高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定

2.3.2

平面与平面垂直的判定概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为_______.从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的___,这两个半平面叫做二面角的___图示【知识提炼】1.二面角半平面两个半平面棱面平面角文字在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于___的射线,则这两条射线构成的___叫做这个二面角的平面角图示棱角平面角符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围_______规定二面角的大小可以用它的_______来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是_____的二面角叫做直二面角平面角直角[0,π]记法棱为l,面分别为α,β的二面角记为______.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角_____α-l-βP-l-Q2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作_______.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_____垂直.如图所示.直二面角α⊥β横边文字语言一个平面过另一个平面的_____,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,_____⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的判定定理.垂线l⊂β【即时小测】1.思考下列问题:(1)二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.(2)应用面面垂直的判定定理的关键是什么?提示:应用此定理的关键在于,在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线,即实现面面垂直向线面垂直的转化.(3)两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?提示:不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.2.如图所示的二面角可记为(

)A.α-β-l

B.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α【解析】选B.根据二面角的记法规则可知B正确.3.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面(

)A.有一个 B.有两个C.有无数个 D.不存在【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角等于

.【解析】根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角平面角定义可知,∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.答案:45°【知识探究】知识点1二面角观察图形,回答下列问题:问题1:二面角与平面几何中的角有什么区别?问题2:构成二面角的要素有哪些?平面几何中的角二面角图形【总结提升】1.二面角与平面几何中的角的对比平面几何中的角二面角定义从平面内一点出发的两条射线组成的图形从一条直线出发的两个半平面组成的图形表示法由射线-点(顶点)-射线构成,记为∠AOB由半平面-线(棱)-半平面构成,记为二面角α-l-β意义定量地反映两条直线的位置关系定量地反映两个平面的位置关系2.构成二面角的平面角的三要素(1)角的顶点在二面角的棱上.(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内.(3)角的两边分别和二面角的棱垂直.3.三类特殊的二面角(1)当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小为0°.(2)二面角的大小为90°时,两个平面互相垂直.(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°.知识点2平面与平面垂直观察图形,回答下列问题:问题1:怎样描述直线相对于平面的倾斜程度?问题2:怎样理解直线与平面所成的角?【总结提升】1.平面与平面垂直的关键点(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点:都是通过所成的角是直角来定义的.2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决.【题型探究】类型一二面角的大小与计算【典例】1.已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,则二面角A-BC-O的大小为

.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-B1C-B的正弦值.【解题探究】1.典例1中BC与哪条直线垂直?根据条件如何作二面角A-BC-O的平面角?提示:BC⊥AO,过O作OD⊥BC于D,连接AD,可得二面角A-BC-O的平面角.2.若可以过二面角的一个面内一点作另一面的垂线,则如何作二面角的平面角?提示:若可以过二面角的一个面内一点作另一面的垂线,则可以用“垂线法”作二面角的平面角.【解析】1.如图,在平面α内,过O作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.因为AO⊥α,BC⊂α,所以AO⊥BC.又因为AO∩OD=O,所以BC⊥平面AOD,而AD⊂平面AOD,所以AD⊥BC,所以∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α,知AO⊥OB,AO⊥OC.又∠ABO=30°,∠ACO=45°,所以设AO=a,则AC=a,AB=2a.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,所以BC=所以AD=在Rt△AOD中,sin∠ADO=所以∠ADO=60°,即二面角A-BC-O的大小是60°.答案:60°2.过B作BF⊥B1C,垂足为点F,连接AF,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AB⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,所以B1C⊥AB,又B1C⊥BF,AB∩BF=B,所以B1C⊥平面ABF,又AF⊂平面ABF,所以B1C⊥AF,所以∠AFB是二面角A-B1C-B的平面角.设正方体的棱长为a,在Rt△B1BC中,∠B1BC=90°,BB1=BC=a,BF⊥B1C,则F是B1C的中点,所以BF=a.在Rt△ABF中,∠ABF=90°,AB=a,BF=a,所以所以sin∠AFB=所以二面角A-B1C-B的正弦值为.【延伸探究】典例2中,条件不变,试画出平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线,并作出这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角.【解析】(1)连接A1C1.(2)过B1作EF∥A1C1交D1A1的延长线于点E,交D1C1的延长线于点F.(3)过A1作A1G⊥EF,垂足为G,连接AG.如图所示,平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线是直线EF.这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角是∠AGA1.【方法技巧】1.求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角.(2)证明这个角是二面角的平面角.(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.2.确定二面角的平面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.【变式训练】如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.【解析】因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC就是平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,B1C∩BC1=O,求二面角B-AO-C的大小.【解析】因为AB⊥平面BCC1B1,OC⊂平面BCC1B1,所以OC⊥AB.因为四边形BCC1B1为正方形,所以OC⊥OB,又AB∩OB=B,所以OC⊥平面AOB,又OC⊂平面AOC,所以平面AOC⊥平面AOB,所以二面角B-AO-C为直二面角,大小为90°.类型二面面垂直的判定与证明【典例】如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.【解题探究】用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的基本步骤是什么?提示:首先根据题意分析哪个平面的垂线容易证明,然后证明线面垂直,最后说明该直线在某平面内得到两个平面垂直.【证明】(1)方法一:(利用定义证明)因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC都是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD=在Rt△ABD中,AD=a,在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.方法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形,所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.【延伸探究】1.(变换条件,改变问法)典例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?【解题指南】欲求三棱锥S-ABC的体积,关键是求得顶点S到底面的距离,即三棱锥的高.【解析】取BC的中点D,连接AD,SD,由典例解析可得SD⊥AD.又因为SD⊥BC,AD∩BC=D,所以SD⊥平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.因为S△ABC=×BC×AD=×2×=2,SD=,所以VS-ABC=×S△ABC×SD=.2.(变换条件,改变问法)将典例改为如图在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD.【证明】取BD的中点E,连接AE,CE,因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,所以AE⊥BD,CE⊥BD,又AE∩CE=E,所以BD⊥平面AEC.在△ABD中,AB=a,BE=BD=a,所以

同理,CE=

a.在△AEC中,AE=CE=

a,AC=a,故AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,所以平面ABD⊥平面BCD.3.(改变条件,变换问法)将典例改为:在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点.求证:(1)直线EF∥平面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.【证明】(1)因为E,F分别是AB,BD的中点,所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD,因为EF⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD,EF∥AD,所以EF⊥BD.因为CB=CD,F是BD的中点,所以CF⊥BD.又EF∩CF=F,所以BD⊥平面EFC.因为BD⊂平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.【方法技巧】证明面面垂直常用的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直.(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.【补偿训练】如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.证明:平面AB1C⊥平面A1BC1.【证明】因为BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1,又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,所以B1C⊥平面A1BC1,又B1C⊂平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.规范解答面面垂直判定定理及应用【典例】(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC.(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【审题指导】(1)由“侧棱垂直底面,∠ACB=90°”可证BC⊥面ACC1A1.(2)由“AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点”可证DC1⊥DC.以上两个方面结合可以证明DC1⊥平面BDC.【规范解答】(1)由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,…………