苏教版小学数学三年级下册单元教材分析全册

苏教版小学数学三年级下册教材分析【第一单元两位数乘两位数】本单元在学生已经掌握两位数乘一位数的基础上编排。两位数乘两位数的算法，在很大程度上可以应用于三位数乘两位数，甚至三位数乘三位数的计算中去。因此，在整数乘法中，两位数乘两位数的计算具有很强的基础性，把它编成一个单元，有利于加强基础，培养计算能力。全单元编排六道例题，涉及两位数乘10的口算、两位数乘两位数的估算、两位数乘两位数的笔算、用连乘解答的两步计算实际问题等内容。具体安排如下表：例1口算两位数乘10（包括几十乘几十）例2估算两位数乘两位数例3笔算不进位的两位数乘两位数乘法的验算例4笔算需要进位的两位数乘两位数总结乘法计算法则练习一例5笔算两位数乘几十例6用两步连乘解决的实际问题练习二从表格里能够看到教材编排的几个主要特点：第一，重视口算、加强估算。本单元先教学口算和估算，然后教学笔算和解决实际问题。把口算和估算安排在笔算前面教学，就不会因笔算的定势而被削弱。在教学笔算时，还能经常练习口算和估算，在解决实际问题时恰当应用口算和估算，能确保口算和估算的教学要求得到落实，学生的口算能力和估算意识得到培养。第二，笔算是重点。编排三道例题教学笔算，从不进位到进位，从一般性竖式到特殊形式的竖式，从乘法的验算到笔算的法则，很系统地安排了两位数乘两位数的笔算教学。第三，应用乘法解决实际问题。教材在各次“想想做做”以及两个练习和单元复习里，编排了许多用乘法解答的实际问题。编排这些实际问题的意图主要有两点：一是让学生反复接触、经常体验常见的数量关系；二是让学生在解决实际问题的过程中形成计算能力，发展应用意识。编排例6教学连乘计算的实际问题，是因为这种问题的思维比较开放，解法不止一种，学生独立解答会有困难，需要通过例题引导他们分析数量关系，形成解题思路。（一）教学两位数乘10，鼓励学生探索算法，在交流中相互印证，从中选择比较方便的算法本单元教学的口算主要是两位数乘10以及几十乘几十，如12×10、20×30等，都是教学估算和笔算所需要的基本技能。例如，在24×12的竖式里，第一步先算24×2，第二步算的24×10就是两位数乘10。又如，估算21×29的积，所进行的口算就是几十乘几十。例1教学12×10，创设的问题情境是“每盒有12个菜椒，送给敬老院10盒，一共送了多少个菜椒？”呈现的图画里，已经放下9盒，每盒12个，还有一盒正在搬来。教材要求学生在图画情境里想办法计算12×10。学生第一次接触两位数乘10，还不知道它的算法。他们探索12×10的算法，一般应转化成已经掌握的两位数乘一位数。图画情境启发他们转化：已经放下9盒，还有1盒正在搬来，可以先算9盒有多少个，再加1盒的12个。即12×9＝108，108＋12＝120，这两步计算已经掌握。10盒放成2堆，每堆5盒，可以先算5盒有多少个，再算2个5盒是多少个。即12×5＝60，60×2＝120，这两步计算也已经掌握。如果把1盒的12个分成10个和2个两部分，那么10盒里就有10个10和10个2。10个10是100，10个2是20，合起来是120个。根据12×1＝12，推理出12×10＝120。……如果学生具有探索新算法的迫切性，具有把新问题转化成旧知识的思想，在教材给出的图画情境里积极思考，应该能想到各种计算12×10的方法。他们想的各种算法，结果都是120，表明各种算法都正确。比较各种算法，从12×1推出12×10是最方便的方法。从此以后，计算两位数乘10就可以使用这种算法了。教学这道例题，不能从积的变化规律进行推理，因为学生还不知道“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”这个规律；更不能按“一个乘数的末尾添0，积的末尾也添0”机械地得出12乘10的积。教学这道例题，要引导学生仔细观察图画里的10盒菜椒，从这些菜椒的堆放方式得到算法的启发。学生通过自己的努力，解决新的课题，其收获远远超出一道题目的算法与得数。探索经历以及积累的情感体验、思想方法，会长期支持他们以后的数学学习。通过交流，要让全体学生体会到“从12×1＝12推出12×10＝120”是一种很好的方法。应该引导他们进一步理解：12×10相当于12乘1个十，得到12个十，是120。“试一试”里依次计算24×10、20×10、20×30，这三道题有内在联系，并逐步发展。先算的24×10，完全可以应用例1教学的算法，从24×1推出24×10的得数。接着算的20×10，是最简单的几十乘几十，也可以从20×1推理出20×10的结果。最后算的20×30是一般的几十乘几十，可以从20×10＝200，得出20×30＝600；可以从20×3＝60，得出20×30＝600；可以从“二三得六”直接得出20×30＝600。这些想法里，有演绎推理，也有合情推理，对发展数学思考十分有好处。“想想做做”第1题给出三个题组，分别是16×1和16×10，70×6和70×60，5×40和50×40，帮助学生巩固两位数乘10或几十乘几十的口算思路，掌握新学习的口算。尤其是第二、三两组题，体会从几十乘一位数向几十乘几十的推理，有利于掌握本单元教学的口算，并应用于有关的估算中去。（二）为解决实际问题而估算，体现估算的意义；创设需要估算的问题情境，引导学生经历估算的过程例2的编写，充分体现了新课程关于估算的教学思想。即估算不仅是一种数学计算方式，更是有效解决问题的常用手段；教学估算不应是学生被动接受怎样算，而是主动探索新算法的学习过程。例题创设的问题情境是“王大伯把收获的大蒜装在60个同样大的袋子里，为了估计总产量，他任意抽出5袋，分别称得重28千克、31千克、31千克、29千克、33千克。要解决的问题是，估计王大伯大约收获大蒜多少千克。解决这个问题，首先要确定数量关系：每袋大蒜的千克数×一共的袋数＝大蒜的总千克数，这是解决问题的基本思路。然后确定每袋大蒜是多少千克，以及一共有多少袋大蒜，为列出算式寻找需要的条件。由于已知的5袋大蒜的千克数不都相同，所以确定每袋的千克数成了解决问题的关键。从这5袋大蒜都差不多重，有的比30千克少一些，有的比30千克多一些，都是30千克左右，想到“按每袋30千克，估算60袋大蒜大约多少千克”。解答例题“按每袋30千克，估算60袋一共有多少千克”列出算式30×60=1800，学生现有能力只能这样做。教学例2，除了像上述的那样，引导学生进入问题情境、确定解题思路，把每袋大蒜看成重30千克，通过30乘60得出结果，还要引导学生体会估算：一要体会解决这个问题为什么选择估算，二要体会解决这个问题是如何估算的，三要体会估算对实际解决问题起什么作用。学生如果能够获得这些体会，他们的认识就远远高于计算的知识技能，达到数学思想和数学活动经验的层面。如果有条件，还可以回顾曾经进行过的三位数加、减法的估算，两、三位数乘一位数的估算，体会所有估算的共同点。其实，人们之所以进行估算，通常是无法得到精确的得数或者是不需要精确的结果，才选择估算。人们进行估算，一般把两位数看成最接近的几十，把三位数看成最接近的几百，利用口算完成估算。“想想做做”里编排两道应用估算解决的实际问题。其中第6题与例2差不多，这里就不说它了。第5题是这样的：一页书有21行，每行29个字。这页书大约有多少个字？”解决这个问题的数量关系是“每行的字数×行数＝一页的字数”，如果列算式是29×21，需要笔算，得出的是比较精确的结果。如果估算就要把每行29个字看成每行30个字，把21行看成20行，通过30×20得出一页大约600个字。把两个乘数分别看成与它最接近的几十，是这题的估算与例题的不同处，也是教学应该把握的地方。算式应该根据“每行大约30个字，一页大约20行”写成30×20=600，不要写成29×21≈600，因为学生还不认识“≈”，更不会使用它。（三）意义建构笔算的竖式，首先要解决分几步乘以及每步乘的结果写在哪里的问题，然后要解决如何进位的问题，最后形成完整的计算法则本单元编排例3和例4教学两位数乘两位数的笔算。