数学中考第二轮专题复习-15分类讨论型模拟试题

分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2022年黑龙江）王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）由DE∥FC得，，得FC＝24（m）S△ABC=eq\f(1,2)×40×24=480（m2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=eq\f(1,2)×64×24=768（m2）图1图1图2图2A说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。练习一1、（2022年资阳市）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（）A. B. C.或 D.a+b或a-b2．（2022年杭州）在右图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图中和下底面平行的直线有()(A)1条(B)2条(C)4条(D)8条3（2022年潍坊市）已知圆和圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆的半径为3cm，则圆的半径是（）．A．5cmB．11cmC．3cmD．5cm或11cm4.（2022年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为____________。5、（2022年金华）直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO＝EQ\F(2,3)S△COB，那么点M的坐标是.例题2（2022年金华）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2EQ\R(2).过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.（1）求tan∠ADE的值；（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H.设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切.问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。解：（1）∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝2EQ\R(2)，∴tan∠ADE＝EQ\F(AE,AD)＝EQ\F(2EQ\R(2),8)＝EQ\F(\R(2),4).（2）∵DE＝EQ\R(AD2＋AE2)＝EQ\R(82＋(2EQ\R(2))2)＝6EQ\R(2)，∴sin∠ADE＝EQ\F(AE,ED)＝EQ\F(2\R(2),6EQ\R(2))＝EQ\F(1,3)，cos∠ADE＝EQ\F(AD,ED)＝EQ\F(8,6\R(2))＝EQ\F(2EQ\R(2),3).在Rt△DGH中，∵GD＝x，∴DH＝DG·cos∠ADE＝EQ\F(2EQ\R(2),3)x，∴S△DGH＝EQ\F(1,2)DG·DH·sin∠ADE＝EQ\F(1,2)·x·EQ\F(2EQ\R(2),3)x·EQ\F(1,3)＝EQ\F(EQ\R(2),9)x2.∵S△AED＝EQ\F(1,2)AD·AE＝EQ\F(1,2)×8×2EQ\R(2)＝8EQ\R(2)，∴y＝S△AED－S△DGH＝8EQ\R(2)－EQ\F(EQ\R(2),9)x2，即y与x之间的函数关系式是y＝－EQ\F(EQ\R(2),9)x2＋8EQ\R(2).（3）满足条件的⊙O有4个.以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：∵AD∥FN，∴△AED∽△BEF.∴∠PFN＝∠ADE.∴sin∠PFN＝sin∠ADE＝EQ\F(1,3).∵AE＝2BE，∴△AED与△BEF的相似比为2∶1，∴EQ\F(AD,FB)＝EQ\F(1,2)，FB＝4.过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r.∵sin∠PFN＝EQ\F(OI,FO)＝EQ\F(r,4－r)＝EQ\F(1,3)，∴r＝1.（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。练习二1、（2022年河南）如图1，中，,,,点在边上，且.(1)动点在边上运动，且与点，均不重合，设=1\*GB3①设与的面积之比为，求与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；=2\*GB3②当取何值时，是等腰三角形？写出你的理由。（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？2．（2022年河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2eq\r(2)，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；⑵若以D为圆心、eq\f(1,2)为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。3、（2022年常州）已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．4、（2022年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?经过思考,甲同学给出如下画法:如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.根据以上信息,解决下列问题:(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.5、（2022年上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。(1)如图8，求证：△ADE∽△AEP；(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当BF＝1时，求线段AP的长.能力训练1、（2022年河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。2、（2022年锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法.注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.3．（2022年徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x=10时，S=______________.(2)当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；xFExFEGABCD(图13)不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！(图12)(图12)(D)EFCBAAABC(图14)AABC(图15)4、（2022年四川）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1，0)和B(x2，0)，与y轴的正半轴交于点C。如果x1、x2是方程x2―x―6=0的两个根(x1<x2)，且△ABC的面积为。(1)求此抛物线的解析式；(2)求直线AC和BC的方程；(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合)，过点P作直线y=m(m为常数)，与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。5．（2022年潍坊）抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,.（1）求二次函数的解析式；在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．···16、（2022年太原）如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，⊙C是△ABO的外接圆(O为坐标原点)，∠BAO的平分线交⊙C于点D，连接BD、OD。(1)求证：BD=AO；(2)在坐标轴上求点E，使得△ODE与△OAB相似；(3)设点A′在OAB上由O向B移动，但不与点O、B重合，记△OA′B的内心为I，点I随点A′的移动所经过的路程为l，求l的取值范围。7、（2022年大连）如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。y=－x＋2y=－x＋2ky=xOxy8、（2022年江苏）已知二次函数的图象如图所示。⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为，四边形NQAC的面积为，求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑷将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。答案：练习一1、C；2、C；3、D；14、65度或115度；5、（1，－6），（4，6）练习二1、2、⑴过点D作DE⊥BC于E，∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，又∵DC＝2eq\r(2)，∴EC＝eq\r(DC2－DE2)＝2∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3∴S四边形ABPD＝eq\f((AD＋BP)·AB,2)＝\f((1＋3－x)×2,2)＝4－x，即y＝－x＋4(0＜x＜3）⑵当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为eq\f(1,2)，∴①当⊙P与⊙D外切时，(x＋eq\f(1,2))2＝x2－4x＋8，解得x＝eq\f(31,20)此时四边形ABPD的面积y＝4－eq\f(31,20)＝eq\f(49,20)②当⊙P与⊙D内切时，(x＋eq\f(1,2))2＝x2－4x＋8，解得x＝eq\f(31,12)此时四边形ABPD的面积y＝4－eq\f(31,12)＝eq\f(17,12)∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为eq\f(49,20)或eq\f(17,12)3、（1）CD与⊙O相切。因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2=13，解得a=2，或a=-3（舍去）过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，所以，所以DE=，OE=，所以点D1的坐标是（-，）所以OD所在直线对应的函数表达式为y=②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，解得b=-2（舍去），或b=3过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，所以，所以OF=，DF=，所以点D2的坐标是（，-）所以OD所在直线对应的函数表达式为y=（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2-OG2=所以S=AB2=因为-1≤x≤1，所以S的最大值为，S的最小值为4、(1)的画法正确.因为PE∥AD,所以△MPE～△MNA,所以,而EM=2EA,所以MP:MN=2:3,因此点P是线段MN的一个三等分点.(2)能画出一个符合题目条件的直线,在EB上取M1,使EM1=AE,直线M1P就是满足条件的直线,图略;(3)若点P在线段A1C1上,能够画出符合题目条件的直线无数条,图略;(4)若点P在A1C1,A2C2,B1D1,B2D2上时,可以画出无数条符合条件的直线l;当点P在正方形A0B0C0D0内部时,不存在这样的直线l,使得点P是线段MN的三等分点;当点P在矩形ABB1D1,CDD2B2,A0D0D2D1,B0B1B2C0内部时,过点P可画出两条符合条件的直线l,使得点P是线段MN的三等分点.5、能力训练1、解：⑴略⑵①如图6，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA1D1D∵O是PQ中点，且OA∥QD，∴A1，A分别是PD1和PD中点∴A1A是△PD1D的中位线。又∵A1A，∴D1D而梯形AA1D1D的高OQ=10，∴∴②如图7，当10≤t≤15时，盲区是梯形A2B22C22D22，易知A2B2是△PC2D2的中位线，且A2B2=5，∴C2D2=10又∵梯形A2B2C2D2的高OQ=10，∴∴③如图8，当15≤t≤20时，盲区是梯形B3BCC3易知BB3是△PCC3的中位线且BB3又∵梯形B3BCC3的高OQ=10，∴∴④当5≤t≤10时，由一次函数的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；当15≤t≤20时，由一次函数的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0⑶通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75；③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到02、(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入，得y=10，∴A(0,10)∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入得，，∴x1=0,x2=8.∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10)∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入得，解得∴x1=-10，x2=18.∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).(2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，∴.设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴.设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.设MN=x时矩形MNPO的面积最大.∴PN=PC=OC-OP=18-x.∴S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：，；，；，；，；……不要求写出P点的坐标.④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；2．(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入，得y=10，∴A(0,10)∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入得，，∴x1=0,x2=8.∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10)∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入得，解得∴x1=-10，x2=18.∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).(2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，∴.设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴.设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.设MN=x时矩形MNPO的面积最大.∴PN=PC=OC-OP=18-x.∴S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.∴当x=9时，有最大值81.即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：，；，；，；，；……不要求写出P点的坐标.④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；3、4、5、解：（1）将代入，得．将，代入，得．……….(1)∵是对称轴，∴．(2)将（2）代入（1）得，．所以，二次函数得解析式是．（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式是，又对称轴为，∴点的坐标．（3）设、，所求圆的半径为r，则，…………….(1)∵对称轴为，∴．…………….(2)由（1）、（2）得：．……….(3)将代入解析式，得，………….(4)整理得：．由于r=±y，当时，，解得，，（舍去），当时，，解得，，（舍去）．所以圆的半径是或．6、7、解：存在。方法一：当x＝t时，y＝x＝t、当x＝t时，。∴E点的坐标为（t，），D点坐标为（t，t）。∵E在D的上方，∴，且t＜。∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。若t＞0，PE=DE时，。∴。∴P点坐标为（0，）。若t＞0，PD=DE时，，∴。∴P点坐标为（0，）。若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴。∴，∴DE的中点的坐标为（t，），∴P点坐标为（0，）。若t＜