2019届高三数学（文）复习题模块四 立体几何 第12讲空间几何体、空间中的位置关系 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第12讲空间几何体、空间中的位置关系1.（1)[2017·全国卷Ⅱ]如图M4—12—1,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 （)图M4-12—1A。90πB。63πC.42πD。36π（2)[2016·全国卷Ⅰ］如图M4—12—2,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 （图M4-12-2A。17π B.18π C.20π D.28π(3）[2014·全国卷Ⅰ］如图M4—12—3,网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ()图M4—12—3A。三棱锥 B。三棱柱 C.四棱锥 D。四棱柱(4）［2013·全国卷Ⅱ］一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1),(1，1,0）,（0，1，1)，（0，0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为 (）图M4—12-4[试做］

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题角度三视图问题(1）根据三视图求几何体体积的解题策略：关键一:根据三视图确定几何体的结构特征，作出其直观图，由三视图中的数据确定几何体的数字特征;关键二:根据组合体的结构特征,利用分割法、补形法将其转化为规则的几何体,再求解。(2)根据几何体的三视图求表面积的解题策略:关键一:根据三视图确定几何体的结构特征,作出其直观图,由三视图中的数据确定几何体的数字特征；关键二：求组合体的表面积时，需注意组合体的衔接部分的面积；关键三：要分清侧面积和表面积.（3）由几何体的三视图还原几何体的形状的解题策略：关键一：熟悉柱、锥、台、球的三视图；关键二:明确三视图的形成原理,遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则,并结合空间想象将三视图还原为直观图。(4)由几何体的直观图求三视图的解题策略:关键一：注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向;关键二：注意看到的部分是实线，看不到的部分是虚线。2。（1）［2014·全国卷Ⅱ］正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3，D为BC中点,则三棱锥A—B1DC1的体积为 （）A。3 B.32 C。1 D。命题角度求三棱锥的体积对于三棱锥常用等体积转化法求体积:关键一:三棱锥的每个面都可以作为底面,寻找满足公式的底面和高;关键二：利用三棱锥体积公式求解.(2）[2015·全国卷Ⅰ]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？"其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图M4—12—5,米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 (）图M4—12-5A。14斛 B.22斛 C.36斛 D。66斛[试做]

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.(1)［2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为。

（2）［2013·全国卷Ⅰ］已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为.

［试做]______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题角度以几何体为背景的问题（1）解决以几何体为背景的问题:关键一:将背景问题转化为立体几何的问题;关键二：要熟记柱、锥、台、球的体积公式。(2)解决长方体、正方体外接球的问题：关键一:球的直径为长方体、正方体的体对角线；关键二:利用球的表面积公式、体积公式求解.(3）解决球的表面积或体积问题:关键一：R2=h2+r2（R为球的半径,r为平面α截球O所得圆面的半径，h为球心O到截面的距离）;关键二：利用球的表面积或体积公式求解。4。［2018·全国卷Ⅱ]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 （）A.22 B.32 C。52 [试做]______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题角度解决异面直线所成角问题关键一：先通过作图(三角形中位线、平行四边形补形）来构造平行线,再通过解三角形求解；关键二：补形法（补成长方体、正方体）.当异面直线所成角为π2时,两异面直线垂直小题1空间几何体的三视图与直观图1(1）如图M4-12-6所示,图M4-12—6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为棱CD，CC1,A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左)视图为 （） 图M4-12-7(2）已知某几何体的三视图如图M4-12—8所示,则该几何体的最大棱长为 ()图M4—12-8A.5 B.6 C.7 D.22［听课笔记］

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】识别三视图应注意以下几方面:①看线型，是虚线还是实线，是线段还是曲线，可确定此几何体是简单多面体还是旋转体等；②分部分，想整体，看仅仅是简单几何体还是组合体;③对比一些熟悉的三视图模型分析，如正方体、圆锥、三棱锥等的三视图.【自我检测】1.某几何体的正视图与俯视图如图M4—12-9所示，则其侧视图可以为 （) 图M4—12—9图M4—12—102。某几何体的三视图如图M4-12—11所示,则此几何体的各面中面积最大的面的面积为 ()图M4-12-11A。22 B。23 C。32 D.23.已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图M4-12—12所示，则该截面的面积为 （)图M4—12-12A.92 B.4 C。3 D。4。[2018·全国卷Ⅰ］某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图M4—12—13所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径的长度为 （）图M4—12—13A。217 B.25 C.3 D.2小题2空间几何体的表面积与体积2(1）某几何体的三视图图M4—12—14如图M4-12-14所示，且图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为 （）A。4π3 B.5π3 C。7π6 （2）在棱长为2的正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥D—MBC的体积为.

