21.3实际问题与一元二次方程（3）-教案2022-2023学年人教版九年级数学上册

.3实际问题与一元二次方程（第3课时）教学目标：能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．教学重点：利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题．教学难点：通过图形变化及其它转化列出适当的方程解决实际问题.教学设计一、复习引入我们学习过哪些图形的面积计算公式？师生活动：学生回顾，并回答图形及对应的面积公式.设计意图：基本图形的面积公式是解决面积类问题的基础，面积公式是列方程解决面积问题常用到等量关系.二、引入问题，获得思路问题1某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图).请根据设计方案求出图(1)、(2)中道路的宽分别是多少时，两图的草坪面积都为540平方米.师生活动：学生自主思考，派代表回答第一问（1）解：设道路的宽为x米，则草坪长（32-2x）米，宽（20-2x）米

（32-2x）（20-2x）=540

化简得：x2-26x+25=0

解得：x1=1，x2=25

其中x=25超出了原矩形的宽，应舍去.答：图(1)道路的宽为1米．师生活动：对于第2个设计方案中的道路宽，学生分组讨论并汇报讨论结果，整理学生的汇报结果：方法一：用长方形场地面积－道路面积=草坪面积方法二：通过平移道路，使得4块草坪合成一个长方形整体，利用长方形的草坪面积公式列出方程。其中方法二，若学生想不出来，教师适当提示补充，并用ppt动态演示展示平移的过程.我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）方法二：师生活动：让学生总结归纳两种方法，方法二较容易列方程.归纳：解答这类问题，是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便。设计意图：及时进行知识整合，提供解题方法，引导学生从感性认识上升到理性认识，培养学生归纳概括的习惯和能力。练习：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?师生活动：学生自主思考，可由问题1中总结的将图形平移的方法进行解决设计意图：利用练习巩固学生对这类型题目的思路分析，再次总结这类问题中道路所占的面积只与道路的条数、宽度有关，而与位置无关。为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一边.三、例题分析问题2要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？272721设计意图：该问题与问题1中方案图1的思路是一样的，较简单，学生也很容易得出答案，为后面的探究3铺垫.变式提高，探究3 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度?师生活动：学生小组讨论，教师适当提示补充，归纳两种解法：直接设元、间接设元。解法一，间接设元，分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，依题意得解法二，直接设元，分析:这本书的长宽之比是9:7，正中央的矩形两边之比也为9:7，由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm，依题意得设计意图：通过该例题，面积问题中的等量关系通常是以规则图形的面积公式着手的，会用含未知数的式子表示规则图形的面积，是解决此类问题的关键.四、归纳小结回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？列方程解应用题的基本步骤：

①审（审题）；读题目，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系

。

②设（设元）；包括设直接未知数或间接未知数，同时用含有未知数的式子表示其他的相关量.

③列（列方程）；以一二步骤为基础，用题中的等量关系列方程

④解（解方程）；

⑤验（检验）；检验根的准确性及是否符合实际意义和题目中的要求

⑥答（总结）；写出答语作总结.设计意图：让学生归纳步骤，规范解题思路与过程。让学生明确仔细审题的重要性，理解题意中的已知条件，并结合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。五、补充练习如图，是长方形