全国高中数学联合竞赛试题解答(B卷)7

2017年全国高中数学联合比赛一试（B卷）一、填空题：本大题共8个小题，每题8分，共64分。2017B1、在等比数列an中，a22，a333，则a1a2011为a7a2017◆答案：89a333a1a2011a1a201118★分析：数列{an}的公比为q，故a2017q6(a1a2011)q6.a22a792017B2、设复数z知足z910z22i，则z的值为◆答案：5★分析：设zabi,a,bR，由条件得(a9)bi10a(10b22)i，比较两边实虚部可得a910a1,b2，故z12i，从而|z|5.，解得：ab10b222017B3、设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)x2是奇函数，f(x)2x是偶函数，则f(1)的值为7◆答案：41★分析：由条件知，f(1)1(f(1)(1)2)f(1)1，f(1)2f(1)，172两式相加消去f(1)，可知：2f(1)3，即f(1).242017B4、在ABC中，若sinA2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为2◆答案：4★分析：由正弦定理知，asinA2，又b2ac，于是a:b:c2:2:1，从而由余弦定理得：csinC2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第1页共8页b2c2a2(2)212222cosA2bc221.42017B5、在正四周体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，知足BE3,EF4，且EF与面BCD平行，则DEF的面积为．◆答案：233★分析：由条件知，EF平行于BC，因为正四周体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AEAFEF4，ADABAEBE7.由余弦定理得，DEAD2AE22ADAEcos6049162837，同理有DF37.作等腰DEF底边EF上的高DH，则EH1EF2，故DHDE2EH233，12于是SDEFEFDH233.22017B6、在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y1,0,1，在K中随机拿出三个点，则这三个点两两之间距离不超出2的概率为5◆答案：14★分析：注意K中共有9个点，故在K中随机拿出三个点的方式数为C9384种，当拿出的三点两两之间距离不超出2时，有以下三种状况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种状况，（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的极点，有4416种状况，（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的极点，此中，直角极点位于(0,0)的有4个，直2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第2页共8页角极点位于(1,0)，(0,1)的各有一个，共有8种状况.综上可知，选出三点两两之间距离不超出2的状况数为616830，从而所求概率为30584.142017B7、设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2ay2a20的焦距为4，则实数a的值为．117◆答案：2★分析：二次曲线方程可写成x2y21，明显一定a0，故二次曲线为双曲线，其标准方程a2a为y2(x21，则c2(a)2(a)2a2a，注意到焦距2c4，可知a2a4，(a)2a)2又a0，所以117a.22017B8、若正整数a,b,c知足201710a100b1000c，则数组(a,b,c)的个数为◆答案：574★分析：由条件知c[2017]2，当c1时，有10b20，对于每个这样的正整数b，由100010ba201知，相应的a的个数为20210b，从而这样的正整数组的个数为20(1022)11(20210b)2572，b10当c2时，由20b2017]，知，b20，从而200a[2017[]201，10010故a200,201，此时共有2组(a,b,c).综上所述，知足条件的正整数组的个数为5722574.二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2017B9、（此题满分16分）设为实数，不等式2xa52x对全部x1,2建立，务实数a的取值范围。2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第3页共8页★分析：设t2x，则t，于是|t对全部t建立，因为[2,4]a||5t|[2,4]|ta||5t|(ta)2(5t)2，(2ta5)(5a)0，对给定实数a，设ft( )2(ta5( ))a，则f(t)是对于t的一次函数或常值函数，注意t[2,4]，所以f(t)0f(2)(1a)(5a)03a5等价于f(4)(3a)(5a)，解得0所以实数a的取值范围是3a5.2017B10、（此题满分20分）设数列an是等差数列，数列bn知足bnan1an2an2，n1,2,（1）证明：数列bn也是等差数列；（2）设数列an、bn的公差均是d0，而且存在正整数s,t，使得asbt是整数，求a1的最小值。