［听课笔记]

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】高考中求几何体的体积和表面积的解题策略：（1)求几何体的表面积时应注意以下几点：①多面体的表面积是各个面的面积之和,不要忘了底面积；②组合体的表面积注意衔接部分的处理;③旋转体的表面积问题可转化为其侧面展开图去求解.（2)求几何体的体积常用的方法：①直接法，利用公式直接求解;②体积转换法,根据具体情况，变换定点和底面，转化为较容易求解的形式，注意灵活选择；③分割与补全法，把不规则的几何体分割为几个规则的几何体，或者补全为一个规则的几何体，再求解。【自我检测】1。［2018·全国卷Ⅰ］已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 （)A.122π B。12π C.82π D。10π2.某几何体的三视图如图M4—12-15所示,则该几何体的体积为 (）图M4-12-15A。18 B。24 C。32 D.363。在如图M4-12—16所示的几何体中，ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形,且AD⊥平面CDEF，若AB=20,AD=15,EF=30,AB与EF间的距离为25，则几何体EF-ABCD的体积为.

图M4-12—16小题3多面体与球3(1)[2018·全国卷Ⅲ]设A,B,C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.123 B.183 C.243 D.543（2）在三棱锥P—ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=2，BC的中点为M，且PM=2,当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为。

[听课笔记]

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】空间几何体与球“接”“切”问题的注意点:(1)多面体外接球问题,关键是确定球心位置,方法是先选择多面体中的其中一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点情况确定球心的准确位置。对于特殊的多面体还可以通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置.（2）求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求球的半径。【自我检测】1.某几何体的三视图如图M4-12—17所示，则该几何体的外接球的表面积为 (）图M4-12-17A。3π B.43π C.12π D。48π2。在三棱锥P—ABC中,AC⊥BC，PA⊥PB，AB=4,则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为 （)A。4π B.8π C.12π D。16π3.若一个正三棱锥的所有棱长均为2,则它的外接球的体积为.

4。在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC，AC=4,BC=3，AB=5，PA=3,则该三棱锥的内切球的表面积为.

小题4空间线面位置关系的判断4(1)若α，β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线，则下列说法中错误的是 ()A.如果m⊥n，m⊥α,n⊥β，那么α⊥βB。如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC。如果α∩β=l，m∥α,m∥β，那么m∥lD。如果m⊥n，m⊥α,n∥β,那么α⊥β（2)[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为 (）A。8 B。62 C.82 D.83[听课笔记］__________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】高考中判断空间线面位置关系的注意点:(1）对于空间线面位置关系的判断,常用的方法有：①根据定理逐项判断,可以举反例,也可以证明，要结合题目灵活选择;②必要时可以借助空间几何体模型,如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断。（2)求角时,一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解。（3)位置关系的判断常用反例法去排除选项。【自我检测】1。已知直线l,m与平面α,β，且l⊂α，m⊂β,则下列说法中正确的是 （）A。若l∥m，则必有α∥βB.若l⊥m,则必有α⊥βC。若l⊥β,则必有α⊥βD.若α⊥β,则必有m⊥α2.在如图M4—12—18所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中,给出下列几种说法,其中正确的是 ()图M4-12-18A。A1C1与B1C成60°角B。D1C1⊥ABC.AC1与DC成45°角D。A1C1⊥AD3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是 (）A。若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥αB.若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥nC。“直线m与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线m与平面α垂直”的充分不必要条件D.若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β

全品高考第二轮专题|数学（文科)模块四立体几何第12讲空间几何体、空间中的位置关系典型真题研析1。（1)B（2）A（3)B(4）A[解析］（1)由三视图可知，此几何体应是一个圆柱切去一部分后所得，如图所示。通过切割及补形知,此几何体的体积等同于底面半径为3,高为7的圆柱，所以所求体积V=π×32×7=63π。(2)该几何体为一个球去掉八分之一,设球的半径为r,则78×43πr3=28π3,解得r=2，故该几何体的表面积为78×4π×22+3×14×π（3）从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图,是一个三棱柱.（4)在空间直角坐标系O—xyz中画出三棱锥,由已知可知三棱锥O-ABC为题中所描叙的四面体,而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A。2。（1)C(2)B[解析］(1）因为D为BC的中点,所以AD⊥BC，故AD⊥平面BCC1B1,且AD=3，所以V三棱锥A-B1DC1=13SB1DC1·AD=13×12B1C1（2)米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则14×2πr=8，得r=16π，所以米堆的体积为13×14πr2×5≈3209（立方尺),3209÷1。623.（1)14π（2）9π2[解析]（1)长方体的体对角线长l=32+22+12=14,而长方体的外接球的直径恰为长方体的体对角线长,所以球O的直径2R=l=14，所以球(2)截面为圆,由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r，则AH=23r，所以OH=13所以13r2+12=r2，r2=98，所以球的表面积是4πr2=9π4.C[解析]如图，由AB∥CD,可知∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,连接BE,则在Rt△ABE中，AB=2,BE=BC2+CE2=22+12=5，考点考法探究小题1例1（1)C（2)B［解析]（1）取AA1的中点H,连接GH,则GH为过点E,F,G的平面与正方体的面A1B1BA的交线。延长GH，交BA的延长线于点P，连接EP,交AD于点N,则NE为过点E,F，G的平面与正方体的面ABCD的交线。连接NH，则NH为过点E,F,G的平面与正方体的面AA1D1D的交线.同理,连接EF并延长，交D1C1的延长线于点Q,连接GQ，交B1C1于点M，连接FM,则EF,FM，GM分别为过点E，F,G的平面与正方体的面DCC1D1，面BCC1B1，面A1B1C1D1的交线,所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN,故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左）视图为选项C中的图形.（2）根据三视图作出原几何体（四棱锥P-ABCD）的直观图如图所示，可得PA=AB=AD=1,CD=2，PB=PD=BC=2，PC=6,故该几何体的最大棱长为6.【自我检测】1.B［解析]由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧视图为矩形内有一条虚线，虚线在矩形的左侧，只有选项B符合题意,故选B.2.B［解析]由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD，其中几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体。可得S△BCD=12×22=2,SA1BC=SA1DC=12×22×2=22，SA1DB=12×22×3.A[解析]如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别为AB,AD的中点，则题中三视图所对应的几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分，则截面为等腰梯形FEB1D1,且FE=2,B1D1=22，腰EB1=1+4=5，则等腰梯形的高为(5)2-(22)

