第四章 微机保护算法

第四章微机保护算法1第一页，共四十四页，2022年，8月28日◆根据继电器动作方程进行判断电流、电压相量电流I电压U阻抗继电器动作方程阻抗继电器动作特性采样值保护算法特点：不计算出具体的阻抗值。3.衡量算法的指标◆算法的速度 ※算法所要求的采样点数（数据窗） ※算法的运算量◆算法的精度 精度与速度之间的关系： 精度↑数据窗长度增加，计算量↑◆算法的滤波性能研究算法的实质：如何在速度和精度两方面进行权衡2第二页，共四十四页，2022年，8月28日二、假定输入为正弦函数的算法

设i1、i2和u1、u2分别为两个相邻采样时刻tK和tK+1的采样值（tK+1=tK+△T），则有：基于如下假设：输入信号为纯正弦量，因此采用该类算法要获得比较理想的结果，必须与数字滤波器配合使用。1.两点乘积算法设输入信号为：◆求电流有效值I由（1）和（2）式可得：3第三页，共四十四页，2022年，8月28日由（1）和（5）式可得：◆求电压有效值U方法与求电流有效值相同，可求得：◆求阻抗（R、X）根据电流I和电压U求阻抗R、X的公式为：先求和，将式（1）～（4）两两相乘可得：4第四页，共四十四页，2022年，8月28日由式（10）和式（11）可求得：由式（13）、（14）可求得：由式（8）～（11）可进一步求得：即：由式（6）、（12）和（15）可求得：5第五页，共四十四页，2022年，8月28日◆特点

※数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）； ※算式较复杂。当时，公式可简化为：6第六页，共四十四页，2022年，8月28日2.导数算法设输入信号为：设t1时刻电流、电压信号的瞬时值为：◆求电流有效值I、电压有效值U对式（1）、（2）求导，可得：由式（1）～（4）可得：◆求阻抗（R、X）由式（1）、（2）可得：与“两点乘积算法”中的i2和u2的表达式：相比，可以发现：将和表达式中的用替代可得式（5）和（6）。7第七页，共四十四页，2022年，8月28日因此，将式（16）、（17）中的i2用替代，u2用替代，用替代，可得：◆求电流、电压信号的导数基本思想：用差分近似求导。下面以电流信号为例进行说明：

如下图所示，电流信号在t1时刻的采样值i1和导数值i1’可以用与t1时刻相邻的两个连续采样时刻tK和tK+1的采样值iK和iK+1近似计算，即：◆特点：※数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）；※求导数将放大高频分量；※差分近似求导数，要求有较高的采样频率。8第八页，共四十四页，2022年，8月28日3.半周积分算法

基本思想：一个正弦信号在任意半周内，其绝对值积分（求面积）为常数S。由上式可得：◆积分值S与积分起点的初相角无关

◆求面积S面积S可以采用梯形法近似求得：◆特点※数据窗长度为10ms；※具有一定的滤出高频分量的能力；※不能抑制直流分量；※适用于要求不高的电流、电压保护中，可以采用差分滤波器滤除信号中的非周期分量。9第九页，共四十四页，2022年，8月28日4.平均值、差分值的误差分析在实际应用中，常采用平均值代替瞬时值，用差分值近似代替微分，用梯形法则近似求积分。当输入信号为纯正弦信号时，用平均值可以求出准确的瞬时值，用差分也可以求出准确的微分值。设信号为：设x(t)的两个采样值为x(n)和x(n+1),有：①由平均求瞬时值结论：平均值[x(n)+x(n+1)]/2与瞬时值x(t)之间仅差一个系数，该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。对于单一纯正弦信号，由平均值求瞬时值的公式为：10第十页，共四十四页，2022年，8月28日②由差分值求微分值结论：差分值[x(n+1)-x(n)]/Ts与微分值dx(t)/dt之间仅差一个系数该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。对于单一纯正弦信号，由差分值求微分值的公式为：当ωTs足够小时，sin(ωTs/2)越接近于ωTs/2，Kc也越接近于1/Ts。11第十一页，共四十四页，2022年，8月28日三、突变量电流算法

