上半连续和下半连续教案2

函数的上、下半连续性一、上、下半连续性的定义设函数

f

x在会集

E上有定义，x0

E为

E的一个聚点。fx在

x0处连续，用

语言描述，即：

0,

0,当

x

E,x

x0

时，有fx0

f

x

f

x0

A若将此条件减弱，在不等式A中，只使用其中的一个不等式，那么就获取半连续。定义设fx在x0及其周边有定义，所谓fx在x0处上半连续，是指：0,0,当xE,xx0时，恒有fxfx0。fx在x0处下半连续，是指：0,0,当xE,xx0时，恒有fxfx0。推论fx在x0及其周边有定义，则fx在x0处连续的充要条件是，fx在x0处既上半连续又下半连续。例11,xQDirichlet函数DxxRQ0,①在有理点处上半连续，但不下半连续。②在无理点的情况恰巧相反。例2考虑函数fxxDx,xR。当x0时，跟Dx的结论同样，②当x0时，跟Dx的结论相反，③当x0时，既上半连续又下半连续，所以在x0处连续。例3Riemann函数,当xp为既约整数，q0Rxqq0,当x无理数①在无理点处既上半连续又下半连续。②在有理点处上半连续，但不下半连续。二、上、下半连续性的等价描述定理1设fx在会集E上有定义，x0为E的一个聚点且x0E。则以下断言等价：1、fx在x0处上半连续（即：0,0,当xE,xx0时，恒有fxfx0）2_____、limfxfx0xx0_____3、xn:xnE,xnx0，必有limfxnfx0x证明：12显然，因0,0,当xE,xx0时，有fxfx0对上式取极限，并注意0的任意性，即得2。23由__________xnx0，limfxmaxlimfxnxnE,xnx0xx0nlimfxminlimfxnxnE,xnx0xnx0xx0n直接可得。1（用反证法）设fx在x0处不上半连续，则00,n10,xnE,0xnx0n1，nn使得fxnfx00。这与已知条件3矛盾。当且仅当fx会集E中各处上（下）半连续时称fx在E中上（下）半连续。定理2设E为闭集，fx在E上有定义，则fx在E中上半连续的充要条件是：c,，会集FcxE:fxc为闭集。证明必要性为了证明Fc为闭集，即要证明xnFc,xnx0，必有x0Fc，此时xnE，而E为闭集，所以x0E。要证x0Fc，只要证fx0c。事实上，由xnFc知fxncn1,2,，从而有____1有limfxnc。因fx在上半连续，依照定理fx0limfxlimfxncxx0n充分性（反证法）若fx不在E中上半连续，则最少存在一点x0E，fx在x0不上半连续，即0,n1E,xnx01fx00。0,xn，但fxnnn取数c，使fx00cfx0，于是依照Fc的定义xnFc,x0Fc但xnx0（当n），F为闭集，应有x0Fc矛盾，证毕。注（1）上半连续与下半连续是对偶的看法。一方有什么结论，另一方也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生做为习题。（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用语言，只用了闭集的看法。这为半连续实行到一般拓扑空间，作了准备。三、上、下半连续的性质1、运算性质定理3（1）若在a,b，函数fx,gx上、下半连续，则它们的和fxgx亦在a,b中上、下半连续。2）若在a,b上fx上下半连续，则-fx在a,b中为下、上半连续。（3）若在a,b上，函数fx及gx0，且上半连续（或fx及gx0，且下半连续）则它们的积fx·gx在a,b上为上半连续。若fx0上、下半连续，gx0为下（上）半连续，则fx·gx下（上）半连续。（4）若在a,b上，fx0上（下）半连续，则1在a,b上为fx下（上）半连续。这里只对（1）中上半连续的情况进行证明，证法1（利用半连续的定义）因fx,gx上半连续，x0a,b,0,0,当xx0,xa,b时有fxfx0,gxgx022所以fxgxfx0gx0故fxgx在a,b上上半连续。证法2（利用上半连续的等价描述）因fx,gx在a,b中上半连续，x0a,b有__________limfxfx0,limgxgx0（定理1）xx0xx0但_______________limfxgxlimfxlimgxfx0gx0xx0xx0xx0故fxgx在a,b中上半连续。2、保号性上半连续函数有局部保负性（即：若fx在x0处上半连续，fx00，则0，使得xx0,x0时有fx0）。同样，下半连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。3、无介值性半连续函数，介值定理不成立。比方：11,当0xfx

210,当x1在0,1上fx是上半连续的，但a0,1f1,f0，无x0,1使得fx=a。4、关于fx的界定理4有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，详尽来说，若fx在a,b上上半连续，则（1）（2）

fx在a,b上有上界（M0使fxM,xa,b）。fx在a,b上达到上确界（即x0a,b使得fx0supfx）xa,b证明先证明（1）（反证法）若fx无界，则xna,b，使得fxnnn1,2由致密性原理，在xn中存在收敛的子序列xnk，使xnkx0（当k）。因a,b为闭的，故x0a,b，但fxnnk，当k时，fxn，kk_____所以limfx。x0但fx在a,b上上半连续，应有下证（2）

