难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)1．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为A． B． C． D．2．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，，第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那等于度3．如图，，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为．4．如图，直线，是直线上一点，、分别是直线上的点，是上一点，，交于，是上一点使，作平分，则．5．如图，已知，直线分别交、于点、，平分，点为上一点，连接、，平分，若，，则的度数是．6．如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连结．的平分线交于点，连结，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，，则的度数是．7．探究：如图①，，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．解：，（已知）．同理可证，．，．应用：如图②，，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小为度．拓展：如图③，直线在直线、之间，且，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连结、．若，则度．8．综合与探究如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合）．，别平分和，分别交射线于点，．（1）求、的度数；根据下列求解过程填空．解：，，，，平分，平分，、，，．（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点运动到使时，直接写出的度数．9．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，，于点，交于点，当时，求的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点作．分析思路：①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；③由，推出，由此可推出；④由已知，可得，所以可得的度数；⑤从而可求的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求的度数．11．已知，，点为射线上一点．（1）如图1，若，，则；（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．12．已知，直线，点为平面上一点，连接与．（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．13．如图，已知：，垂足为点，，垂足为点，的延长线交于点，且，点在上，且，试说明．14．（1）如图①，，点在射线上，，若，求的度数；（2）如图②，把“”改为“”，点在射线上，．猜想与的数量关系，并说明理由．15．如图1，已知，，；（1）若，则；（2）请探索与之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数．16．已知直线，直线和直线、交于点和，点是直线上一动点（1）如图1，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点在、两点的外侧运动时点与点、不重合，如图2和图，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由．17．（1）如图（1），已知任意三角形，过点作，求证：；（2）如图（1），求证：三角形的三个内角（即、、之和等于；（3）如图（2），求证：；（4）如图（3），，，交的平分线于点，，求．18．如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，相交于，两点，点在直线上，（1）当点在，两点间运动时，问，，之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点在，两点外侧运动时，试探究，，之间的关系，并说明理由．19．已知直线，（1）如图1，点在直线上的左侧，直接写出，和之间的数量关系是．（2）如图2，点在直线的左侧，，分别平分，，直接写出和的数量关系是．（3）如图3，点在直线的右侧，仍平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．20．（1）如图1，，则（2）如图2，，则，并说明理由（3）如图3，，则（4）如图4，，根据以上结论，试探究（直接写出你的结论，无需说明理由）21．问题情境：（1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系．22．如图，是的角平分线，点在上．点在的延长线上，交于点，，求证：．23．如图1，，直线交于点，交于点，点在上，点在直线左侧、且在直线和之间，连接、．（1）求证：；（2）连接，若平分，，，求的度数；（3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系为．24．已知、分别在的边、上，为平面内一点，、分别是、的平分线．（1）如图1，若点在上，且，求证：；（2）如图2，若点在的内部，且，请猜想、、之间的数量关系，并证明；（3）若点在的外部，且，请根据图3、图4分别写出、、之间的数量关系（不需证明）．25．如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．（1）求证：；（2）若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系；（3）若直线的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系．26．已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．（1）若，求的度数；（2）求证：平分．27．完成下面的证明．已知：如图，，、分别是、的平分线．求证：．证明：，．、分别是、的平分线．，．．．．28．将一副三角板中的两根直角顶点叠放在一起（如图①，其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．29．如图，已知，，．求证：．30．如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．