考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X－2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D解析：由DX＝4，DY＝2，且X与Y独立，故D(3X－2Y)＝9DX＋4DY＝9×4＋4×2＝44．知识模块：概率论与数理统计2．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X－Y不相关的充分必要条件为A．E(X)＝E(Y)B．E(X2)＝[E(X)]2＝E(Y2)＝[E(Y)]2C．E(X2)＝E(Y2)D．E(X2)＋EE(X)]2＝E(Y2)＋EE(Y)]2正确答案：B解析：∵cov(ξ，η)＝cov(X＋Y，X－Y)＝DX－DY＝[EX2－(EX)2]－[EY2－(EY)2]而“cov(ξ，η)＝0”等价于“ξ与η不相关”，故选B．知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X．故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X，X)＝－DX∴X和Y的相关系数ρXY＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y＝，则A．cov(X1，Y)＝B．cov(X1，Y)＝σ2C．D(X1＋Y)＝σ2D．D(X1－Y)＝σ2正确答案：A涉及知识点：概率论与数理统计5．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(χ｜y)＝＝fX(χ)故选A．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数．ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．3Ф(χ)＋0．7Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布的分布函数，则EX＝A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计填空题8．已知连续型随机变量X的概率密度为f(χ)＝则EX＝_______，DX＝_______．正确答案：1；．解析：f(χ)＝，χ∈R1可见X～N(1，)，故EX＝1，DX＝．知识模块：概率论与数理统计9．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z＝3X－2，则EZ_______．正确答案：4解析：∵EX＝2，∴EZ＝E(3X－2)＝3EX－2＝3×2－2＝4．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布．且P{2＜X＜4}＝0．3，则，P{X＜0}＝_______．正确答案：0．2解析：∵X～N(2，σ2)，∴～N(0，1)∴0．3＝P(2＜X＜4)＝＝0．5∴Ф()＝0．8故P(X＜0)＝＝1－0．8＝0．2知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X＋e2X)＝_______．正确答案：解析：由题意，X的密度为：且知EX＝1．∴Ee-2X＝∫∞∞e-2χf(χ)dχ＝∫0＋∞e-2χ.e-χdχ＝故E(X＋e-2X)＝EX＋Ee-2X＝1＋知识模块：概率论与数理统计12．设X表示10次独立重复射击命中日标的次数。每次射中日标的概率为0．4．则E(X2)＝_______．正确答案：18．4解析：由题意得：X～B(10，0．4)，∴EX＝,10×0．4＝4DX＝10×0．4×(1－0．4)＝2．4所以EX2＝DX＋(EX)2＝2．4＋42＝18．4知识模块：概率论与数理统计13．设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则F(｜ξ－η｜)＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计15．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2)＝P{X＝2}＝．知识模块：概率论与数理统计16．设随机变量X的概率分布为P{X＝k}＝，k＝0．1，2，…，则EX2＝_______．正确答案：2解析：由eχ＝，χ∈(－∞，＋∞)得＝e(取χ＝1即得)知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设随机变量X与Y独立．HX～N(1．2)，Y～N(0，1)，试求随机变量Z＝2X－Y＋3的概率密度函数．正确答案：∵EX＝1，DX＝2，EY＝0，DY＝1∴EZ＝E(2X－Y＋3)＝2EX－EY＋3＝2×1－0＋3＝5DZ＝D(2X－Y＋3)＝4DX＋DY＝4×2＋1＝9由正态分布的性质知：Z～N(5，9)故Z的概率密度为：f(z)＝，z∈R1涉及知识点：概率论与数理统计18．设二维随机变量(X，Y)在区域D：0＜χ＜1，｜y｜＜χ内服从均匀分布，求笑于X的边缘概率密度函数及随机变量Z＝2X＋1的方差DZ．正确答案：D的面积(见图4．6)为2××12＝1∴(X，Y)的概率密度为：关于X的边缘概率密度fX(χ)＝∫－∞＋∞(χ，y)dy．当χ≤0或χ≥1时，fX(χ)＝0；当0＜χ＜1时，fX(χ)＝∫－χχ1dy＝2χ故fX(χ)＝∴EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫01χ.2χdχ＝故EX2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫01χ2.2χdχ＝∴DX＝EX2－(EX)2＝故DZ＝D(2X＋1)＝4DX＝4×涉及知识点：概率论与数理统计19．