例3着重教学竖式的结构，包括乘的步骤以及每一步乘得的结果的书写位置，例4着重教学乘法过程中的进位，并形成计算法则。这样编排分散了难点，有利于课堂教学加强基础知识和基本技能，突出重点并有效地解决难点。1.掌握两位数乘两位数的笔算方法，关键在于理解为什么分两步乘，以及每一步乘的结果为什么要写在规定的位置上。计算教学应该让学生理解算理，掌握算法。所谓“理解算理”通常指“懂得为什么这样算”的道理，所谓“掌握算法”一般指“知道怎样算，并正确按法则计算”。如果学生只会算而不理解算理，这样的算法是机械的。如果既知道怎样算又明白为什么这样算，算法才是有意义的。例3帮助学生意义建构两位数乘两位数的竖式，大致分三步进行。第一步，让学生想办法解决实际问题，收集能够建构竖式的解法。两位数乘两位数的算法，其本质是应用乘法分配律，把两位数乘两位数分解成两位数乘整十数和两位数乘一位数，并把两部分的结果相加。三年级学生没有学过乘法分配律，不可能联系运算律来理解和解释两位数乘两位数的算法，只能联系实际问题中的数量关系来感悟算法。例题已知每箱南瓜24个，求12箱一共有多少个。列出算式24×12以后，让学生想办法计算，一方面培养解决新颖问题的探索精神，另一方面为教学笔算积累感性认识。显然，大多数学生暂时还不会直接计算这道乘法，需要转化成旧知识，用已经掌握的计算来解决这个问题。例题的情境图给学生一些启发：已经搬来10箱，还有2箱正在搬，可以先算10箱和2箱各有多少个，再合起来，这就是“萝卜”卡通的方法；12箱分6次搬，每次搬2箱，可以先算2箱有多少个，再算6个2箱有多少个，这就是“辣椒”卡通的方法。学生中还可能有其他算法，各种算法都能正确解答实际问题。应该看到，“萝卜”的算法与竖式计算的步骤差不多，其他算法和竖式的关系不大。所以，在交流各种算法时，要突出“萝卜”的那种算法，让所有的学生都清楚地知道：2箱是48个，即24×2＝48；10箱是240个，即24×10＝240；12箱是288个，即48＋240＝288。第二步，利用“萝卜”卡通的算法建构乘法竖式，联系具体数量关系理解竖式的计算。教材告诉学生“可以用竖式计算”，并呈现了三个竖式框，每个框里示范竖式的一步计算。还联系解决实际问题的步骤，具体讲述竖式的结构及其算理，有序展示了竖式的形成过程（如图）。24×1248……2箱的个数24×12240……10箱的个数24×12288……12箱的个数教学时，如果能像下面那样，提炼出竖式的计算步骤与每一步的计算内容，学生对竖式的理解就能更加深刻一些。24×1248……24乘2的积24×12240……24乘10的积24×12288……24乘12的积第三步，示范竖式的一般写法。这里的“一般写法”是人们的通常写法。与上面的竖式相比，少写了第二步乘的得数个位上的那个“0”，即24乘10的得数240个位上的那个“0”不写出来，而“24”所在位置没有改变。由于在适当位置上写“24”，并没有改变240的大小，仍然是24个十，即240。省略第二步乘的得数个位上的那个“0”，两位数乘两位数就成为两次两位数乘一位数的有机组合。上面的24×12，第一步算24×2得48，第二步算24×1（个十）得24（个十），把两步乘的得数相加，就是24×12的积。教学竖式的一般写法要注意三点：一是让学生体会到一般写法和初步搭建的竖式是一致的，一般写法没有否定原来的写法，而是对原来竖式的优化；二是一般写法中，第二步乘的得数必须对齐着十位写，表示多少个十，否则会影响最后结果的正确；三是按照一般写法，计算两位数乘两位数就可以分别计算两道两位数乘一位数，这是已经掌握的本领。24×1248……24乘224×1224……24乘1（十）24×12288……两次得数相加2.调换24×12中两个乘数的位置，计算12×24，教学乘法的验算。“试一试”接着例3的安排，要求学生“调换24和12的位置相乘”。安排这项活动有两个目的：一是让学生尝试着独立计算两位数乘两位数的笔算，消化例题教学的算法；二是发现调换两个乘数的位置再乘一遍，积与原来相同，于是用这种方法验算乘法。学生首次进行两位数乘两位数的笔算，尽管在例题里明白了竖式的结构、计算的步骤以及各步计算得数的书写位置，仍然会有些障碍。所以，在他们“试一试”前，应该先说说“两步乘与一步加各算些什么”，以整理思路；再说说两步乘的得数各应写在哪里，以避免第二步的得数写错位置。学生在学习表内乘法时，初步知道3×4和4×3的积相等。通过计算，现在又看到24×12和12×24的积相等。于是，从加法可以用“调换两个加数的位置，再加一遍”进行验算，想到乘法可以用“调换两个乘数的位置，再乘一遍”进行验算。对“调换两个乘数的位置，积不会改变”的感性认识，将是以后认识乘法交换律的资源。3.配合例3的“想想做做”，帮助学生学会笔算。“想想做做”编排六道练习题，每一道题都有其设计意图。第1题先“扶”后“放”，让学生从“填□”计算到独立计算，逐步学会两位数乘两位数的笔算。如先算左边的竖式，再算右边的竖式。“填□”既是制约，也是帮扶。完成这样的竖式计算，错误会少许多。在填方框计算前，如果让同桌两人相互说说怎样算、怎样写出得数，计算会更加顺利。第2题联系买21个热水瓶，每个23元的数量关系，解释竖式中每一步计算的意义，给学生再一次体会算理的机会。第3题用竖式计算，并验算。大多数学生在这道题里，初步学会两位数乘两位数的笔算。第4题是“改错”。教材选择学生容易发生的错误，让学生发现、改正，并从中吸取教训，避免自己也发生类似的计算错误。尤其是发现并改正下面竖式中的错误，能加强对乘法竖式的认识。第5题是一位数的“乘加”口算，如7×8＋3等，为即将进行的进位乘法作准备。像这样的口算，不应仅算三道，而需要在课内外安排更多的题和更多的练习机会。第6题初步应用两位数乘两位数的笔算解决简单的实际问题，体现乘法计算的现实应用。4.引导学生注意乘法过程中的进位，鼓励他们自主开展需要进位的乘法计算，并及时检验结果是不是正确。例4教学需要进位的乘法。学生对进位并不陌生，他们计算两、三位数乘一位数时经常要进位。小学数学教学实践告诉我们，进位乘法里没有新知识，但避免学生进位的错误，却是教学的很大难点。例题要学生接着计算上面的竖式，在已经计算的一步里有进位，学生接着算会注意进位的问题。接着的计算里需要连续进位，比第一步计算更加复杂些。在算完这题，并检验结果以后，要组织学生说说进位的过程，相互交流进位的体会。大多数学生进位时发生错误，并不是不知道进位，也不是不会进位。他们算错的主要原因通常是两个：一是精力不够集中，注意有点分散，不知不觉就算错了；二是心算能力跟不上，特别是一位数的“乘加”不能做到百分之百的正确。所以，组织学生进行计算练习要注意三点：第一，创造安静的计算环境，让学生在无外界干扰的条件下专心计算，逐步培养集中精力、集中注意的习惯。第二，每次练习的题量不要太多，因为计算是很累的智力活动，超量地训练，会造成心理疲劳、厌倦计算，从而引发错误。宁可让学生从从容容地把五道题都算对，不要让学生急急忙忙做完10道题而算错若干道。第三，经常进行一位数的“乘加”口算练习，提高进位的基本功。5.组织学生总结计算法则。例4在教学进位乘法以后，问学生“笔算两位数乘两位数，要注意什么？”这是引导他们总结计算法则。通过学生谈体会来总结，得出的法则不是“文本型”的，而是“经验型”的，更便于他们自主应用；得出的法则不是“书面语言”阐述的，而是“口头语言”表达的，更容易交流和记忆。引导学生总结法则，可以分两段进行。先回顾曾经笔算的两位数乘两位数，说说是分成哪几步进行的，每一步算什么，得数写在哪里，再反思是怎样进位的。学生把这些计算步骤、计算要领有条理地说清楚，就是他们总结的计算法则。教材里三个小卡通的交流，其中一人主要讲两次乘的顺序和每一步算什么，一人主要讲两次相乘的得数写在哪里，一人讲把两次乘得的数相加。三个小卡通的交流合起来就是比较完整的计算法则，应该成为课堂教学的现实。像这样进行回顾反思，学生说出的计算方法，既和数学里的文本法则相一致，又具有儿童特点，能够长期保存在他们的认知结构之中，随时提取使用。