31．如图，已知，点在的右侧，，的平分线相交于点．探索与之间的等量关系，并证明你的结论．32．已知：如图，，，．求证：．33．操作探究：如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点落在上（设落地为，并使折痕经过点，得到折痕，连接、，请你猜想的度数是多少，并证明你的结论．34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且（1）求、的值；（2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．35．已知：射线（1）如图1，的角平分线交射线与点，若，求的度数．（2）如图2，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，，求的度数．（3）如图3，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，，，，，都在射线上，试求的度数．36．请把下列证明过程补充完整．已知：如图，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，，．求证：证明：（已知）（已知）（已知）即（等量代换）37．如图所示，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由．结论：（1）；（2）；（3）；（4）．证明：（2）（4）38．如图，已知直线，直线和直线、交于点和、、两点分别在和上，直线上有一动点（1）如果点在、之间运动时，猜测，，之间有什么关系，证明你的结论（2）若点在的延长线上运动时，，，之间的关系为（3）在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，探索和的关系，并证明．39．已知如图，，直线与交于点，与交于点，射线与射线交于点．（1）若平分，平分，，则；（2）若，，，则；（3）将（2）中的“”改为“”，其它条件不变，求的度数．（用含的代数式表示）（4）若将分成两部分，平分，，求的度数．（用含的代数式表示）40．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．41．如图，平分，为的延长线上一点，交于点，，，求的度数．42．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，（1）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图②，与相交于点，求的度数；（2）将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边恰好与边平行；在第秒时，直线恰好与直线垂直．（直接写出结果）43．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）观察与思考：如图1，若，点在、内部，、、之间的数量关系为，不必说明理由；（2）猜想与证明：如图2，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，利用（1）中的结论（可以直接套用）求、、、之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）拓展与应用：如图3，设交于点，交于点，已知，．利用（2）中的结论直接写出的度数为度，比大度．44．已知：直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折弦，且，是，之间且在折线左侧的一点，如图．（1）若，，则度．（2）若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，2间满足的数量关系并说明理由．（3）若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，2之间满足的数量关系．45．直线与直线相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．（1）如图1，若，已知、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．（2）如图2，若，已知不平行，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点，点、在运动的过程中，；、又分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小也不发生变化，其大小为：．（3）如图3，若，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，则；（4）如图3，若，分别是，的角平分线，，在中，如果有一个角是另一个角的4倍，则的度数．46．在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小钰所在组上网查阅资料，制作了相关介绍给同学（图1、图；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．（1）图4中，，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．（已知），．，（已知），．（2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为．．．．．47．已知，，且平分，平分，请说明的理由．解：（已知）．平分（已知）同理，．又（已知）同理，（等量代换）即．48．如图，已知，射线与相交于点，且．解答以下问题：（注为小于的角）（1）画，使的另一边．请在如图①和图②中画出符合题意的图形，并求的度数．（2）如果的顶点在的内部，边，另一边．请在如图③和图④中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出与的度数后，直接写出与的关系，不必说明理由．（3）如果的顶点在的内部，边，请在如图⑤中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出与的度数后，直接写出与的关系，不必说明理由．49．如图（1），四边形中，，点是线段上一点，（1）说明：；（2）如图（2），当平分，．①说明：；②如图（3）若的平分线与的延长线交于点，且，求．50．如图，已知射线，，，在上，且满足，平分．（1）求的度数；（2）若向右平行移动，其它条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由．

