第四章环与域

第四章环与域第一页，共四十五页，2022年，8月28日环的定义与性质第二页，共四十五页，2022年，8月28日2)是半群;1)是交换群;3)可分配对定义是代数系统,若则称是环.第三页，共四十五页，2022年，8月28日如何验证一个二元代数系统是环?<R,+>构成交换群封闭性:x,yR,x+yR可结合性:

x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)R单位元:

eR,xR,x+e=e+x=x逆元:

xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=e可交换:

x,yR,x+y=y+xR<R,.>构成半群封闭性:

x,yR,x.yR可结合性:

x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)R.对+可分配x,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.zx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第四页，共四十五页，2022年，8月28日例1、，，都是环。是环。是模的整数环。其中表示模的加法和乘法，，。....第五页，共四十五页，2022年，8月28日符号的约定将环中关于加法的单位元记作0将环中关于乘法的单位元记作1对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x对任何环中的元素x,若x存在乘法逆元,则将它称为乘法逆元,记作x-1用x-y表示x+(-y)用nx表示x+x+…+x(n个x相加)用-xy表示xy的负元第六页，共四十五页，2022年，8月28日环的性质第七页，共四十五页，2022年，8月28日环的性质的证明定理1设<R,+,.>是环，则

1)aR,a0=0a=0证明:

a0=a(0+0)=a0+a0等式两面同时作用a0的加法逆元

(a0)-1=-(a0)得:0=a0同理可证0a=0第八页，共四十五页，2022年，8月28日环的性质的证明定理1设<R,+,.>是环，则

2)a,bR,(-a)b=a(-b)=-ab证明:(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0(-a)b是ab的加法逆元,因此(-a)b=-ab

a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0a(-b)是ab的加法逆元,因此a(-b)=-ab第九页，共四十五页，2022年，8月28日环的性质的证明定理1设<R,+,.>是环，则

3)a,b,cR,a(b-c)=ab-ac

(b-c)a=ba-ca证明:

a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac(b-c)a=(b+(-c))a=ba+(-c)a=ba+(-ca)=ba-ca第十页，共四十五页，2022年，8月28日环的性质的证明定理1设<R,+,.>是环，则4)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm

R,证明思路：只需证明(1)和(2)由(1)和(2)得第十一页，共四十五页，2022年，8月28日用数学归纳法证明当n=2时,由于环中乘法对加法满足分配律,等式成立当n=k时等式成立当n=k+1时第十二页，共四十五页，2022年，8月28日用数学归纳法证明当m=2时,由于环中乘法对加法满足分配律,等式成立当m=k时等式成立当m=k+1时第十三页，共四十五页，2022年，8月28日环中计算的例子在环中计算(a+b)3,

(a-b)2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)=a3+a2b+aba+ab2+ba2+bab+b2a+b3

第十四页，共四十五页，2022年，8月28日环中计算的例子在环中计算(a+b)3,(a-b)2(a-b)2=(a-b)

(a-b)=a2-ab-ba+(-b)2=a2-ab-ba+b2(-b)2=(-b)(-b)=-(b(-b))=-(-b2)=b2第十五页，共四十五页，2022年，8月28日子环和环同态定义子环真子环设R是环,S是R的非空子集,若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环若S为R的子环,且SR,则称S是R的真子环第十六页，共四十五页，2022年，8月28日如何验证一个二元代数系统是环?<R,+>构成交换群封闭性:x,yR,x+yR可结合性:

x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)R单位元:

eR,xR,x+e=e+x=x逆元:

xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=e可交换:

x,yR,x+y=y+xR<R,.>构成半群封闭性:

x,yR,x.yR可结合性:

x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)R.对+可分配x,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.zx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第十七页，共四十五页，2022年，8月28日子环的例子整数环<Z,+,.>,有理数环<Q,+,.>是实数环<R,+,.>的真子环<{0},+,.>和<R,+,.>是实数环<R,+,.>的平凡子环第十八页，共四十五页，2022年，8月28日子环判定定理定理2设R是环,S是R的非空子集若(1)a,bS,a-bS(2)a,bS,abS则S是R的子环第十九页，共四十五页，2022年，8月28日子环判定定理的证明证明:根据子群判定定理,由(1)知S关于环中的加法构成群由(2)知S关于环中的乘法封闭,又因为SR,R关于环中的乘法可结合,因此S也关于环中的乘法可结合,因此S关于环中的乘法构成半群.第二十页，共四十五页，2022年，8月28日子环判定的例子考虑整数环<Z,+,.>,对于任意给定的自然数n,nZ={nz|zZ}是Z的非空子集,nZ是否是Z的子环?nk1,nk2nZ,nk1-nk2=n(k1-k2)nZnk1,nk2nZ,nk1.nk2=n(k1nk2)nZ第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日环同态第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日环同态映射的例子