需要注意的是，三个小卡通运用数学语言比较好，教学应该引导学生懂得这些叙述，并努力像这样表述两位数乘两位数的计算法则。6.应用两位数乘两位数解决实际问题。练习一里编排了许多实际问题，有一步计算的问题，也有两步计算的问题；有口算或笔算解决的问题，也有估算解决的问题。教学一步计算的问题，要关注实际问题里的数量关系。可以让学生先说说所求问题的数量关系式，再依据数量关系式列出算式。教学两步计算的问题，要重视解题的思路。可以让学生“从条件向问题”推理，说说利用哪两个条件提出怎样的中间问题，或者说说第一步先算什么，怎样想到先算它的。第6～9题都是估算。第6题练习估算的基本思路与方法，即把乘数看成与它最接近的几十，通过几十乘几十的口算，估计积大约是多少。这道题的估算可以口头进行，估算以后再写出笔算竖式。第7、8、9题都用估算解决问题。这些题为什么采用估算？主要原因不是题目的规定或要求，而是解决问题需要估算或者只要估算。第7题“一辆载重3000千克的卡车，装了47桶豆油，每桶豆油连桶重58千克。这辆卡车超载了吗？”回答这个问题，只要看58×47的积比3000大还是小就行了。可以笔算出58×47的积是多少，也可以估算出58×47的积大约是多少。如果估算能够解决问题，就不必用竖式计算。这道题由于58×47的积接近3000且小于3000（58比60小，47比50小，58×47的积比60×50的积小），因此估算能够判断这辆卡车不超载。教材让学生“再用笔算检验”，是为了证实估计正确。第8题租5辆48座的卡车，组织272名村民去旅游，可以通过估算（50×5的积小于272）得出5辆车不够的结论。解决“至少要租多少辆这样的客车”这个问题，不宜用除法272÷48计算，因为这是除数为两位数的除法，学生还不会算。可以采用列举与验证的方法，即租6辆这样的客车，大约能坐多少人？座位够了吗？第9题“有三种地砖，分别是每块42元、49元、58元。学校买80块地砖，付了4000元，还找回一些钱。买的是哪一种地砖？”利用估算，能够得出买第一种地砖大约需要3200元，买第二种地砖大约需要4000元，买第三种地砖大约需要4800元。显然，买第一种或第三种地砖不应付4000元，买第二种地砖是有可能的。再通过笔算49×80＝3920，证实学校买的是每块49元的地砖。从上面几题的分析，应该看到，教学估算一方面要重视有关估算的基础知识和基本技能，让学生掌握估算的方法。另一方面要培养估算的意识，在解决实际问题时，能够采用估算就不一定去笔算，利用“大约多少”就能解决问题就不必算出精确的得数。因为估计（口算）一般比笔算省时省力，解决问题的效率比较高。（四）教学两位数和几十相乘，不仅让学生知道简便的竖式怎样写，还要他们体会这样写的合理性本单元计算两位数乘几十，一般采用笔算，尤其像37×30、20×25这些需要进位的乘法，不要求学生口算出得数。两位数乘几十是两位数乘两位数的特殊情况，它的竖式在遵循计算法则的前提下，有特殊处理的方面。例5教学这些乘法，使学生掌握简便竖式的计算技巧。1.从已有知识技能出发，优化一般竖式的写法，形成比较简便的竖式。例5在买足球的问题情境里计算32×30，鼓励学生“你想怎样算？和同学交流”。于是出现估算、口算、笔算等各种形式的计算，其中值得注意的是口算与笔算。口算一般分两步进行，第一步先算32×3＝96，第二步再推出32×30＝960。这就表明，如果把30看成3个十，那么32乘30就是32乘3个十，得到96个十，写成960。即：可以先算32×3＝96，再在得数“96”的末尾添上一个“0”。笔算一般按法则进行，如下图：第一步是32乘0，任何数乘0都得0；第二步是32乘3（个十），得到96（个十）；两步乘的得数相加是0加960，结果是960。如果不写出竖式里的第一步乘，直接计算32×3（个十），得到96（个十），写成960，竖式就显得比较简便。于是，把竖式写成下面的样子，即：把30的“0”写在边上，并用虚线隔开，可以暂时不算32乘0，直接算32乘3得96。“96”表示96个十，应该在末尾添上一个“0”，写成960（也就是在虚线右边写出一个0）。2.“试一试”是几十乘两位数，竖式里把两位数写在上面，把几十写在下面，计算就比较简便（前面已经知道，调换两个乘数的位置，得数不变）。例5与“试一试”共同表明，两位数与几十相乘，都应该采用简便的竖式进行计算。学生掌握简便竖式有一个过程。“想想做做”第1题让学生在已经写出的竖式上计算，体会简便竖式的算理，学会先乘“0前面的数”，再在得数末尾“添0”。第2题才让学生独立写出简便竖式，掌握两位数乘几十的笔算方法。（五）教学连乘计算的实际问题，重视解题思路的形成，发展推理能力三年级上册教学的“从已知条件向所求问题推理”的思考策略，是解答例6中两步连乘计算实际问题的主要策略。两步连乘计算的实际问题里的三个已知条件之间经常两两关联，其联系呈交叉状态。如，例6给出的三个已知条件分别是“每袋有5个乒乓球”（称为条件①）、“每个乒乓球的价钱是2元”（称为条件②）、“买6袋这样的乒乓球”（称为条件③）。显然，条件①和条件②是有直接联系的，利用它们能够算出每袋乒乓球要多少元，接着再算6袋乒乓球的价钱就容易了；条件①和条件③是有直接联系的，利用它们能够算出一共买多少个乒乓球，接着再算买这些乒乓球一共要多少钱也方便了。其实，条件②和条件③也有联系，利用它们能够算出买6个（每袋里各买1个）乒乓球要多少元，像这样买5次，也能算出6袋乒乓球需要的钱。正是由于已知条件之间的多重联系，使两步连乘计算实际问题有多条解答线索，有多种解法，这对于发展学生思维的开放性和发散性很有好处。也正是由于条件之间的多重联系，往往会相互干扰，使应该连续进行的推理中断，使系统的解题思路难以形成，从而造成教学例6的难点。例6的教学设计可以分三个板块依次进行。第一块是理解题意，找到全部已知条件以及所求的问题；分析数量关系，应用已有的思考策略。找到的已知条件和所求问题，可以摘录整理成如下的形式，便于“从条件想起”。每袋5个每个2元6袋一共要多少元？大多数学生会选择条件①和条件②或者选择条件①和条件③进行思考，要在交流中帮助每个学生形成自己的、稳定的解题思路，防止相互干扰。如：每袋5个，每个2元，每袋多少元？6袋一共要多少元？每袋5个，6袋一共多少个？每个2元，一共要多少元？条件②和条件③的联系不是三年级学生能够理解的。如果有个别学生这样想，不要轻易否定他们的想法。如果没有学生这样想，不要把这种想法作为一种解法来教学。第二块是每个学生按一种思路，列式计算，解答实际问题。交流时要让学生看到，思路不同、算式不同、解法不同，而结果是相同的。要让学生相互理解，既把自己的解题向别人展示并作出解释，也懂得别人的思考，体会解法的多样性。但是，不必要求学生“一题多解”。第三块是回顾和反思，交流解决问题的体会，积累解题经验。要组织学生联系实际问题及其解答过程的特点进行反思，交流获得的新感受和新体验，丰富个体的解题经验。首先是使用怎样的方法、按怎样的线索进行思考？体会“从条件向问题推理”不仅解决了过去学习的问题，还解决了现在学习的问题，是一种应用面很宽广的解决问题策略。然后是已知条件之间有许多联系怎么办？体会只要利用其中两个条件的联系就能形成一种思路，找到一种解法。条件之间的不同联系，使问题有多种解法。最后是不同解法应该有相同的结果，可以利用一种解法检验另一种解法是不是正确。“想想做做”仍然安排学生应用已有策略解决问题。第1题“找出有联系的条件，说说可以算出什么”，突出解题思路的形成。后面各道实际问题的解答，也应该这样分析数量关系。（六）结合乘法计算，渗透乘法运算律和积的变化规律配合例5的“想想做做”第5题给出三个乘法题组：42×4×5与42×20、32×15×2与32×30、12×5×8与12×40等，这些题组渗透乘法结合律。像这样的题组，前面教材里已经多次出现过，学生应该能体会到这些题组所渗透的数学内容。单元复习第8题让学生计算并填写下面的表格，从中感受积的变化规律。