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：设，则，的角平分线为，设，，，而，，，，则，，在中，，故，而，故选：．二．填空题（共5小题）2．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，，第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那等于度【解答】解：如图①，过作，，，，，，；如图②，和的平分线交点为，．和的平分线交点为，；如图②，和的平分线，交点为，；以此类推，．当度时，等于度．故答案为：．3．如图，，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为．【解答】解：如图，延长交于．由题意可以假设，．则有，①②可得：，，，，，故答案为．4．如图，直线，是直线上一点，、分别是直线上的点，是上一点，，交于，是上一点使，作平分，则．【解答】解：设，，，，平分，，，，，，故答案为5．如图，已知，直线分别交、于点、，平分，点为上一点，连接、，平分，若，，则的度数是106．【解答】解：平分，且，，平分，，，，，，，设，则，，是的外角，，即，解得，．故答案为：．6．如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连结．的平分线交于点，连结，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，，则的度数是．【解答】解：设，则，，，，，，，，，平分，，又，，，，即，，，中，，故答案为：．三．解答题（共44小题）7．探究：如图①，，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．解：，（已知）．两直线平行内错角相等同理可证，．，．应用：如图②，，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小为度．拓展：如图③，直线在直线、之间，且，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连结、．若，则度．【解答】解：探究：：，．（两直线平行内错角相等）同理可证，．，．（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．应用：由探究可知：，．故答案为60．拓展：如图③中，当的在直线的右侧时，，当点在直线的左侧时，．故答案为70或290．8．综合与探究如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合）．，别平分和，分别交射线于点，．（1）求、的度数；根据下列求解过程填空．解：，，，，平分，平分，、，，．（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点运动到使时，直接写出的度数．【解答】解：（1），，，，平分，平分，、，（角平分线的定义），，．故答案为，，角平分线的定义，．（2）与之间数量关系是：．不随点运动变化．理由是：，，（两直线平行内错角相等），平分（已知），（角平分线的定义），（等量代换），即．（3）结论：．理由：，，当时，则有，，，由（1）可知，，，9．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【解答】解：（1）成立，理由如下：如图①，过点作，，，，，，；（2）不成立，新的结论为，理由为：如图②，过作，，，，，，．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，，于点，交于点，当时，求的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点作．分析思路：①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；③由，推出，由此可推出；④由已知，可得，所以可得的度数；⑤从而可求的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：过点作交于点分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求的度数．【解答】解：（1）辅助线：过点作交于点．分析思路：①欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数；②欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数和；③又已知的度数，所以只需求出的度数；④由已知，可得；⑤由，可推出；可推出，由此可推，所以可得的度数；⑥从而可以求出的度数．（2）如图，过点作，，，，，，，．11．已知，，点为射线上一点．（1）如图1，若，，则70；（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．【解答】解：（1）如图，延长交于，，，是的外角，，故答案为：70；（2）．理由：，，是的外角，，；（3），设，则，，，，又，，，平分，，，，即，解得，，在中，．12．已知，直线，点为平面上一点，连接与．（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）如图1，过作，，，，，；（2）．理由：如图2，过作，，，，，，过作，同理可得，，与的角平分线相交于点，，；（3）．理由：如图3，过作，，，，，，过作，同理可得，，与的角平分线相交于点，，．13．如图，已知：，垂足为点，，垂足为点，的延长线交于点，且，点在上，且，试说明．【解答】证明：，，（垂直定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．14．（1）如图①，，点在射线上，，若，求的度数；（2）如图②，把“”改为“”，点在射线上，．猜想与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，过作，则，，，，，，，；（2），理由：如图②，过作，则，，，，，，，即，．15．如图1，已知，，；（1）若，则；（2）请探索与之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数．【解答】解：（1）如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案为：；（2）如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．16．已知直线，直线和直线、交于点和，点是直线上一动点（1）如图1，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点在、两点的外侧运动时点与点、不重合，如图2和图，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由．