对应的齐次线性方程组为：对应的齐次线性方程组为：对应的齐次线性方程组为：2.解:3.解:四、设三阶方阵A的特征值为它们对应的特征向量依次为求矩阵A.解:由于可以求得所以五、设矩阵A与矩阵B相似，且解:(1)、求(1)、根据相似矩阵的性质，可得：(2)、求可逆矩阵C，使得解:(2)、由（1）可知：矩阵A有特征值2和6(2)、求可逆矩阵C，使得解:(2)、求可逆矩阵C，使得第三节实对称矩的对角化一、填空题1、任一方的阵属于不同特征值的特征向量必________实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是____

_.线性无关正交2、

A为三阶实对称矩阵,=3为矩阵A的三重特征值,则齐次线性方程组(3I-A)x=的基础解系包含_____个解向量.3（填向量之间的关系）解:若A是n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则特征矩阵I-A的秩为R(I-A)=n−k,

从而对应于特征值恰有k个线性无关的解向量,齐次线性方程组(I−A)x=的基础解系包含n−r=n−(n−k)=k本题中=3是3阶实对称A的3重特征值,故齐次线性方程组(3I-A)x=的基础解系包含3个个解向量.解向量.二.解:设求正交矩阵P,经计算:经验证再单位化:正交矩阵为:则有:三、解:(1)求(1)相似矩阵具有相同的特征值，则A的特征解方程组得：(2)求正交矩阵P，使得值为0，1，2，从而(2)、其一个基础解系为：此时：其一个基础解系为：其一个基础解系为：单位化：综合练习题五一、填空题1、已知三阶方阵A的特征值为1,3,5，则行列式

。解:因为方阵A的特征值为1,3,5，所以方阵A-2I的特征值为-1,1,3，2、若矩阵不可逆，则A必有一个特征值为

。若矩阵不可逆，则A必有解:不可逆一个特征值为

。所以矩阵A有一个特征值为2不可逆所以矩阵A有一个特征值为-33、

设矩阵，且A的特征值为2和1（二重），则B的特征值为

。解:所以矩阵B的特征值为2，1,14、

若是矩阵A的特征向量，则

是矩阵的特征向量.解:是矩阵A的特征向量5、设三阶矩阵A的特征值为0,1,2，则=

。解:因为A的特征值为0,1,2，1、设是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程

的基础解系为，则A的对

(A)和;(B)或;(C)（为任意常数）;(D)（为不全为0任意常数）。

D二、选择题组应于特征值的全部特征向量为（）

2、

若n阶方阵A的各行元素的和都为a，则A必

有一个特征值为（）.

(A);(B);(C);(D)A解:因为A的各行元素的和都为a所以A有特征值为a3、设n阶矩阵A与B相似，则（）.

(A)(B)(C)A与B都相似于一个对角阵(D)以上都不对

B解:因为矩阵A与B相似所以A与B具有相同的特征多项式4、矩阵与下列哪个矩阵相似（）

(A)(B)(C)(D)C三、设只有一个线性无关的特征向量，求值。

解:因为A只有一个线性无关的特征向量经计算:四、设A为3阶实对称矩阵，且满足

求A的3个特征值

。

解:设A对应于特征向量x的特征值为,则有上式两边左乘A得:则得：所以A的特征值0为单根,故A的3个特征值为：0,1,1五、设三阶矩阵A的特征值为：对应的特征向量依次为：解:（1）将用线性表示；（2）求（1）把此方程组的增广矩阵作初等行变换得：（2）六、已知是的特征值，判断A能否能对角化，并说明理由.解:因为为A的特征值解:六、已知是的特征值，判断A能否能对角化，并说明理由.解:当时所以方程组有唯一解；故A不可对角化。七、设求解:A的特征多项式为A的特征值为经验证为一正交向量组.将单位化:则得正交矩阵八、已知三阶实对称矩阵A的特征值为

0,2,2对应于特征值0的特征向量为，试求相应

解:设特征值2的特征向量为：于特征值2的全部特征向量。所以特征值2的特征向量为：其中