乘数510204080乘数2020202020积表格里，一个乘数20保持不变，另一个乘数每次乘2，从5变成10，再变成20、40、80，相应的乘积从100变成200、400、800、1600，也是依次乘2。学生看到这些变化，就能初步体会积的变化规律。单元复习第10题给出三个题组：25×16与25×4×4、34×21与34×20＋34、13×29与13×30－13等，渗透乘法结合律和分配律。所谓“渗透”是让学生初步接触、初步感受一些具体现象，为以后形成乘法运算律和积的变化规律等知识积累感性材料。这就表明，“渗透”既要让学生感觉到，但暂时还不必形成概括的数学认识。教学这些题目要做到两点：一是让学生一组一组地计算，从中有所发现。如，发现25×16与25×4×4的结果相同，34×21与34×20＋34的结果相同。这里的题组是运算律的载体，学生发现同组两题的得数相等，是有所感悟的前提。如果学生能够把“发现”用自己的话说具体、说充分，对有关运算律的体会就会比较清楚、比较深入。二是让学生结合具体对象讨论得数相同的原因。如，直观地体会42乘4再乘5，相当于42乘20，32乘15再乘2相当于32乘30；34×21可以看成求21个34是多少，34×20＋34则可以看成20个34加1个34，也是21个34；13×29可以看成求29个13是多少，13×30－13可以看成30个13减1个13，也是29个13。像这样感性地体会运算律的合理性，是获得感悟的具体表现。第11题在“找规律”里渗透乘法运算律和积的变化规律。从37×3=111到37×6=222，可以看成乘数37不变，乘数3乘2，积111也乘2，变成222。或者把37×6看成37×3×2，积自然是111×2=222。从37×6=222到37×9=333，可以看成增加3个37，即增加111，积应该是333。上述这些具体解释，孕伏了运算律和积的变化规律，有利于学生体会这些数学内容。继续上面的思考，探索37×（）=444、37×（）=555、37×（）=666……学生根据对运算律和积的变化规律的初步感受，写出乘法算式中的乘数，就能实现了教材的“渗透”目的。【第二单元千米和吨】小学数学教学的长度单位有毫米、厘米、分米、米和千米，其中前四个单位已经在二年级教学。教学的质量单位有克、千克和吨，其中前两个已经在三年级上册教学。千米和吨不与其他长度单位和质量单位一起教学，是因为认识千米和吨需要相应的生活经验支持，要在现实的情境里体验1千米是多长、1吨是多重，要联系万以内数的知识进行千米和米、吨和千克之间的换算。低年级学生一般不具备认识千米和吨的条件，所以教材在三年级下册教学这两个计量单位。本单元编排两道例题，内容的具体安排如下表：例题教学内容练习编排例1哪些时候要使用千米，1千米有多长

千米和米的换算例2哪些时候要使用吨，1吨有多重吨和千克的换算练习三学生进入应用千米或吨的现实情境，才能感受为什么要使用这两个单位，才会体验1千米有多长、1吨有多重。学生初步建立1千米的长度观念和1吨的质量观念是教学重点，如果他们不了解1千米实际有多长、1吨实际有多重，头脑里就没有千米和吨的概念。千米和米的换算、吨和千克的换算都是很简单的，换算的目的仍然是体验千米和吨。（一）因地制宜，安排学生感知1千米的实际长度千米是比较大的长度单位，日常生活中经常应用。尽管有些学生曾经在各种场合听说过这个长度单位，但并没有形成1千米的长度观念。主要原因有两个：一是低年级学生在生活中较少有机会接触千米，缺少感性认识来支持概念的形成。二是千米无法像较小的长度单位那样，在直尺上直接感知。例1教学千米，先出示三幅画面，显示千米在公路、铁路等交通运输中的实际应用。结合这些画面告诉学生“计量路程或测量铁路、公路、河流的长度，通常用千米作单位”。这些画面和这句话语，能给学生一个鲜明的印象：计量很长的路程或很长的长度，要用千米作单位。教学这段内容，要给学生讲讲画面中标记的意思。如，火车已经行驶了180千米，公路上汽车限速每小时60千米，离开黄山还有98千米。还要让学生知道，“千米”可以用符号“km”表示，这些知识在生活中和后面的数学学习里会经常使用。例题接着讲1千米有多长，着力帮助学生感知1千米的实际长度，初步建立1千米的长度观念。多数学校都有100米长的直跑道，教材要学生“看看100米的跑道有多长”，想想10个100米会是多长，在此基础上接受新知识“10个100米是1000米，就是1千米”。这里的“1000米就是1千米”，首先揭示了什么是1千米，即1千米的概念。然后指出了千米与米两个长度单位之间的进率。学生有了1千米的初步概念，千米与米的进率自然就记住了。课堂教学要在这个环节上多用一点时间，在指出“10个100米是1千米”的同时，让学生到操场上看看100米长的跑道，或者在座位上想想100米跑道的长度，体会10个这样的长度有多长，通过形象思维建立1千米的长度观念。还可以安排学生课后到100米长的跑道上连续走10次，感受1千米的实际长度。大多数学校都有环形跑道，长度不尽相同。有些长400米，有些长250米，有些长200米。教材要学生联系自己学校环形跑道的长度，说说大约几圈是1千米。如果环形跑道长400米，那么2圈半是1千米；如果环形跑道长250米，那么4圈是1千米；如果环形跑道长200米，那么5圈是1千米。学生联系自己熟悉的长度体验1千米有多长，有利于形成1千米的长度观念。教学应注意，这个环节是继续体验1千米有多长的活动，联系自己学校的环形跑道“几圈是1千米”，在头脑里留下1千米长度的正确表象。这里不能通过1000÷400（或250、200）来计算圈数，要通过几个400米（或250米、200米）是1000米得出圈数。“想想做做”紧紧围绕1千米的长度观念而设计。一是“千米”用于表示较长的长度，如各种交通工具以及人步行1小时的路程一般都用千米作单位；长江大桥、高速公路等的长度一般用千米作单位。而一些较小的长度，像天安门城楼的高度等，一般不用千米作单位。二是利用“1千米=1000米”进行长度单位之间的简单换算，如，4千米是多少米、3000米是几千米等，也能加强对1千米的认识。三是在100米跑道上走一走，数数是多少步，看看用多少时间，由此推算走1千米大约有多少步，大约要多长时间，换一些数量来感受1千米的长度。（二）创设学习“吨”的情境，帮助学生体会1吨有多重“吨”是较大的质量单位，1吨的物体很重。学生认识吨，不可能像体验1克、1千克那样直接拎一拎、掂一掂，也不能像感知1千米那样直接看到，只能间接体会。例2教学吨，创设需要用“吨”为计量单位的现实情境，以三幅照片为背景引出“吨”。港口码头上有大量货物等待运走，集装箱里的东西靠升降机搬运，一列火车的车厢里能装许多物品。这些货物很多、很重，如果用“千克”为单位计量十分麻烦。教材及时指出“称比较重的或大宗的物品，通常用吨作单位。”让学生在首次接受“吨”的时候，就知道它是较大的质量单位，是人们计量物重所创造的单位。例题接着创设1吨有多重的情境。图画呈现10袋大米，每袋100千克，在这些大米下面用括线表示一共重1000千克。解释图意的一段文字叙述，让学生明白“10个100千克是1000千克，1000千克是1吨”。既揭示了1吨的概念，也表达了吨与千克之间的进率。例题还创设体验1吨有多重的活动情境。教材充分考虑到学生体会1吨是相当困难的，在“想想做做”里收集了一些现实的素材，帮助他们积累对1吨的感性认识。这些素材有：2头牛大约重1吨、5大桶油大约重1吨、10头肥猪大约重1吨、20袋水泥重1吨。让学生借助这些常见的、熟悉的素材，感知1吨有多重，丰富对1吨的体验。教材还让学生从1桶水大约10千克，推算出100桶水大约1吨；从1块轻质砖大约重20千克，推算出50块轻质砖大约重1吨。加强1吨是1000千克的认识，并利用可以想象的100桶水、50块砖体会1吨有多重。学生只要在这些素材中记住一、两件，他们的认知结构里就保存了对1吨的认识。（三）结合解决实际问题，进一步体验“千米”和“吨”的实际应用，并进行简单的计算或估计练习三里编排了一些计算路程或物重的实际问题。