考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．若事件A和B同时出现的概率P(AB)=0，则()A．A和B不相容(互斥)。B．AB是不可能事件。C．AB未必是不可能事件。D．P(A)=0或P(B)=0。正确答案：C解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由P(AB)=0不能推出AB是不可能事件，故选C。知识模块：概率论与数理统计2．设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B｜A)=1不等价于()A．P(A-B)=0。B．P(B-A)=0。C．P(AB)=P(A)。D．P(A∪B)=P(B)。正确答案：B解析：P(B｜A)==P(A)，然而P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以选项B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：A选项P(A-B)=P(A)-P(AB)=0P(AB)=P(A)。C选项P(AB)=P(A)P(B｜A)=1。D选项P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。知识模块：概率论与数理统计3．连续抛掷一枚硬币，第k(k≤n)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()A．B．C．D．正确答案：D解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n-k次反面。第n次必是正面向上，前n-1次中有n-k次反面，k-1次正面(如上图所示)。根据伯努利公式，所以概率为知识模块：概率论与数理统计4．设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()A．f1(x)f2(x)。B．2f2(x)F1(x)。C．f1(x)F2(x)。D．f1(x)F2(x)+f2(x)F2(x)。正确答案：D解析：因为f1(x)与f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数F1(x)与F2(x)也连续。根据概率密度的性质，应有f(x)非负，且。在四个选项中，只有D项满足。故选项D正确。知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0，其分布函数F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为()A．(μ，σ)。B．C．D．(0，σ)。正确答案：C解析：X～N(μ，σ2)，其密度函数F(X)=f(x)的拐点的x坐标a应满足F’’(a)=f’(a)=0，故a=μ为f(x)的驻点，当x=μ时，F(μ)=，故曲线拐点在，故选项C正确。知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量Xi～(i=1，2)且满足P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}等于()A．0。B．C．D．1。正确答案：A解析：由P{X1X2=0}=1得知，P{X1X2≠0}=0。于是根据X1，X2的分布律，有P{X1=-1，X2=-1}=0，P{X1=-1，X2=1}=0。P{X1=1，X2=-1}--0，P{X1=1，X2=1}=0。再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X2)的联合分布律如下表。由上表显然可见，X1=X2有三种情况，每种情况的概率均为0，因此P{X1=X2}=0，故选项A正确。知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立。且X～N，则与随机变量Z=Y-X同分布的随机变量是()A．X-Y。B．X+Y。C．X-2Y。D．Y-2X。正确答案：B解析：由题意知，X～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故X+Y和Z是同分布的随机变量。知识模块：概率论与数理统计8．已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则()A．D(X+Y)≥D(X)+D(Y)。B．D(X+Y)＜D(X)+D(Y)。C．D(X-Y)≥D(X)+D(Y)。D．D(X-Y)＜D(X)+D(Y)。正确答案：D解析：根据公式D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X，Y)确定正确选项。由于X与Y的相关系数Cov(X，Y)＞0。所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)＞D(X)+D(Y)。D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)＜D(X)+D(Y)。应选D。知识模块：概率论与数理统计9．已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=μ，D(X)=D(Y)=σ2，X和Y的相关系数ρ=0，则X和Y()A．独立且有相同的分布。B．独立且有不相同的分布。C．不独立且有相同的分布。D．不独立且有不相同的分布。正确答案：A解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到X和Y独立；又(X，Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)。所以选A。知识模块：概率论与数理统计10．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时，以Ф(x)为极限的是()A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E(Xi)=λ，D(Xi)=λ，根据方差与期望的运算法则，有以Ф(x)为极限，故应选C。知识模块：概率论与数理统计11．设X1，X2，X2，X4是取自总体N(0，1)的简单随机样本，已知服从χ2(n)，则n+a=()A．5。B．4。C．3。D．2。正确答案：C解析：由Y～χ2(n)可知n=2，且(X1+X2)～N(0，1)，故则n+a=3，选C。知识模块：概率论与数理统计12．已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，均值为，则由P{a＜U＜b}=1-α，可以求得μ置信度为1-α的置信区间，其中a、b是()A．