【解答】解：（1），如图1，过点作，，，，，，；（2）不成立，如图，理由：过点作，，，，，，；如图，理由：过点作，，，，，，．17．（1）如图（1），已知任意三角形，过点作，求证：；（2）如图（1），求证：三角形的三个内角（即、、之和等于；（3）如图（2），求证：；（4）如图（3），，，交的平分线于点，，求．【解答】证明：（1），；（2）如图1所示，在中，，，（内错角相等）．，．即三角形的内角和为；（3），由（2）知，，；（4），，，，交的平分线于点，，，，，．18．如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，相交于，两点，点在直线上，（1）当点在，两点间运动时，问，，之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点在，两点外侧运动时，试探究，，之间的关系，并说明理由．【解答】证明：（1）如图1，过点作，，（两直线平行，内错角相等），，（已知），（平行于同一条直线的两直线平行），（两直线平行，内错角相等），，（等量代换）；（2）如图2，过点作交于点，，，，，；同理，如图③，；19．已知直线，（1）如图1，点在直线上的左侧，直接写出，和之间的数量关系是．（2）如图2，点在直线的左侧，，分别平分，，直接写出和的数量关系是．（3）如图3，点在直线的右侧，仍平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作，，直线，，，，，即．（2）如图2，，，分别平分，，，，由（1），可得，．（3）如图3，过点作，，，，，，，，由（1）知，，又，分别平分，，，，，．故答案为：、．20．（1）如图1，，则（2）如图2，，则，并说明理由（3）如图3，，则（4）如图4，，根据以上结论，试探究（直接写出你的结论，无需说明理由）【解答】解：（1），；（2）过点作，，，，，，即；（3）如图，过、的顶点作的平行线，则；（4）如图，过、的顶点作的平行线，则．故答案为：；；；．21．问题情境：（1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系．【解答】解：（1）过作，，，，，；（2），理由如下：如图3，过作交于，，，，，；（3）当在延长线时，；理由：如图4，过作交于，，，，，；当在之间时，．理由：如图5，过作交于，，，，，．22．如图，是的角平分线，点在上．点在的延长线上，交于点，，求证：．【解答】证明：是的平分线，，，．，，．23．如图1，，直线交于点，交于点，点在上，点在直线左侧、且在直线和之间，连接、．（1）求证：；（2）连接，若平分，，，求的度数；（3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系为．．【解答】解：（1）如图1，延长交于，，，是的外角，；（2）如图1，连接，平分，，设，，则，，，，，即，是的外角，，，解得，；（3）如图2，平分，可设，，，四边形中，，，是的外角，，又平分，，即，整理可得，．故答案为：．24．已知、分别在的边、上，为平面内一点，、分别是、的平分线．（1）如图1，若点在上，且，求证：；（2）如图2，若点在的内部，且，请猜想、、之间的数量关系，并证明；（3）若点在的外部，且，请根据图3、图4分别写出、、之间的数量关系（不需证明）．【解答】解：（1）如图1，、分别是、的平分线，，，，又，，；（2）如图2，连接，，，，是的外角，是的外角，，，；（3）图3中，；图4中，．理由：如图3，，，，是的外角，，是的外角，，；如图4，，，，是的外角，，是的外角，，．25．如图1，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．（1）求证：；（2）若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系；（3）若直线的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系．【解答】解：（1）如图1，，，是的外角，，，；（2）或，证明：①如图，当点在上时，，，是的外角，，平分，平分，，，，同理可得，，，又是的外角，，，即；②如图，当点在上时，同理可得，，又中，，，即；（3）（2）中的结论不成立．存在：；．①如图，当点在上时，由，可得：，，，又是的外角，，，即；②如图，当在上时，同理可得，，，，又中，，，．26．已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．（1）若，求的度数；（2）求证：平分．【解答】解：（1）直线，平分，，，，，，，；（2）证明：平分，，，，，，，，平分．27．完成下面的证明．已知：如图，，、分别是、的平分线．求证：．证明：，两直线平行，同位角相等．、分别是、的平分线．，．．．．【解答】证明：，两直线平行，同位角相等）．、分别是、的平分线．，．，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），故答案是：两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．28．将一副三角板中的两根直角顶点叠放在一起（如图①，其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．【解答】解：（1），，，；（2），理由如下：，，；（3）当或时，．如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，当时，，此时；如图③，根据内错角相等，两直线平行，当时，．29．如图，已知，，．求证：．【解答】证明：，，，，，，，．30．如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．【解答】解：．理由：（平角定义），（已知）．．（内错角相等，两直线平行）．（两直线平行，内错角相等）．（已知），（等量代换）．（同位角相等，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．31．如图，已知，点在的右侧，，的平分线相交于点．探索与之间的等量关系，并证明你的结论．【解答】解：．理由：如图，分别过，作，，则，，，，，同理可得，，的平分线相交于点，，，．32．已知：如图，，，．求证：．【解答】证明：，，．，，，．，，．33．操作探究：如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点落在上（设落地为，并使折痕经过点，得到折痕，连接、，请你猜想的度数是多少，并证明你的结论．【解答】解：猜想．理由：如图，连接，直线是的垂直平分线，，由折叠可知，，，是等边三角形，，．