如，从体育场经过学校到少年宫一共要走多少千米？生产5吨石油需要用多少吨水。有些是一步计算的问题，有些是两步计算的问题，学生解答这些问题不会有大的困难。教学要注意的是，个别问题不必算出精确得数，通过估算就能解决。如第5题，用一辆载重4吨的汽车运5台机器，每台机器重792千克，能够一次运完吗？教材安排学生“口答”，就是希望他们利用估算解答。教材还编排了调查和实验的活动，如第8题，了解黑龙江、黄河、长江、珠江的长度；第9题按自己走1千米所用的步数或时间，走出大约1千米长的路程，看从学校门口到哪里大约1千米。这些培养数学活动能力的题目，切不可忽视。【第三单元解决问题的策略】三年级上册解决问题的策略教学了“从条件向问题”的推理，本单元教学的解决问题策略是“从问题向条件”的推理。条件到问题的推理从已知条件入手，有条理地研究条件之间的联系，并利用已知条件及其相互关系，陆续得出新的数量，逐渐向所求问题逼近。某种程度上说，条件之间的联系具有较大的开放性，因为根据两个相关联的已知条件，能够算出一个或几个数量。如，已知男同学20人，女同学5人，可以得到男、女同学一共25人，男同学比女同学多15人，男同学人数是女同学的4倍……得到的这些数量中，某一个可能是解决稍复杂问题所需要的数量。所以说，研究并挖掘条件之间的联系，是为解决问题寻找新的资源。问题到条件的推理从所求问题入手，研究解决这个问题需要知道哪些条件，这些条件是否已经具备。如果某个需要的条件暂时还不具备，就想方设法先求出它。像这样沟通问题与条件之间的联系，逐渐向实际问题里的已知条件靠拢，也是积聚解决问题所需要的资源。从问题向条件的推理往往具有针对性，如，求男、女同学一共多少人，一般用男同学人数加女同学人数，需要知道男、女同学各有多少人。又如，求上衣比裤子贵多少元，一般用上衣价钱减裤子价钱，需要知道上衣的价钱和裤子的价钱。所以说，从问题向条件的推理，能够较快地理出解决问题的线索与步骤，是解决问题经常使用的一种策略。从条件向问题推理与从问题向条件推理，都是数量关系的推理。虽然它们的推理起点不同、方向相反，却在解决问题时相辅相成、结合着运用，都是常用的思考策略。尤其在解答三步或更多步计算的实际问题时，如果既考虑已知条件之间的关联性，又考虑所求问题与需要条件之间的必要性，能有效地“化简”复杂的问题。如解答这样的实际问题：每袋大米重75千克，每袋面粉重25千克，一辆载重量5吨的卡车装了40袋大米以后，还能装多少袋面粉？如果从条件想起，根据“每袋大米75千克”和“装了40袋”，能够算出“装了3000千克大米”；如果从问题想起，根据所求问题的数量关系“还能装面粉的袋数＝还能装面粉的千克数÷每袋面粉的千克数”，得出需要先算“还能装多少千克面粉”。这样，解答原来的实际问题就聚焦为“一辆载重5吨的卡车，已经装了3000千克大米，还能装多少千克面粉？”这是一道一步计算的问题，很容易解决。本单元编排两道例题和一个练习，具体安排如下表：例1初步体会从问题出发的推理过程，解决有三个已知条件的、求还剩多少的两步计算问题例2应用从问题向条件的推理，解决只有两个已知条件的、求一共多少或相差多少的两步计算问题从表格里可以看到，教材编排遵循“策略”的教学规律，让学生在解决实际问题的活动中学习策略；先体验策略，再运用策略，逐步达到掌握策略的目的。教材主要编排求一共多少、还剩多少、相差多少的两步计算问题，是因为这些问题的数量关系适宜从问题出发进行推理，学生很熟悉这些数量关系，有助于他们初步学会从问题向条件推理的思考方法，进而形成思路、掌握策略。（一）首次教学从问题向条件的推理，加强对学生引领的力度，凸显思路的特点和方法例1第一次教学从问题出发的思考，用图画分别给出两套不同的运动服价钱130元和148元，两顶不同帽子的价钱16元和24元，两双不同运动鞋的价钱85元和108元。创设的问题情境是“带300元钱，买一套运动服和一双运动鞋，最多能剩下多少元？”实际问题给出的已知数据很多，如果仍然从条件出发向所求问题推理，能够提出许许多多问题，而大多数问题都不是解决实际问题所需要的中间问题。所以说，使用条件向问题的推理来解决这个实际问题，效率很低，应该更新思路，换一个角度，换一条线索来分析数量关系。从问题向条件推理，所求问题是推理的切入口，已知条件是推理的归宿。首先要找到所求问题，并正确理解问题的含义；接着要分析所求问题的数量关系，依据数量关系式确认需要的条件，确定应该先算出的中间问题；然后才能列式计算，检验得数，给出答案。例1按照人们解决问题的一般过程，把例题的教学设计成四个板块：找到并理解问题、分析问题的数量关系、列算式解答、回顾反思解题过程。1.正确理解“最多剩下多少元”的含义。学生已经知道，买东西的时候，如果付出的钱多于物品的价钱，应该找回一些钱（即剩下一些钱），其数量关系是“剩下的钱＝付出的钱－物品的价钱”。例题要求“最多剩下多少钱”，这里为什么用“最多”这个词？怎样使剩下的钱最多？都是理解题意必须弄清楚的。教材问学生“你是怎样理解最多剩下多少元的？”引导他们联系生活经验思考：买不同价钱的物品，需要的钱数不同。如果买价钱便宜的物品，需要的钱少；买价钱贵的物品，需要的钱则多。如果付出同样的钱，买价钱便宜的物品，剩下的钱多；买价钱贵的物品，剩下的钱少。于是明白，解答“最多剩下多少元”这个问题，要购买价钱比较便宜的运动服和运动鞋。应该看到，学生的生活经验里具有上述的认识，课堂上只要组织他们围绕“最多剩下多少元”的含义展开讨论，就能提取已有经验，正确理解问题。在理解“最多剩下多少元”的含义，确认购买比较便宜的运动服和运动鞋以后，例题就变成“小明和爸爸带300元钱，买一套价钱130元的运动服和一双价钱85元的运动鞋，还剩下多少元？”这是一道有三个已知条件的两步计算问题，大多数学生都能够解答。形成的这道两步计算问题，排除了原来情境里的无关信息，只保留需要的三个已知条件。可见，从问题出发的推理，具有明显的针对性，解题效率就体现在这里。2.凸显“从问题出发”的推理特点与方法，联系已有知识经验，设计解决问题的步骤。从问题向条件推理的基本线索是所求问题的数量关系，在数量关系式上确认需要的条件，设计解决问题的步骤。教材鼓励学生“根据问题说出数量之间的关系”，联系购物的经验，得出数量关系式“剩下的钱=付出的钱-用去的钱”。在这个数量关系式上，付出300元已经知道，用去的钱还不知道，于是形成先算“买一套运动服和一双运动鞋需要多少元”，再算“付300元应该剩下多少元”的解题思路与步骤。求剩下多少元通常有两种算法，一种算法是上面已经形成的，所带的钱减运动服与运动鞋价钱的总数，得到剩下的钱。另一种是所带的钱先减运动服的钱，再减运动鞋的钱，得到剩下的钱。大多数学生会选择前一种解法，教材也希望学生采用前一种解法，因为这种解法完全符合新授的策略。如果有人提出后一种解法，当然是可以的。但不必提倡，更不必要求一题两解。3.变化题目，再次经历“理解问题—得出数量关系式—确定解题步骤”的过程。在解答“带300元钱买一套运动服和一双运动鞋，最多剩下多少元”以后，教材接着安排“想一想”：买3顶帽子，付出100元，最少找回多少元？这个问题是例题的变式。变化之一，由“最多剩下多少元”变成“最少找回多少元”，剩下的钱最多，用去的钱应该最少，购买的物品应该最便宜；找回的钱最少，用去的钱应该最多，购买的物品应该最贵。因此，在价钱分别是16元和24元的两种帽子中，应该选择价钱24元的那一种。变化之二，由“买两种物品，每种一件”变成“买3顶同一种帽子”，求一共多少元的问题由“两个不同数量的和”变成“3个相同数量的和”，算法也由加法变成乘法。教学“想一想”，应该引导学生体会并正确理解“最少找回多少元”的含义，从而选择相应的帽子，形成所求问题的数量关系式。让学生再次经历“理解问题”“从问题想起”以及“依据数量关系式设计解题步骤”等推理过程。4.回顾解决问题的过程，反复体验“从问题想起”的推理思路，初步感悟解决问题的策略。