4。B[解析］由三视图可知圆柱表面上点M,N的位置如图①，将圆柱的侧面展开得到图②.在圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径即为侧面展开图中的线段MN，MN=22+1642=2 小题2例2(1）B（2)29[解析]（1)由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其中,圆柱的底面半径是1，高是3,球的半径是1，∴该几何体的体积V=12×π×12×3+18×4π3×13=5（2)由题得VD—MBC=VM-BDC。连接AD，因为三棱锥P-ABC是正四面体,N为BC的中点，PD=2DN,所以AD为三棱锥A—PBC的高,且AD=22-(233)

2=263.又M为AP的中点，所以三棱锥M—BDC的高为12×263=63.又因为S所以VD—MBC=VM—BDC=13×33×63【自我检测】1。B［解析］因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8，所以圆柱的高为22，底面直径为22，所以圆柱的表面积S=2π×2×22+2×π×（2）2=12π.故选B.2.B［解析］由三视图可知,该几何体是由三棱柱削去一个同底的三棱锥后得到的,如图,三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面是直角边长分别为3和4的直角三角形,所以该几何体的体积为12×3×4×5—13×12×3×4×3=30-6=24。3。3500[解析］在EF上取两点M，N,使得EM=NF=5，连接DM，AM,BN，CN，则该几何体被分割成两个三棱锥和一个三棱柱,根据三棱柱、三棱锥的体积公式以及题中所给的相关量,可以求得几何体EF—ABCD的体积V=12×20×15×20+2×13×12×20×15×5小题3例3(1）B（2）22-6［解析](1)由题易知当点D到平面ABC的距离最大时，三棱锥D—ABC的体积最大。∵S△ABC=34AB2=93,∴AB=6设△ABC的中心为M,由等边三角形的性质得，AM=BM=CM=23。设球心为O,则OA=OB=OC=4，∴OM=OB2-BM2=2，∴点D到平面ABC的距离的最大值为OM+4=6.故三棱锥D—ABC体积的最大值为13×9(2)如图，当PM⊥平面ABC时,三棱锥P—ABC的体积取得最大值，连接AM，则AM=2,从而可得PB=PA=PC=2，则S△PBC=12×22×2=2，S△ABC=12×2×2=2，S△PBA=S△PAC=34×22=3,设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r,则13×(2+2+3+3）r=13×2×2,解得r=【自我检测】1。C［解析]由三视图可知，该几何体是高为2的三棱锥,且其底面是腰长为2的等腰直角三角形,故其外接球的直径等于棱长为2的正方体的体对角线的长,设其外接球的半径为R，则（2R)2=22+22+22=12,所以其外接球的表面积为4πR2=12π。故选C.2.D[解析］由题意可知,△ACB与△APB均为直角三角形，设点D为AB的中点,连接PD，CD,如图所示，则DA=DB=DC=DP=12AB=2,∴点D为三棱锥P—ABC的外接球的球心,且三棱锥P-ABC的外接球的半径R=2,∴三棱锥P—ABC的外接球的表面积S=4πR2=16π。故选D3。3π2[解析］如图，构造正方体ANDM-FBEC。因为三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1，所以该正方体的外接球的直径为3，从而可知三棱锥A-BCD的外接球的半径为32，所以三棱锥A—BCD的外接球的体积为43π×3234。16π81［解析]由题意得，三棱锥P—ABC的表面积S=12×4×3+12×4×3+12×5×3+12×5×3=27，三棱锥P—ABC的体积V=13×12×4×3×3=6。设三棱锥P—ABC的内切球的半径为r，则V=Sr,即Sr=27r=6,解得r=29,所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4πr2=小题4例4（1）D（2）C［解析］(1）对于A，如果m⊥n,m⊥α，则n∥α或n⊂α,又因为n⊥β，所以α⊥β,故A中说法正确；对于B，如果m⊂α，α∥β，那么m与β无公共点，则m∥β,故B中说法正确；对于C，如果α∩β=l,m∥α，m∥β，则m∥l,故C中说法正确;对于D，如果m⊥n,m⊥α，n∥β,则有α⊥β或α∥β或α与β斜交,故D中说法错误.故选D。（2）如图,连接B