1.基本原理线路发生故障时，短路如图（a）所示。对于系统结构不发生变化的线性系统，利用叠加原理可以得到（b）和（c）两个分解图。由叠加原理可得：故障后的测量电流负荷电流故障电流分量可求得故障电流分量为：对于正弦信号，在时间上间隔整周的两个瞬时值，其大小相等，即：T:工频信号的周期因此：在非故障阶段测量电流等于负荷电流，即：则故障分量电流为：短路前后的电流波形示意图12第十二页，共四十四页，2022年，8月28日故障分量电流的采样值计算公式为：◆当系统正常运行时，（1）式的输出为0；◆当系统刚发生故障的一周期内，（1）式输出的是纯故障分量；◆当负荷电流发生变化时，（1）式也有输出。因此（1）式反映的是电流的变化，称为电流“突变量”。当系统频率发生变化时，ik和ik-N对应电流波形的相位将有一个差值△θ，当k在电流过零附近时，由于电流变化较快，不大的△θ引起的不平横电流较大，因此常采用下式求突变量电流。说明：（2）式对应的突变量的存在时间不是20ms，而是40ms。如果由于频率偏移，造成ik和ik-N之间有一个相角差△θ，则ik-N和ik-2N的相角差也应基本相同，（2）式右侧中的两项可以部分抵消。因此采用（2）式可以补偿由于频率偏离产生的不平衡电流。13第十三页，共四十四页，2022年，8月28日2.频率变化的影响设一个工频周期的采样点数为N，分析电网实际频率偏离50Hz时对突变量计算公式（2）：的影响。以A相电流为例，设：（3）取最大值的条件是：14第十四页，共四十四页，2022年，8月28日按公式（1）：计算突变量受频率变化的影响为：按公式（1）和（2）计算突变量的最大相对误差如下表所示。f(Hz)最大相对误差484949.55050.55152（1）式的误差（%）25.0712.566.2806.2812.5625.07（2）式的误差（%）6.231.580.3900.391.586.23结论：采用公式（2）计算突变量时，系统频率变化的影响要小得多。15第十五页，共四十四页，2022年，8月28日四、傅里叶算法