_____limfxfx0，故fx0=+矛盾。xx0因fx上有界，supfxM，若fx在a,b上达不到上确界，xE则xa,b,fxM,Mfx0所以1在a,b上上半连续（定Mfx理3），从而有上界，即M0,使xa,b有1MMfx即：fx1MM这与Msupfx矛盾。xE证法2利用有限覆盖定理进行证明。思虑题：关于下半连续相应的定理如何表达若把闭区间改为任意的休会集，结论可否正确。事实上，上面的定理4可做以下实行。定理：假定X为紧集，f是上半连续的，则f在X上必有最大值。证明：因f是上半连续的实值函数故x1X，f(x)必在x1的某一邻域N(x1)内有上界，故x1X，f(x)必在x1的某一邻域N(x1)内有上确界，设f(x)在x1的邻域N(x1)内的上确界为Mx1构造邻域簇{N(xi),i1,2,3....}，显然XN(xi)i而由条件X为紧集，故存在自然数k使得：kN(xi)Xi1用Mxi分别表示f(x)在N(xi)中的上确界，其中i1,2,3,...k令Mmax{Mx1,Mx2......Mxk}显然M必为f(x)在X上的最大值。定理5若函数fx在a,b内半连续，则必存在内闭区间a,b，使fx在,上保拥有界。证：以下半连续为例进行证明。设fx在a,b内下半连续，来证,a,b使得fx在,上有界，用反证法，设,a,b，fx总在,上无上界，于是：1、x1a,b使得fx11，因fx下半连续，故10（不如令11），2使得1x11,x11a,b且x1有fx12、因fx在任何内闭区间上无上界，所以对1，x21使得fx22从而由fx的下半连续性，知20（不如令21）使得22x2x22,x221时，有fx2。3、这样连续下去，我们获取一串闭区间：123n，区间长n2n20（当n时）且在每个区间n上，恒有2nfxn。4、依照区间套定理nn1,2。所以f，矛盾。我们已经知道，连续函数单调序列的极限不用然是连续的。比方fnxxn在0,1上连续，当n增加时单调下降有极限1,x1fx0,0x1但极限函数fx在0,1上不连续。定理6（保半连续性）设函数fnx在E上有定义，且上半连续n1,2,fnxfx，即：f1xf2xfnxfn1xxE且limfnxfx。则fx在E上上半连续。n证明（我们的任务在于证明：x0E,0,0，当xE,xx0时有fxfx0）1、x0E，因fx0limfnx0，所以0，N0，当nN时有nfnx0fx02、将n固定，因fnx在E上上半连续，所以0，当xE,xx0时有fnxfx0。3、又fnxfx，fxfnx，故更有fxfx0这就证了然fx在E上上半连续。下面，我们提出相反的问题：可否半连续函数必然可以作为连续函数的单调极限呢回答是必然的。定理7设fx在a,b上有定义，且上半连续，则存在一个递减的连续函数序列f1xf2xfn1x使得limfnxfx（即：上半连续函数，总可用连续函数从上方逼近）n证明第一构造函数序列

fn

x

，尔后证明

fn

x

连续，

，有下界，从而limfnn

x存在记为gx

，尔后证明gx

f

x。1、构造（

fn

x）关于固定的

x与n，函数

nx

x是

x

的连续函数，所以上半连续，已知fx是上半连续的，fx

nx

x是

x

的上半连续函数（定理

3），从而在

a,b上有上界，且达到上确界（定理

4），即

x*

a,b

使得f

x*

nx*

x

max

f

x

nx

x

（1）xa,b（注意

x*实质与

n,x有关，

x*

xn

*

x）今定义

fn

x

maxxa,b

f

x

nx

x

（2）下面证明fn满足各项要求。2(证明fnx连续）由（1）、（2）式知fnxfxnx*xfxnxx,xa,b（3）从而fn

x

f

x*n

x

nxn*

x

xf

xn*

x

nxn*

x

x

nx

xfn

x

nx

x所以

fn

x

fn

x

nx

x此式对任意的x,xa,b都成立，x，x互换也成立，所以得fnxfnxnxx此式表示fnx在a,b上连续。3、（证明fn）设m

n，则fn

x

fx*m

x

nxm*

x

x（由式

3）f

x*m

x

mx*m

x

x（因

m

n）fm

x所以fn。4、（fnx序列有下界）对任一固定的x，在（3）式中令xx，可知fnxfx（对所有nN成立），故xa,b，fnx有下界。5、由3、4知;gxlimfnx存在且fx。n6、（证明gxfx）因fx上半连续，0,0，当xa,b，xx时有fxfx(4)又因为fx上半连续，所以在a,b上上有界，所以对固定的x，当n时有xn*x。这是因为fnxfxn*xnxn*xx若xn*x不收敛于x，则x的邻域x1,x