回顾与反思是积淀解决问题经验、形成解决问题策略不可缺少的环节。教学例1，其目的如果是得出结果，那么列式计算、检验得数就可以结束解题活动了。如果是通过例题培养解决问题的策略，那么应该引导学生认真回顾解题过程，反思思考的方法与要领，体验从问题向条件推理的切入口、基本线索和主要方法，学会从问题到条件的推理。例1在解决“最多剩下多少元”和“最少找回多少元”两个问题以后，安排学生回顾解决问题的过程，相互交流解决问题的体会。教学应该紧紧抓住从问题向条件推理的思路特点与思考方法，引导学生认真反思。说说解答例1和“想一想”这两个问题都是怎样想的，仔细体会“找到所求问题”是推理的起点，“列出与问题有关的数量关系式”是推理的基本线索，“寻找合适的条件和确定先算的中间问题”是推理的主要节点。组织回顾反思，还可以让学生说说“从问题向条件”的推理与“从条件向问题”的推理有什么不同，明白前者是根据条件提出问题，后者是根据问题列出数量关系式。体验解答例1和“想一想”如果从条件想起将会怎样，感受从问题想起的推理比从条件想起的推理更有针对性。配合例1的“想想做做”编排了4道题，帮助学生初步学会“从问题出发的推理”。教材的编写很有层次。第1题明确要求“根据问题说出数量关系式，并说说缺少什么条件”，规定了解题的思路。第2题由“白菜”卡通提出“要求足球组的人数，可以先算什么？”也明确了分析数量关系的要求。对初步应用从问题向条件推理的学生来说，提出这些要求，给予思路指点是十分必要的。第3题只是“豆荚”卡通提问“这两题都要先算什么？”，第4题则没有思路的提示了。教材希望学生在解答前两道题的基础上，自主应用新学习的思考方法解答后面两题，获得对新策略的亲身感受。（二）解答只有两个已知条件的两步计算实际问题，进一步体会从问题想起的好处例2已知一条裤子卖48元，一件上衣的价钱是裤子的3倍，求买一套衣服需要多少元。这是一道只有两个已知条件的两步计算问题，其中的一个已知条件（裤子的价钱）在解答时要使用两次。学生如果采用从条件向问题推理的线索思考，往往会把这道问题误解成一步计算的问题。如果采用从问题向条件推理的思考线索，思路会比较清楚，两步计算的步骤会比较明确。教材仍然按照“理解题意，找到问题列出问题的数量关系式，设计解答步骤列式计算，解答变式问题回顾反思所解答的题，积累解题经验”的顺序组织学习活动，在编写上有以下一些特点。1.利用线段图直观表示题意和数量关系。教材画出一条线段表示裤子的价钱48元，要求学生画出表示上衣价钱的线段，并在线段图上表示出所求问题。通过画图以及表示所求问题，学生能直观体验上衣价钱与裤子价钱的关系，明白上衣的价钱虽然不直接知道，但根据“上衣价钱是裤子的3倍”可以求得。在线段图上还能进一步看出所求问题“买一套衣服的钱”包括买一件上衣的钱和买一条裤子的钱，是上衣价钱与裤子价钱的总和。学生经过这些画图与思考，完全进入了问题情境，形成了有利于解题的氛围。2.侧重于常规解法。学生明白一套衣服是一件上衣和一条裤子以后，会把所求问题的数量关系列成“上衣价钱+裤子价钱=一套衣服价钱”，很自然地在数量关系式上确定先算一件上衣的价钱，再算一套衣服的价钱。例2还有一种解法：从上衣价钱是裤子的3倍，可以得出“一套衣服的价钱是裤子的4倍”（线段图上，裤子价钱看成1份，上衣价钱是这样的3份，一套衣服的价钱是这样的4份），列出算式“48×4”就能算出买一套衣服需要的钱。分析例2的数量关系，如果从条件想起，也许部分学生会想到后一种解法。现在从问题想起，绝大多数学生不会想到这种解法。教学应该注意，例2着重培养从问题到条件的推理策略，要突出前一种解法，如果没有学生提出后一种解法，则不必提及它。3.改变所求问题，仍然根据问题的数量关系式设计解答步骤。在解答“买一套衣服要多少元”以后，教材编排“想一想”，提出新的问题“买一件上衣比买一条裤子多用多少元”，要求学生独立思考和解答。教学“想一想”要注意两点：第一，在例2的线段图上找出表示上衣价钱比裤子价钱贵多少元的那一段，并看着线段图说出一道完整的实际问题“买一条裤子要48元，一件上衣的价钱是裤子的3倍。买一件上衣比买一条裤子多用多少元？”培养认真理解题意的习惯。第二，由于例2已经算出了一件上衣的价钱是144元，学生会直接通过“144-48=96（元）”得出上衣比裤子多的钱数。这就把原本是两步计算的问题当作一步计算问题解答了。虽然很快解决了问题，却削弱了从问题到条件的推理过程。所以要组织学生从所求问题“买一件上衣比买一条裤子多用多少元”出发，经历说出数量关系式以及确定解题步骤的完整过程，确保解题思路的教学扎实进行。4.比较例题和“想一想”，寻找它们的相同处和不同处。学生一般会对题目和解法进行比较。从题目看，例题和“想一想”的已知条件相同，都是“裤子价钱48元”与“上衣价钱是裤子的3倍”。所求问题不同，分别求“买一套衣服要多少元”与“上衣价钱比裤子贵多少元”。由于问题不同，相应的数量关系式就不同。从解法看，例题和“想一想”都分两步解答，它们的第一步计算相同，都是求一件上衣的价钱。第二步计算不同，分别用加法求总数与用减法求相差数。更为重要的是，解答例题和“想一想”采用了相同的思考策略。它们都从问题想起，都可先列出解决问题的数量关系式，都依据数量关系式确定解答步骤。一定要引导学生比出这些相同点，以加强对“从问题向条件推理”思路的体验。另外，解答例题和“想一想”，“裤子的价钱48元”都使用了两次，第一次用于求出一件上衣的价钱，第二次用于得出所求问题。学生看到这些相同点，就体会了只有两个已知条件的两步计算问题的特点。（三）编排必要的基础训练，帮助学生掌握解决问题的策略解决问题的策略要在练习中逐渐完善和稳定。教材编排的练习主要有两种类型，一是针对策略的特点而进行的专项训练，二是应用策略解答的两步计算问题。1.根据问题先说出数量关系式，再说说缺少什么条件。配合两道例题各编排一次“想想做做”，每次“想想做做”的第1题都是“根据问题先说出数量关系式，再说说缺少什么条件（或者说说要先算什么）”。如：例1的“想想做做”第1题“桃树有52棵，梨树有3行。桃树比梨树多多少棵？”所求问题的数量关系式是“桃树棵数-梨树棵数=桃树比梨树多的棵数”，桃树的棵数已经知道，梨树棵数还不知道。求梨树棵数的数量关系式是“每行的棵数×行数=梨树的棵数”，还缺少“梨树每行有几棵”。例2的“想想做做”第1题中的第（2）题用线段图给出“香蕉有60箱，苹果比香蕉多20箱。香蕉和苹果一共多少箱？”所求问题的数量关系式是“香蕉箱数+苹果箱数=香蕉和苹果一共多少箱”，香蕉的箱数已经知道，苹果的箱数还不知道。求苹果箱数的数量关系式是“香蕉箱数+苹果比香蕉多的箱数=苹果的箱数”，可以先求出苹果有多少箱。显然，上述的练习符合从问题向条件推理的特征，有助于学生形成从问题想起的思考习惯。教学时，还可以进行一些更加下位的基础训练，促进解题策略的形成。（1）给出两个有关的数量，把它们作为已知条件，提出一步计算的问题。如，根据小华做20面小旗，小方做5面小旗，经过一步计算能够得到什么？学生提出一步计算的问题，是联系四则计算的意义和常见数量关系，对已知条件进行信息再加工，他们掌握这样的思想方法并形成习惯，就会一边读题一边思考，一边理解题意一边分析数量关系，熟练展开从条件向问题的推理。低年级教学一步计算实际问题时，教科书里有根据条件提出问题或选择条件提出问题的练习编排，学生已经初步具有这些能力。教学两步计算实际问题时，还应该适当进行这些练习，把已有的知识技能提升成分析实际问题中数量关系的思想方法。（2）给出一个条件和一个问题，让学生说出所求问题的数量关系式，并补充缺少的那个条件。如，文艺书有100本，比科技书多多少本？根据“文艺书比科技书多多少本”能得出数量关系式“文艺书比科技书多的本数=文艺书本数-科技书本数”。在数量关系式上能够看出科技书的本数是缺少的条件，应该补充科技书的本数（小于100本）。这样的思考符合从问题向条件推理的特征，本单元应该着重练习求两个数量一共多少、求还剩下多少、求一个数比另一个数多（少）多少、求一个数是另一个数的几倍等四类问题的数量关系式，以后逐渐扩展到其他问题的数量关系式。