34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且（1）求、的值；（2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【解答】解：（1）、满足，，且，，；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，解得，（不合题意）综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯转动时间为秒，，，又，，而，，，即．35．已知：射线（1）如图1，的角平分线交射线与点，若，求的度数．（2）如图2，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，，求的度数．（3）如图3，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，，，，，都在射线上，试求的度数．【解答】解：（1）如图1，，，，是的角平分线，，；（2）如图2，，，平分，，平分，，；（3）如图3，由（1）可知，，，，则．36．请把下列证明过程补充完整．已知：如图，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，，．求证：证明：（已知）（已知）（已知）即（等量代换）【解答】证明：（已知）内错角相等，两直线平行）两直线平行，内错角相等）（已知）等量关系）（已知）即（等量代换）同位角相等，两直线平行）故答案为：，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量关系；，；，同位角相等，两直线平行．37．如图所示，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由．结论：（1）；（2）；（3）；（4）．证明：（2）（4）【解答】解：（1）．理由：过点作，，，，，．（2）．理由：过点作，，，，，．（3）．理由：，，，；（4）．理由：，，，．故答案为：；；；．38．如图，已知直线，直线和直线、交于点和、、两点分别在和上，直线上有一动点（1）如果点在、之间运动时，猜测，，之间有什么关系，证明你的结论（2）若点在的延长线上运动时，，，之间的关系为（3）在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，探索和的关系，并证明．【解答】解：（1）结论：如图①，当点在、之间运动时，．理由如下：过点作，，，，，；（2）结论：如图②，当点在、两点的外侧运动，且在上方时，．理由如下：，，，．故答案为．（3）结论：．理由：由（2）可知，同理，平分，平分，，，．39．已知如图，，直线与交于点，与交于点，射线与射线交于点．（1）若平分，平分，，则；（2）若，，，则；（3）将（2）中的“”改为“”，其它条件不变，求的度数．（用含的代数式表示）（4）若将分成两部分，平分，，求的度数．（用含的代数式表示）【解答】解：（1），，，平分，平分，，，，；故答案为：；（2），，，，，，，，；故答案为；（3），，，，，，，，；（4）当时，，，而平分，，，，解得；当时，，同理可得；综上所述，的度数为或．40．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：60；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【解答】解：（1），，，故答案为：60；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，①当时，如图1，，，，，，解得；②当时，如图2，，，，，解得，综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）和关系不会变化．理由：设灯射线转动时间为秒，，，又，，而，，，即，和关系不会变化．41．如图，平分，为的延长线上一点，交于点，，，求的度数．【解答】解：平分，，，又，，，，，．42．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，（1）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图②，与相交于点，求的度数；（2）将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第5或17秒时，边恰好与边平行；在第秒时，直线恰好与直线垂直．（直接写出结果）【解答】解：（1），，；（2）如图，时，旋转角为，或，所以，秒，或秒；时，旋转角为，或，所以，秒，或秒．故答案为：5或17；11或23．43．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）观察与思考：如图1，若，点在、内部，、、之间的数量关系为，不必说明理由；（2）猜想与证明：如图2，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，利用（1）中的结论（可以直接套用）求、、、之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）拓展与应用：如图3，设交于点，交于点，已知，．利用（2）中的结论直接写出的度数为度，比大度．【解答】解：（1）过点作，，，，，；（2）如图，连接并延长，结论：．．（3），，，，．故答案为：；75，65．44．已知：直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折弦，且，是，之间且在折线左侧的一点，如图．（1）若，，则41度．（2）若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，2间满足的数量关系并说明理由．（3）若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，2之间满足的数量关系．【解答】解：（1）图1，过作直线，，，，；故答案为：41；（2）如图2，，，四边形是平行四边形，，；即或，；（3），，，，，．45．直线与直线相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．（1）如图1，若，已知、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．（2）如图2，若，已知不平行，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点，点、在运动的过程中，；、又分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小也不发生变化，其大小为：．（3）如图3，若，延长至，已知、的角平分线与的角平