★分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则bn1bn(an2an3an21)(an1an2an2)an2(an3an1)(an1an)(an1an)an22d(an1an)d(2an2an1an)d3d2所以数列{bn}也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：3d2d，因为d0，故d1，这样23bnan1an2an2(and)(an2d)an23dan2d2an292若正整数s,t知足asbtZ，则asbtasbta1(s1)da1(t1)d99st22Z.2a139记l2a1st22，则lZ，且18a13(3lst1)1是一个非零的整数，故|18a1|1，39从而|a1|1.181b3117Z，又当a1时，有a11811818综上所述，|a1|的最小值为1.182017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第4页共8页2017B11、（此题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y24x，曲线C2:(x4)2y28．经过C1上一点P作一条倾斜角为450的直线l，与C2交于两个不一样的点Q,R，求PQPR的取值范围。★分析：设P(t2,2t)，则直线l的方程为yx2t2t，代入曲线C2的方程得，(x42)x(t22t2)，8化简可得：2x22(t22t4)x(t22t)280①，因为l与C2交于两个不一样的点，故对于x的方程①的鉴别式为正，计算得，(t22t4)22((t22t)28)(t22t)28(t22t)162(t22t)2164(t22t)28(t22t)(t22t)(t22t8)t(t2)(t2)(t4)，所以有t(2,0)(2,4)，②设Q,R的横坐标分别为x1,x2，由①知，x1x2t22t4，x1x21((t22t)28)，2所以，联合l的倾斜角为45可知，|PQ||PR|2(x1t2)2(x2t2)2x1x22t2(x1x2)2t4(t22t)282t2(t22t4)2t4t44t34t282t44t38t22t4t44t28(t22)24，③由②可知，t22(2,2)(2,14)，故(t22)2[0,4)(4,196)，从而由③得：|PQ||PR|(t22)24[4,8)(8,200)注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式|42tt2|22，2相同能够求得②中t的范围.注2：更简易的计算|PQ||PR|的方式是利用圆幂定理，事实上，C2的圆心为M(4,0)，半径为2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第5页共8页r22，故|PQ||PR||PM|2r2(t24)2(2t)2(22)2t44t28.2017年全国高中数学联合比赛二试（B卷）2017B一、（此题满分40分）设实数a,b,c知足abc0，令dmaxa,b,c，证明：(1a)(1b)(1c)1d2★证明：当d1时，不等式明显建立以下设0d1，不如设a,b不异号，即ab0，那么有(1a)(1b)1abab1ab1c1d0所以(1a)(1b)(1c)(1c)(1c)1c21c221d2017B二、（此题满分40分）给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N分拆为k个互不订交的子集A1,A2,,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（能够相同），满足abcdm．★证明：取km1，令Ai{xxi(modm1),xN}，i1,2,,m1设a,b,c,dAi，则abcdiiii0(modm1)，故m1abcd，而m1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，知足abcdm2017B三、（此题满分50分）如图，点D是锐角ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆过点B,C的切线分别订交于点P,Q,BQ与AC的交点为XCP与AB的交点为YBQ与CP，，的交点为T．求证：AT均分线段XY．（答题时请将图画在答卷纸上）AXAY★证明：第一证明YX//BC，即证XCYB2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第6页共8页SACQSABCSACQ连结BD,CD，因为SABP，SABCSABP1ACCQsinACQ1ACBCsinACB1ACAQsinCAQ所以222，①1ABBCsinABC1ABBPsinABP1ABAPsinBAP222由题设，BP,CQ是圆的切线，所以ACQABC，ACBABP，又CAQDBCDCBABAQCQBAP（注意D是弧BC的中点），于是由①知AP②ACBP因为CAQBAP，所以BAQCAP，于是SABQ1ABAQsinBAQABAQ2SACP1APsinCAPACAPAC2而SBCQ1BCCQsinBCQCQ2SBCP1BPsinCBPBPBC2由②，③，④得SABQSCBQSACP，SBCPSABQSACP即SBCPSCBQ

③④SABQAXS又XC，SCBQSAXAY故

ACPBCP

AYYBXCYBAXCMBY设边BC的中点为M，因为MB1，XCYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT均分线段XY2017年全国高中数学联合比赛试题（B卷）第7页共8页2017B四、（此题满分50分）。设a1,a2,,a201,2,3,4,5，b1,b2,,b201,2,3,,10，会合X(i,j)|1ij20,(aiaj)(bibj)0，求X的元素个数的最大值。★分析：考虑一组知足条件的正整数(a1,a2,,a20,b1,b2,,b20)对k1,2,,5，设a1,,a20中取值为k的数有tk个，依据X的定义，当aiaj时，(i,j)X，5Ct2k个(i,5所以起码有j)不在X中，注意到tk20，则柯西不等式，我们有k1k1521(525115tk)251201)30Ctk2tktk)((tk)20(k1k1k