2.利用“从问题想起”的推理分析两步计算问题的数量关系。在“想想做做”和练习四里编排了一些两步计算的问题，都适宜采用“从问题向条件推理”的思考方法。其编排目的在于促进学生初步掌握本单元教学的解决问题策略。这些实际问题不仅要求学生正确解答，更重要的是运用“从问题向条件推理”来分析数量关系，设计解题步骤。教学时应该采取多种形式（自己轻声说、同桌相互说、组内大家说等）让学生系统地思考，并交流想法。另外，还可以适当进行以下的训练。（1）给出一道两步计算的问题，解答以后把它改变成一步计算的问题。如，阳阳家去年上半年缴纳水费168元，下半年平均每月缴纳24元。去年全年一共缴纳水费多少元？这是一道两步计算的问题，因为求去年缴纳的水费，需要知道去年上半年和下半年各缴纳水费多少元，应该先算出下半年缴纳的水费（24×6=144元）。如果把这道题改变成一步计算的问题，应该直接已知下半年缴纳的水费，即“阳阳家去年上半年缴纳水费168元，下半年缴纳144元。去年全年一共缴纳水费多少元？”（2）给出一道一步计算的问题，解答以后把它改变成两步计算的问题。如，商店里原来有48个皮球，卖掉30个，还剩多少个？这是一步计算的问题，如果把“原来有48个皮球”改成“原来有4盒皮球，每盒12个”，或者把“卖掉30个”改成“上午卖掉16个，下午卖掉14个”，一步计算的问题就变成两步计算问题了。上述的把两步计算问题压缩成一步计算问题，或把一步计算问题扩展成两步计算问题，所求问题都保持不变，问题的数量关系也保持不变。只是数量关系式上的两个需要知道的条件，一会儿都已知，一会儿只已知一个，使实际问题一会儿只要一步计算，一会儿需要两步计算。这些训练把学生的注意都集中在所求问题及其数量关系式上，有助于学生体验从问题向条件推理的思考策略。【第四单元混合运算】在教学本单元内容之前，学生已经较好地掌握了加、减、乘、除四则计算，能进行连加、连减、加减混合，连乘、连除、乘除混合等同级的两步运算，还初步接触了乘加、乘减的计算。本单元教学混合运算，把计算题从加减或乘除的同级运算扩展到加（减）乘（除）不同级运算，要求学生体会并掌握运算顺序的知识，学会使用递等式表示运算过程与步骤，初步运用混合运算解答两步计算的实际问题。混合运算是对四则计算的综合应用，进行混合运算能够更好地掌握加、减、乘、除法的口算与笔算。进行混合运算，要认真分析算式里有哪些运算，要联想并遵循有关的运算顺序规定，要按运算顺序逐步计算，这些思考能够提高演绎推理的水平。解答两、三步计算的实际问题，可以分步列式计算，也可以列综合算式计算，如果列综合算式，就要进行四则混合运算，教学混合运算方便了解决实际问题。小学数学整数的混合运算以两步计算为主，一般不超过三步。两步计算的算式里通常只有两个运算，只应用一条运算顺序。三步计算的算式里通常有三个运算，进行第一步运算往往要同时兼顾两条运算顺序。显然，两步计算的混合运算比三步计算的混合运算容易得多。教科书考虑到三年级学生的实际水平，本单元只教学两步计算的混合运算。编排三道例题，具体安排如下表：例1乘法和加（减）法的混合运算例2除法和加（减）法的混合运算例3小括号的作用，含有小括号的混合运算从表格里可以看到，教科书把“算式中有乘除法，也有加减法，要先算乘除法，后算加减法”这一条运算顺序，分成“有乘法也有加减法”“有除法也有加减法”两段，各编排一道例题教学。这是因为本单元只涉及两步计算的混合运算，在含有不同级运算的式子里，只会是乘法与加法、乘法与减法、除法与加法、除法与减法四种情况，不可能既有乘法与除法，又有加法与减法。先编排乘法与加法或减法的混合运算，再编排除法与加法或减法的混合运算，降低了认知难度，能够方便教与学。在一个混合运算的算式里，如果加上小括号，就会改变算式原来的运算顺序。例3教学小括号的知识，既要学生认识小括号，知道其作用，又要学生体会含有小括号的混合运算的顺序，知道要先算小括号里面的运算。（一）联系解决实际问题，体会运算顺序运算顺序是进行四则混合运算应该遵循的规定，是人类在长期实践与计算活动中逐渐形成的共同规则。人们都遵循运算顺序，才能保障计算结果唯一且一致。为什么在有乘（除）法和加（减）法的混合运算中要先算乘（除）法？为什么要先算小括号里面的运算？教材让学生结合现实的素材体会运算顺序的合理性。这就是把运算顺序的教学与列综合算式解决实际问题的教学相结合的主要原因。教学运算顺序的三道例题，设计了不同的教学方法。1.例1的教学方法是先唤醒已有经验，再扩大外延，在同一类型的多种具体现象中抽取共同的特征，这就是教学的运算顺序例题先分步解答“买3本笔记本和1个书包一共用去多少元”这个实际问题，再列出综合算式5×3+20，这是学生在二年级上册已经接触过的“乘加”，他们已经有“先算乘法”的经验。教材及时指导学生用递等式按步骤计算，写出两步计算的过程，初步感受运算顺序。例题接着解决“买2盒水彩笔，付出50元，应该找回多少元”这个实际问题，直接列出综合算式50-15×2，让学生结合实际问题想到要先算2盒水彩笔的钱，从而体验这个算式要先算乘法。例题要求学生用递等式写出混合运算的步骤，亲自践行“先算乘法、后算减法”的运算顺序。例题总结5×3+20和50-15×2的运算顺序，得出“算式中有乘法和加、减法，应先算乘法”的规律，这是例1所教学的运算顺序。从上面的分析可以看到，运算顺序是例题的教学重点，列综合算式与用递等式计算是与运算顺序有关的两个知识点，而且是教学难点。有关综合算式的教学在后面说明，这里只说递等式计算。综合算式要按运算顺序分步计算，含有两个运算符号的算式一般分两步计算。递等式的第一步先进行一个运算，并写出这一个运算的得数，暂时不进行的另一个计算照原来样子写下来。学生初学递等式会显得不太习惯，并出现一些错误。为此，可以在综合算式里先进行的那步运算的下面画一条横线，并把得数写在横线下面。至于综合算式里没有画横线的运算，照样子写在原来的位置上。如：5×3+2050-15×2=15+20=50-30=35=20教材考虑到学生独立书写递等式的困难，所以“想想做做”第1题在递等式中留出一些方框，让学生在方框里填数，“扶”着他们写出递等式。第2题罗列了写递等式的一些常见错误，让学生识别并改正，帮助他们掌握递等式的写法。2.例2仍然按照“解决实际问题—计算数学式子—概括运算顺序”的线索教学，给学生的活动空间比例1大。已知一个订书机12元，一盒钢笔有5支，每盒40元。求买一支钢笔和一个订书机一共应付多少元。根据所求问题的数量关系式列综合算式，可以写成40÷5+12，可以写成12+40÷5。两个算式虽然不完全相同，但都要先算一支钢笔的价钱，即先算式子里的“40÷5”。比较这两个综合算式，都有加法和除法，无论除法在加法的前面还是在加法的后面，都需要先算一支钢笔的价钱。这就表明，算式里有加法和除法，应该先算除法。“试一试”求“1盒水彩笔比一支钢笔贵多少元”，列出的综合算式“15-40÷5”里有除法和减法，为了先求出一支钢笔的价钱，应该先算除法。概括例题和“试一试”里的运算顺序，可以得出“算式中有除法和加、减法，应先算除法”。上述的例题和“试一试”，呈现实际问题的情境以后，综合算式要学生列，运算顺序要学生体会，递等式要学生完成，给了学生较大的活动空间。由此得出的运算顺序就不是机械接受的知识，而是意义建构的数学认识。学生已经有用递等式表示运算顺序的经验，例题让他们完成两个综合算式的计算，注意到这两个综合算式都先算除法，但除法在综合算式里的位置不同，商应写的位置随之也不同。3.例3凸显新的认知矛盾，引出小括号，指出小括号的作用，形成含有小括号的算式的运算顺序。例3要解决的实际问题是“用50元钱买1个单价20元的书包，剩下的钱还能买几本单价5元的笔记本？”无论先分步解答，再合并成综合算式，还是直接列综合算式，学生都可能写成“50-20÷5”。这就出现了一个矛盾：解决实际问题需要先算买了1个书包后还剩下多少钱（即先算综合算式里的减法），而算式50-20÷5应该先算除法（已有的运算顺序）。