满足P{U＞b}=的唯一实数。B．满足P{U＞b}=的唯一实数。C．满足P{U＞b}=的唯一实数。D．满足P{U＞b}+P{U＜a}=α的任意实数。正确答案：D解析：a、b应使P{a＜U＜b}=1-aa、b应满足P{U≥b}+P{U≤a}=α,故选D。知识模块：概率论与数理统计填空题13．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_______。正确答案：解析：设事件A={第一个人取出的球是黄色的}，事件B={第一个人取出的球是白色的}，事件C={第二个人取出的球是黄色的}，则有根据全概率公式可得P(C)=P(A).P(C｜A)+P(B).P(C｜B)知识模块：概率论与数理统计14．假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品的概率α=________。正确答案：解析：设事件Ai=“盒内原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A0，A1，…，A10构成一个完备事件组，依题意有所求概率P(A7｜B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出P(B)=，再根据条件概率定义计算出P(A7｜B)。知识模块：概率论与数理统计15．已知随机变量X的概率分布为P{X=k}=(k=1，2，3)，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即则P{Y≤2．5}=_________。正确答案：解析：根据题设可知P{X=k}=1，P{X=k}=。根据全概率公式，可得知识模块：概率论与数理统计16．已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=_______，a=______，b=_______。正确答案：解析：又因为知识模块：概率论与数理统计17．设二维随机变量(X，Y)在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域上服从均匀分布，则P{0＜X＜=______。正确答案：解析：由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域面积为，所以(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)=于是知识模块：概率论与数理统计18．某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为________。正确答案：解析：设圆盘直径为X，其概率密度为设圆盘面积为Y，所以那么有知识模块：概率论与数理统计19．已知随机变量X～N(2，9)，Y服从参数为0．5的指数分布，且ρXY=-0．25，则D(2X-3Y)=_____。正确答案：90解析：D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)-2Cov(2X，3Y)=4D(X)+9D(y)-其中D(X)=9，D(Y)=4，代入得D(2X-3Y)=90。知识模块：概率论与数理统计20．设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0，2)，Y～N(0，3)，则D(X2+Y2)=_____。正确答案：26解析：因X～N(0，2)，故～χ2(1)，所以D(X2)=8，同理D(Y2)=18。又由于X和Y相互独立，故D(X2+Y2)=8+18=26。知识模块：概率论与数理统计21．设总体X～N(μ，σ2)，μ未知，X1，X2，…，Xn是取自该总体的样本，样本方差为S2，对H0：σ2≥16←→H1：σ2＜16，其检验统计量为________，拒绝域为_______。正确答案：χ2统计量；解析：μ未知，对σ2的检验使用χ2检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为χ2=～χ2(n-1)，从而拒绝域为知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F(x)。正确答案：当x＜1时，F(x)=0；当1≤x＜2时，则当x≥2时，F(x)=1。综上所述，X的分布函数F(x)为涉及知识点：概率论与数理统计23．设随机变量，且P{｜X｜≠｜Y｜}=1。(Ⅰ)求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X～Y，讨论U与V的独立性。正确答案：(Ⅰ)由P{｜X｜≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜=0。由此可得X与Y的联合分布律为因为P{X=-1，Y=-1}≠P{X=-1}P{Y=-1}，所以X与Y不独立。(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布律知P{U=V=-1}=P{X=-1，Y=0}=P{U=-1，V=1}=P{X=0，Y=-1}=P{U=1，V=-1}=P{X=0，Y=1}=P{U=V=1}=P{X=1，V=0}=所以U与V的联合分布律与边缘分布律为即可验证U与V独立。涉及知识点：概率论与数理统计24．设随机变量X与Y独立，X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)概率P{X≤Y}。正确答案：(Ⅰ)已知X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得(Ⅱ)当x＜0或者x＞2时，f(x，y)=0，因此区域x≤y为y轴和x=2之间，且在直线y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为涉及知识点：概率论与数理统计25．设二维随机变量(X，Y)在区域G={(x，y)｜1≤x+y≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。试求：(Ⅰ)(X，Y)的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；(Ⅱ)Z=X+Y的概率密度fZ(z)。正确答案：区域G如图3-3-6所示：可知区域G是菱形，其面积为1。故(Ⅱ)FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}涉及知识点：概率论与数理统计26．设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：(Ⅰ)求P(X=2Y)；(Ⅱ)求Cov(X-Y，Y)。正确答案：(Ⅰ)P(X