设随机变量X的概率密度为f(χ)＝e-χ，－∞＜χ＜＋∞(1)求EX和DX；(2)求X与｜X｜的协方差，并问X与｜X｜是否不相关?(3)问X与｜X｜是否相互独立?为什么?正确答案：本题出现的积分，可验证均收敛．(1)EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e－｜χ｜dχ＝0而EX2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e－｜χ｜dχ＝∫0－∞χ2e-χdχ＝－χ2e-χ｜0＋∞＋2∫0＋∞χeχdχ＝2[－χe-χ｜0＋∞＋∫0＋∞eχdχ]＝2.(－e-χ｜0＋∞)＝2∴DX＝EX2－(EX)2＝2－02＝2(2)∵EX＝0，E｜X｜存在，故cov(X，｜X｜)＝E(X｜X｜)－EX.E｜X｜＝E(X｜X｜)＝∫－∞＋∞χ｜χ｜f(χ)dχ＝∫－∞＋∞｜χ｜.e－｜χ｜dχ＝0故可见X与｜X｜不相关．(3)∵P(X≤1)＝∫－∞1f(χ)dχ＝∫－∞1e－｜χ｜dχ＝1－∫1＋∞eχdχ＜1又P(｜X｜≤1)＝∫-11f(χ)dχ＝∫-11e－｜χ｜dχ＝∫01eχdχ＞0故P(X≤1，｜X｜≤1)＝P(｜X｜≤1)≠P(｜X｜≤1)P(X≤1)可见X与｜X｜不独立．涉及知识点：概率论与数理统计20．已知随机变量X～N(1，32)．Y～N(0，42)．而(X，Y)服从二维正态分布且X与Y的相关系数ρXY＝－，设Z＝．(1)求EZ和DZ；(2)求X与Z的相关系数ρXZ；(3)间X与Z是否相互独立?为什么?正确答案：(1)显然EX＝1，DX＝9，EY＝0，DY＝16而cov(X，Y)＝ρXY.＝－6故PXZ＝(3)由ρXZ＝0，知X与Z不相关．又∵且～N，故～N(.)故知X与Z相互互独立．涉及知识点：概率论与数理统计21．设ξ和η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为，P(ξ＝i)＝，i＝1，2，3，又设X＝max(ξ，η)，Y＝min(ξ，η)．(1)写出二维随机变量(X，Y)的分布律；(2)求EX．正确答案：(1)(X，Y)的分布律见下表．(2)由(X．Y)的分布律可得关X的边缘分布律为：X：故EX＝1×．涉及知识点：概率论与数理统计22．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途巾遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望．正确答案：由题意，X～B(3，)故EX＝3×及P(X＝k)＝C3k.，k＝0，1，2，3可写成：分布函数F(χ)＝P(X≤χ)．当χ＜0时，F(χ)＝0当0≤χ＜1时，F(χ)＝P{X＝0}＝当1≤χ＜2时，F(χ)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝当2≤χ＜3时，F(χ)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝当χ≥3时，F(χ)＝1，故涉及知识点：概率论与数理统计23．设两个随机变量X、Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求｜X－Y｜的方差．正确答案：记ξ＝X－Y．由X～N(0，)，Y～N(0，)，及Eξ＝0，Dξ＝DX＋DY＝1知ξ～N(0，1)∴E｜X－Y｜＝E｜ξ｜E(｜ξ｜)2＝Eξ2＝Dξ＋(Eξ)2＝1＋02＝1故D(｜X－Y｜)＝D｜ξ｜＝E(｜ξ｜)2－[E｜ξ｜]2＝1－．涉及知识点：概率论与数理统计24．设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望．正确答案：因为故Y～B(4，)，得EY＝4×＝2，DY＝4××(1－)＝1所以EY2＝DY＋(EY)2＝1＋22＝5涉及知识点：概率论与数理统计25．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放人乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．正确答案：(1)X可能取的值为0，1，2，3可算得：P{X＝k}＝，k＝0，1，2，3．或写成故E(X)＝0×(2)记A＝{从乙箱中任取一件产品是次品}，由全概率公式得：P(A)＝P(A｜X＝k)P(X＝k)＝0×．涉及知识点：概率论与数理统计26．设A，B为随机事件，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(A｜B)＝，令求(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)X与Y的相关系数ρ(X，Y)．正确答案：∵，∴P(AB)＝，又∵，∴P(B)＝2P(AB)＝2×(Ⅰ)P(X＝1，Y＝1)＝P(AB)＝，P(X＝0，Y＝1)＝P(B)＝P(B)P(AB)＝，P(X＝1，Y＝0)＝P(A)＝P(A)－P(AB)＝，P(X＝0，Y＝0)＝P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)－P(AB)]＝1－故(X，Y)的概率分布为：(Ⅱ)由(Ⅰ)易得关于X、Y的概率分布(列)分别为：故：EX＝，E(X2)＝，DX＝E(X2)－(EX)2＝，EY＝，DY＝E(Y2)－(EY)2＝而由(X，Y)的概率分布可得：涉及知识点：概率论与数理统计27．设随机变量X与Y的概率分布分别为且P{X2＝Y2}＝1．(Ⅰ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Z＝XY的概率分布；(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY．正确答案：(Ⅰ)由P(X2＝Y2)＝1，可得：P(X＝0，Y＝－1)＝P(X＝1，Y＝