怎样解决这个矛盾？教材告诉学生：“这里要先算减法，列综合算式必须添上小括号”，并把综合算式改写成“（50-20）÷5”。这句话既引出了小括号，又阐述了小括号的作用。因此，算式里有小括号时，应该先算括号里的运算。学生在认知冲突中意义接受了小括号的知识，体会到运算顺序是合理的规定。（二）在教学运算顺序的同时，教学列综合算式解答两步计算的实际问题过去，学生解答两步计算实际问题都分步列式。本单元列综合算式解答两步计算的实际问题，为教学运算顺序找到了载体，也进一步提高了学生解决实际问题的能力。况且，学生已经两次学习了解决问题的策略，既能够从条件向问题推理，也能够从问题向条件推理，具备了学习综合算式的条件。教材在教学综合算式时作了下面的安排。（1）初步体会。列解决实际问题的综合算式，一般有两种方法。一种是先列出分步解答的算式，通过“代入”，把分步算式合并成综合算式。另一种是根据所求问题的数量关系式，不经过分步解答，直接列出综合算式。解答例1的第一个问题，采用了分步算式合并成综合算式的方法，即把第一步求3本笔记本要多少元的算式“5×3”代替第二步算式里的“15”，形成求“一共用去多少元”的综合算式“5×3+20”。解答例1的第二个问题，采用了直接列出综合算式的方法。所求问题的数量关系式是“从50元里去掉2盒水彩笔的钱，就是应找回的钱”，其中2盒水彩笔的钱要通过“15×2”先算出来，综合算式列成“50-15×2”。解答第一个问题采用分步算式合并成综合算式，能够让学生体会什么是分步列式、什么是综合算式，感受列综合算式解决问题比分步列式快捷。解答第二个问题直接列出综合算式，希望学生学会这种方法，使用综合算式解答两步计算的实际问题。（2）逐渐学会。学生列综合算式不能长时间停留在先分步解答，再把分步算式合并的方法上。因为分步解答已经解决了实际问题，再列综合算式对解题就没有意义了。所以，要让学生学会直接列出综合算式的本领。例2以及“试一试”“想想做做”里，继续解答“求两个数一共多少”“求两个数相差多少”等两步计算的问题，都是学生比较熟悉的问题，他们能够顺利地说出所求问题的数量关系式，即能够找到直接列出综合算式的“参照物”。综合算式可以依据所求问题的数量关系式列出。在两步计算问题的数量关系式里，一般直接已知一个数量，间接给出另一个数量。直接已知的数量可以直接应用到综合算式里去，间接给出的数量可以用算式表示。教材突出列综合算式时应该依据问题的数量关系式，引导学生逐渐养成先思考所求问题的数量关系，再列出综合算式的习惯。例2里两个小卡通的交流“用1支钢笔的价钱加上一个订书机的价钱”“用1个订书机的价钱加上1支钢笔的价钱”，讲的都是所求问题的数量关系，是列出综合算式的依托。“试一试”和“想想做做”里的实际问题，都应要求学生直接列出综合算式解答。（3）学习思辨。例3的解题思路是先算出买书包后剩下的钱，再算剩下的钱还可以买几本笔记本，解决问题的数量关系是“剩下的钱÷笔记本的单价”。在算式50-20÷5里，有减法和除法，应该先算“20÷5”，与解决实际问题的步骤有矛盾。为了先算这个算式里的减法，需要在算式里添上括号，把减法那部分括起来，让它先算。这里就有对算式50-20÷5进行思辨的活动，在算式里添上小括号是思辨的结果。要重视这样的识别能力与习惯的培养。配合例3的“想想做做”第4题，买一件上衣要48元，买一条裤子要36元。买15套这样的衣服应付多少元？解答这个问题要先算出1套衣服的价钱，即先算出买1件上衣和1条裤子一共要的钱，再算买15套应付的钱。在综合算式里有加法和乘法，需要用小括号把加法那部分括起来，让它先算，这也是思辨的结果。对列出的综合算式进行必要的思辨，看算式的运算顺序是否与解决实际问题的步骤一致，能及时发现列式中的错误，保障算式正确，问题得到解决。（三）精心设计练习题，使全单元的教学效果更好通过本单元的教学，学生应该掌握的运算顺序有：没有括号的算式里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，要从左往右依次计算；没有括号的算式里，如果有乘法和加、减法，或者有除法和加、减法，要先算乘法，或者先算除法；有小括号的算式里，要先算括号里面的运算。应该把这些运算顺序组织成一个相对完整的结构，便于学生及时提取、正确应用。为此，教材里编排了一些计算题组，通过比较同一组题的不同之处，帮助学生选择相应的运算顺序，熟悉并全面掌握运算顺序。如：把32+3×20与32+3-20编成一组，把56-7×8与56÷7×8编成一组，每组的前一题有两级运算，要先算乘法，后一题只有同级运算，要从左往右计算。把17×3+20与17+3×20，编成一组，它们都有乘法和加法，都先算乘法。但乘法在算式里的位置不同，相乘的数不同，乘积不同，在递等式里书写的位置也不同。把90-40×2与（90-40）×2编成一组，360÷5+4与360÷（5+4）编成一组，480-180+60与480-（180+60）编成一组，每组的一题里有括号，要先算括号里的运算，另一题里没有括号，要按其他运算顺序计算。练习五综合三道例题教学的知识，编排的练习题可以分成两类。一类是再现性练习，让学生重温并巩固学习的运算顺序知识；另一类是发展性练习，适当拓宽知识面，重组认知结构，把学到的知识应用于新的问题情境。下面只讲发展性习题。1.渗透运算性质。小学数学教学的运算性质主要是减法性质和除法性质。减法性质指“一个数连续减去两个数，可以从这个数里减去两个减数的和”。如a-b-c=a-（b+c）。除法性质指“一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积”。如a÷b÷c=a÷（b×c）。小学数学教学运算性质的方法是“逐渐渗透”，让学生经常接触、反复体会、逐渐理解、逐步掌握。练习五第6题编排四个计算题组，其中180-36-44与180-（36+44）；159-（59+37）与159-59-37都是渗透减法性质。320÷4÷2与320÷（4×2）；72÷（2×3）与72÷2÷3都是渗透除法性质。所谓“渗透”，不是教材或教师直接告诉学生，而是学生在数学活动中自己感悟、自己体会。不急于让学生一下子就发现、理解和掌握，而是允许他们“慢慢来”，这次接触一下，下次再接触一下……经过多次接触才明白和学会。教学运算性质，可以让学生每次计算一个题组，比较同组两题的相同点和不同点；发现得数一样，体会其原因；用自己的语言说说两道题的联系，想想怎样把一道题变成另一道题。2.估计并比较混合运算的结果。练习五第7题要求“不计算”就比较两个算式的大小。分别是40×5+3与40×（5+3），162-24÷6与（162-24）÷6，137-75-25与137-（75-25）。从表面上看，同组的两个算式“大同小异”，算式里的数以及排列位置相同，它们的运算符号也相同。只是一个算式没有括号，另一个算式有括号。正是“小异”使两个算式的运算顺序不同，结果不同。让学生判断哪个算式的得数大、哪个算式的得数小，有两点作用：一是教育学生仔细审题，看清楚每一个数和运算符号，看清楚有没有括号，认真思考运算顺序，确定每一步的计算内容。二是促进学生开展判断与推理，发展数感。如，40×5+3是40乘5的积加3，而40×（5+3）是40乘8，显然，后者比较大。又如，137-75-25是137先减去75，再减去25，，而137-（75-25）是137减去50，应该是前者比较小。教学这道题要提醒学生不算出最后结果，而是通过比较两个算式的构成，估计它们的结果谁大、谁小。要让学生相互交流各自的思考，在整理和表述自己的想法时，数感会有所发展。3.列综合算式求长方形的周长。练习五第10题给出长方形的周长公式“长方形的周长=（长+宽）×2”。要求学生根据这个公式，列综合算式求长方形的周长。三年级上册教学长方形和正方形的周长时，只给出正方形周长计算公式，没有给出长方形周长计算公式。这是因为求正方形周长只要“边长×4