N次谐波正弦项系数N次谐波余弦项系数基波角频率根据傅里叶级数和三角函数的正交性，可求出系数：因此，x(t)中的n次谐波分量可以表示为：1.基本原理

基本思想：假定被采样的模拟信号是一个周期性时间函数，可以通过傅里叶级数展开，表示为：同时，x(t)中的n次谐波分量又可以表示为：比较xn(t)的两个表达式可得：因此可以求n次谐波的幅值和相位：16第十六页，共四十四页，2022年，8月28日2.an和bn的特点分析从上式可以得出：采用傅氏算法求出的n次谐波分量xn(t)的正弦项系数an和bn是xn(t)的初始相角αn的函数。也就是说，an和bn的值与积分开始时刻xn(t)的相角有关。由于x(t)是周期函数，因此，可以得到计算an和bn的更一般的表达式为：上式中若t1=0，即假定取从故障开始起的一个周期来积分，当t1>0时，x(t+t1)将相对于时间坐标的零点向左平移，相当于积分从故障后t1开始。结论：an超前bn90°改变t1不会改变n次谐波分量的有效值，但初始相角会改变。17第十七页，共四十四页，2022年，8月28日 3.求阻抗（R、X） 设一个正弦信号为：因此，正弦信号x(t)可表示为向量形式：可表示为向量形式：x(t)的正弦项系数和余弦项系数为：将正弦电流、电压信号表示为向量形式：电阻、电抗计算公式为：18第十八页，共四十四页，2022年，8月28日4.离散傅里叶算法每工频周期采样N点，利用梯形法则可以求得：特点：◆数据窗为一个工频周期，即20ms；◆运算量大，N次乘法和加法；◆抑制恒定直流分量和整数次谐波分量。半波傅里叶算法的正弦项系数和余弦项系数的计算式为：特点：◆数据窗较短，为10ms；◆计算量较小，N/2次乘法和加法；◆不能滤除恒定直流分量和偶次谐波分量。19第十九页，共四十四页，2022年，8月28日5.递归式离散傅里叶算法 根据离散傅里叶算法的计算式，考虑n次谐波分量的正弦项系数在第个采样点处的计算式为：在第个采样点的计算式为：比较式（1）和（2）可得：同理可以求得n次谐波分量的余弦项系数的递推表达式为：特点：◆计算量小，每次只需要一次乘法和一次加减法运算；◆需要考虑累积误差对算法精度的影响。20第二十页，共四十四页，2022年，8月28日6.傅氏算法的滤波特性傅氏算法中，求正弦项系数和余弦项系数的公式如下：上式可表示为：其中PT(t)为门函数，定义为：因此，(1)式是x(t)与的互相关，(2)式是x(t)与的互相关。以(1)式为例：随着t1的增大，（a）的图形将不断的向左平移，对于每一个t1（1）式中的被积函数是图（a）和图（b）的乘积，其积分值是t1的函数。分析x(t)与的卷积，根据卷积的定义有：互相关的图解示意图积分结果是t1的函数21第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日因此，(1)式可以看成是输入信号x(t)经过一个冲激响应为的滤波器的输出。由于滤波器的冲激响应宽度为一周期T，所以要经过T延时后，其输出才能反应故障后的情况。从滤波特性上看，（1）式相当于一个50Hz的正弦带通滤波器。其滤波器特性如上图中的（d）所示。卷积的图解示意图用同样的方法可以证明：(2)式含有的滤波作用相当于将输入信号x(t)和卷积。相当于一个50Hz的余弦带通滤波器，特性如下图中的（b）所示。结论：（1）和（2）式能够完全滤除直流分量和所有的整数次谐波，对由于非周期分量引起的低频分量抑制能力较差。22第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日7.傅里叶算法举例电压：电流：⑴全波傅里叶算法①输入信号中无谐波分量23第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日电压：电流：②输入信号中有谐波分量24第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日电压：电流：⑵半波傅里叶算法①输入信号中无谐波分量时25第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日电压：电流：②输入信号中有谐波分量（2次和3次）时26第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日电压：电流：③输入信号中有谐波分量（3次）时27第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日8.衰减直流分量对傅氏算法的影响及补偿方法设输入信号为：λ=1/τ，τ为衰减时间常数设每周波采样N点，即采样间隔为Ts=T/N，则第m次采样值为：式中：因此，对上式两端在一周期内积分，用矩形积分近似，有：考虑到交流分量在一个周期内的积分为0，即，因此有：经过一个采样间隔后由（2）/（1）可得：因此根据采样值，利用（1）和（3）式，可以计算出衰减直流分量的初始值C和时间常数τ。28第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日考虑n次谐波分量的正弦项系数an在第m个采样点处的计算式为:故障信号中n次谐波的正弦项系数将带入上式，可得：因此可求得：同理可求得：因此，当衰减时间常数已知时，修正系数KA和KB可以离线求得。