设R1=<Z,+,.>是整数环,R2=<Zn,,>是模n的整数环,:ZZn

(x)=xmodnx,yZ,(x+y)=(x+y)modn=(x)modn(y)modn=(x)

(y)(xy)=(xy)modn=(x)modn(y)modn=(x)(y)第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日整环与域第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日一些特殊的环交换环含幺环无零因子环整环第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日1)是交换群;是代数系统,若则称是交换环.3)可分配对2)是半群且可交换;一些特殊的环第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日2)是半群且有幺元;1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是含幺环.一些特殊的环第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日2)是半群且a,bR1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是无零因子环.一些特殊的环a.b=0a=0或b=0第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日2)是可交换独异点1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是整环.且无零因子;一些特殊的环第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日特殊环的例子整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环2Z={2z|zZ},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环,但不是含幺环和整环,因为12Z第三十页，共四十五页，2022年，8月28日特殊环的例子设n是大于等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环它是含幺环,因为包含乘法的单位元(单位矩阵)它不是交换环,因为矩阵乘法不可交换它不是无零因子环,n=2它不是整环第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日特殊环的例子Z6关于模6加法和乘法构成环它是交换环.它是含幺环.它不是无零因子环和整环,因为23=0,但是2和3都不是0,2和3都是零因子.第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日特殊环的例子Zn关于模n加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,则Zn是整环当且仅当n是素数Zn是整环n是素数用反证法:假设n不是素数,则存在两个因子s,t<n,s.t=n,这样就有st=0,则s,t是Zn中的零因子,Zn不是无零因子环,Zn不是整环,这与Zn是整环矛盾.第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日特殊环的例子Zn关于模n加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,则Zn是整环当且仅当n是素数Zn是整环n是素数用反证法:假设Zn是不整环,则Zn不是无零因子环,则存在两个零因子s,t<n,st=0,s.t=k.n,n|s.t,因为n是素数,因此有n|s或者n|t,这与s,t<n矛盾.第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日判断环是无零因子环的条件定理3设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律,即a,b,cR,a0有ab=acb=c;ba=cab=c;证明:a,b,cR,a0有ab=acab-ac=0

a(b-c)=0;R是无零因子环b-c=0b=c同理可证ba=cab=c;第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日判断环是无零因子环的条件定理3设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律,即a,b,cR,a0有ab=acb=c;ba=cab=c;证明:只需证明a,bR,a0,当ab=0时,b=0.以及当ba=0时,b=0.ab=0=a.0,由消去律知b=0ba=0=0.a,由消去律知b=0第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日环的直积设R1,R2是环,<a,b>,<c,d>R1R2令<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d><a,b>.<c,d>=<a.c,b.d>R1R2关于+和.运算构成一个环,称为环R1和R2的直积.第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日若R1和R2是交换环和含幺环,则R1

R2也是交换环和含幺环若R1和R2是无零因子环,则R1

R2不一定是无零因子环Z3和Z2是无零因子环,Z3Z2就不是无零因子环<2,0>.<0,1>=<0,0>,存在零因子<2,0>和<0,1>因此,整环的直积不一定是整环.第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日域的定义设R是整环,,且R中至少含有两个元素,若aR*=R-{0},都有元素a关于乘法的逆元素,则称R是域.第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日域的例子有理数集合Q,实数集合R,复数集合C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域.整数环Z只能构成整环,而不是域,因为5属于整数集合,但是5关于乘法的逆元素1/5不属于Z.第四十页，共四十五页，2022年，8月28日域的例子设n是素数,证明Zn是域证明思路:欲证Zn是域需证明3点(1)Zn是整环(2)Zn中至少含有2个元