材料力学提高习题2答案

P P YRlx MxYx AMxYx A2dMxRl2xe0xl2 PP

Rlxx2Pa

1

22PP 2

M111 111

M h M11M21M2 M h2 截面，M1M2ql2/8， 72，M26

ql9

6 68M qlmax1 max2 2 1 bh12 1h

3bh22max12

28h1 2 Mmax 6ql 2

8bh1h2W2

2 3bha所示的任意截面梁，受力偶myz轴为正交的形心轴（xy平面与力偶m作用面一致。试直接从平面假设出发，推导出梁横截面上的弯曲正应力。xyxz平面内的曲率半径，因此，坐标为（yz）点处的应力为Ey （a X0，AxdA1ydA1zdAy即 Sz

zSy因为y、z轴的坐标原点在形心上，故截面对y、z轴的静矩SySz mzm mEy2dAEyzdAmEI

EI

z

E

yzdAEz2dAy z

EIy 联立解b、c1 2 2

yI

Iyz y EIIIy 将 和 代入a式，即可得此梁横截面上的弯曲正应

yI IyIzIByCz dA由X0，有dA0A即AByCzDdABSzCSyDAyzSySz0A0D0由由

mAydAAByCzydABIzCIyzAzdAAByCzzdABIyzCIy

fB

，C 2IyIzI IyIzI2可得应力 mIy IIIy ，仿造上面的推导，可以求出（yz）点的弯曲正应力x为MIM zMIM y z z y IyIzIyzIyz0MyzMzx xABCD长方体上的所有外力满足平衡条件Xx3Q3 2力，如图b所示。（2）BC上的剪应力的合力为Taxbdxa3qxbdx3qa 02bh 1qa2yh/ h/2 h/26qa 横截面CDN

bdy

bdy

ydy 故满足平衡条件X0但是由图bTN的作用线不重合，故并不满足力矩平衡的条件，这是因为材料力学中忽略了 12qy33qyq CD上的剪应力与BC面上的挤压应力组成的力偶与上面TN设梁横截面上的应力My/Iz以及平面假设仍成立。试导出梁横截面上剪应力出剪应力的方向和沿截面高度的分布规律。

的，并MThx，Q面cddx小段分成两部分，保留下部分（见图c。利用保留部分在水平方向的平衡条件可列出MdMdAMdATdxbdx I A*I dATdxA*IA*zy的横线以下的面积。令式中A*dASzdM

dMSIzT

zTdx所以

zbIzbdMdxTh

h2 根据的计算式，可以画出沿横截面高度的分布图（d解：设切口与bh t h QBC段：计算1S2

012，剪应力为It 1 1h/

zCD段：计算2S

8

2

，剪应力为

22Qb220

Qthhb2b2 DC段上的Q2大小相等、方向相反（截面上剪应力应形成剪应力流。假设DF段内的剪应力合力为Q3。点的力矩之和等于剪力QE点的力矩，即Qe2Q1bQ2h，将Q1、Q2th2b the24I

h3h2b

12I

2hth3 tbh2 thIz21224122h eb2hl。素dA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。由于平面假设成立，所以沿梁的高度线应变仍按线性规律变化，即 定律知两种材料的正应力分别为

Ey E 1

x 2 （x1dAx2dA E1ydAE2ydA 下面推导弯曲正应力。MxydAx1ydAx2A1

1(EIEI

y

1 2 1

E1I1E2I Eix x

两种（或两种以上）材料得组合弯曲正应力可写 Ei利用（e）式及推导单一材料弯曲剪应力时的方法，可得剪应力i

ydAyndA 原组合截面转化为仅由材料1组成得变换截面，如图d所示。进一步得研究弯矩MxE1y，于是（MxydAxydA

ydAE1

y2dA y

1(EIEnI)1(EIEI)1E 1 1

1 2 i之比。试求所需的P力及梁被压平时，梁内最大正应力。长l均已知，当载荷P大于 时，AB梁左端某段已和圆柱面贴合，试求自由端B的挠度。0yKx3B0 d2 0 dx1

M16Kxp(l

p(lx0)

x06EIKcCB的挠曲方程。直梁的弯矩正比与曲率d2ydx2，此处应修正为弯矩正比于曲率变化。在距离C为处，d2

d2EI(d2 0)p(ldx

d2

6EIKxp(lx0x换为（x0，然后对积分两次，利用边界条件＝0y＝0dy/d＝0P(lx)EIy3EIKx2EIK3 再以lx0

EIK(lx0)2(l2x)P(lx 0

(P6EIKh（<<l的条件。（江西工学院工民建79级学生刘柳庾）解A（哈尔滨船舶二程学院材料力学教研室何蕴增解由变形连续条件知，抬起半长时D处杆的曲率为零，因而弯矩MD＝0，同样转角D＝0。因此杆CD易知，在q作用下 ，在QD作用下，由，由悬 ，因如图a所示，长为L的矩形截面悬臂梁发生温度改变，上表面温度为T1，下表面温度变为T2,且T2>T1，沿截面高度，温度按线性规律变化。已知材料的线膨胀系数为，试确定自由端的挠度1解：梁的平均温度为T02(T1T2的长度改变为(T2T0dx及(T1T0dx，故hd＝(TT)dx(TT)dx，d(T2T1

dy(T2T1)xC，y(T2T1)x2CxD (TT)l (TT B处引起的转角，则BBmBq0qa (2)bqb3 b

18．一温度继电器由两片材料不同、但尺寸相同的金属片粘结而成，左端固定自由，如图a所示。两cX

N1N2N1N2

m M1M2Nh M1M2两个方程包含四个未知量，故为二次超静定12 上金属片边缘的线应变1

11N1MN1M1h 11

22 N2M2h 22

E2 E2I1EI2M M 1EI2 N1M1hTN2M2h 121 M1M NN(12)TbhE1E2(E1E2 E12E2214E1E()Tbh2E2EM