29第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日考虑n次谐波分量的正弦项系数an和余弦项系数bn在第m个采样点处的计算式为:an和bn在第m+1个采样点处的计算式为:下面分析an(m)、bn(m)、an(m+1)、bn(m+1)之间的关系：（6）式可变形为：①式②式30第三十页，共四十四页，2022年，8月28日因此，可得：同理，根据（7）式可求得：根据（10）、（11）式可以求得：31第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日两种递归算法仿真分析电压：电流：输入信号：递归算法二递归算法一递归算法二：递归算法一：32第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日计算阻抗电压：电流：输入信号：递归算法二递归算法一33第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日衰减直流分量的影响输入信号：算法二算法二时间常数已知的情况，r按下式计算：34第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日衰减直流分量的影响输入信号：算法二算法二时间常数未知的情况，r按下式计算：35第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日五、解微分方程算法1.基本原理对于一般的输电线路，在短路情况下，线路分布电容产生的影响主要表现为高频分量，采用低通滤波器将高频分量滤除，就可以忽略线路分布电容的影响，因此，输电线路等效为R-L模型。在短路时，下列方程成立，即：上式中：R1、L1分别为故障点至保护安装处线路段的正序电阻和电感；u、i为保护安装处的电压和电流。对于相间短路时，应采用u△和i△，如AB相间短路时，取为uab和ia-ib对于单相接地短路时，取相电压和相电流加零序补偿电流，以A相为例，（1）式可改写为：（2）式中，Kr、Kx分别为电阻和电感分量的零序补偿系数，可用下式求出：其中：r0、r1、L0、L1分别为输电线路每公里的零序和正序电阻和电感。36第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日D表示求得：2.短数据窗算法采用插值法可求得电流、电压信号在t1和t2时刻的值为：采用差分近似求导求得：以（1）式为例，两个不同采样时刻t1和t2分别测量u、i和，得到两个独立的方程：3.长数据窗算法采用插值法可求得电流、电压信号在t1和t2时刻的值为：采用差分近似求导求得：37第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日4.算法的稳定性分析实质就是分析R1和L1的计算公式会不会出现的情况。当在出口附近短路时，分子将趋近于0，因此，如果分母出现两个非常接近的数相减，就会出现的情况，从而导致算式的不稳定，出现很大的误差。为便于分析，假设电流和电流的导数都是正弦的，即：上式中：α1为t1时刻电流的相角，αD为电流的导数超前电流的角度，θ为t2滞后t1的角度。同理可求得：电压超前电流的角度◆对分母的分析从（1）式可以看出：分母的值与与t1时刻电流的相角α1无关；在相间短路时，电流的导数总是超前于电流90°，即αD=90°，带入（1）式可得：38第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日4.算法特点◆仅用于计算线路阻抗，应用于距离保护中；◆不受电网频率变化的影响；◆不需要滤除非周期分量；◆具有分布电容的长线路，将对算法产生误差；◆差分近似求导带来的误差。上式与两点乘积算法一样。因此，为了提高分母的数值，以便提高算法的稳定性，常采用长数据窗算法因此，θ越接近90°，分母的值越大。当θ=90°时，D1=ωi2，D2=-ωi1，有：◆对电感计算公式的分析电感L的计算公式中的分子为：当金属性短路时，φ≈90°，因此上式同分母一样，其值与α1无关。◆对电阻计算公式的分析电阻R的计算公式中的分子为：当金属性短路时，很小，可能出现两个相近的数相减。因此，电阻分量的计算相对误差一般要比电抗分量的误差大。39第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日五、最小二乘方算法假设故障时，电流信号中含有衰减直流分量和各次谐波分量，即i(t)可表示为：可用泰勒级数展开为：1.基本原理将输入信号y(t)与一个预设函数f(t)按最小二乘方（或称最小平方误差）的原理进行拟合。i(t)可表示为：对于每一个采样值都应满足上式，取的N个采样值可以得到N个方程，用矩阵表示为：40第四十页，共四十四页，2022年，8月28日表示为矩阵形式：当时，A为方阵，可求得：当时，A不是方阵，可求得：2.特点◆可任意选择预设函数的模型 ※可能获得很好的滤波性能和很高的精度； ※模型越复杂，则计算时间越长； ※利用一个预设模型，同时计算出各种所需的分量。◆算法的精度和计算时间与采样频率、数据窗的大小、时间参考点的合理选择有密切关系

41第四十一页，共四十四页，2022年，8月28日六、算法的特性及其选择1.算法的动态特性 输出结果随采样点数变化◆数据窗长度不满足算法的要求时◆数据窗