第四章控制系统的传递函数

第四章控制系统的传递函数第一页，共三十八页，2022年，8月28日1.传递函数的概念传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分析与综合的重要数学工具。

因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的拉氏变换。定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。即

，特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)第二页，共三十八页，2022年，8月28日2.传递函数的性质①传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及性质无关；②传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数；③传递函数可以有量纲，也可以无量纲；④传递函数是s的有理分式；

一般地,传递函数的表达式为第三页，共三十八页，2022年，8月28日3.典型环节传递函数①比例环节系统总是由各种元件组成，不管这些元件的属性如何，只要其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元件按其运动方程的形式来分类，就得到各种不同的动态环节。这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P调节器。比例环节运动方程为xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为k为比例环节的增益或称为放大系数第四页，共三十八页，2022年，8月28日例1解求一对齿轮传动的传递函数最基本的运算放大器z1z2ni(t)no(t)∴G(s)=k例2eieoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i2k—

运算放大器的闭环增益第五页，共三十八页，2022年，8月28日②微分环节例3求图示微分电路的G(s)解凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节器。运动方程为因此传递函数为：UiUoi{微分环节不能单独存在。G(s)=TS第六页，共三十八页，2022年，8月28日③积分环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节器。运动方程为因此传递函数为：n(t)xo(t)D例4右图为一齿轮齿条传动机构。n(t)为输入转速，xo(t)为线位移。求该传动机构的传递函数。解：根据传动关系有但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则G(s)=T/S第七页，共三十八页，2022年，8月28日1、电阻元件U(s)=RI(s)ZR=R2、电感元件u(t)=Ri(t)3.电容元件ZC(s)=1/sCZL=Ls第八页，共三十八页，2022年，8月28日例5下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。解：uiuoRuci-+CUi(s)Uo(s)Ri-+Zc取拉氏变换第九页，共三十八页，2022年，8月28日④惯性环节凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。运动方程为因此传递函数为：K—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数例6求右图电路的G(s)。uiuoiRC解：如果Rcs»1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts第十页，共三十八页，2022年，8月28日例7下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。解：Ui(s)Uo(s)R1i-+ZuiuoR1R2-+CZ=R2∥Zc=R2∥1/cs=R2/(R2cs+1)第十一页，共三十八页，2022年，8月28日⑤二阶环节和振荡环节凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。运动方程为两边取拉氏变换得——环节的固有频率——环节的阻尼比其中，如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节第十二页，共三十八页，2022年，8月28日例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依动力平衡原理有{第十三页，共三十八页，2022年，8月28日

f(t)Xo(t){上例中，如果输入量为外力f(t),则系统的固有频率和阻尼系数为多少第十四页，共三十八页，2022年，8月28日⑥延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间τ，但不失真地反映输入量的环节。运动方程为xo(t)=xi(t-τ)t01xi(t)=1(t)t01t01注意延时环节和惯性环节的区别第十五页，共三十八页，2022年，8月28日①比例环节xo(t)=kxi(t)②微分环节G(s)=TS③积分环节G(s)=T/S④惯性环节⑤二阶环节和振荡环节xo(t)=xi(t-τ)⑥延时环节小节第十六页，共三十八页，2022年，8月28日求右图油缸-阻尼-弹簧系统的传递函数.其中，p为输入，xo为输出。解pcKxoA第十七页，共三十八页，2022年，8月28日LiRCuiuo求下图的传递函数ZLI(s)ZUi(S)Uo(S)ZL=LsZ=R//1/cs第十八页，共三十八页，2022年，8月28日1.复合环节概念单一典型环节组合2.复合环节传递函数复合环节，如PI调节器、PD调节器①

PD调节器G(s)=Ts+KT——时间常数，K——比例系数根据传递函数判断是何种调节器，并求出相应的参数。第十九页，共三十八页，2022年，8月28日例1

KCRUO(s)Ui(s)Uf(s)E(s)下图是由放大电路组成的PD调节器，求G(s)解第二十页，共三十八页，2022年，8月28日例2Ui(s)Uo(s)RiZmIf(s)auiuoRiR1iifaR2CubR1I(s)If(s)aR2CUb(s)Uo(s)第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日例3解比例积分环节组成的调节器。②

PI调节器T——时间常数，K——比例系数下图是由放大电路组成的PI调节器，求G(s)一般来说，采用调节器的控制系统，既能获得较高的静态精度，又具有较快的动态响应。ui(t)uo(t)RiR1aR2CUi(s)Uo(s)RiZmaZm=(R1+1/cs)∥R2请先行练习第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日比例、积分、微分环节组成的调节器。③

PID调节器R1uOuiR2C1C2ifiRiUi(s)Uo(s)RiZmaR1I(s)If(s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1例4下图是由放大电路组成的PID调节器，求G(s)第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日R1I(s)If(s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日PID控制的重要性比例-积分-微分控制规律是工业上最常用的控制规律。人们一般根据比例-积分-微分的英文缩写，将其简称为PID控制。即使在更为先进的控制规律广泛应用的今天，各种形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日1.传递函数框图的概念系统的动态结构图，即用来表达环节及其传递函数的方块图。下图表示一个框图单元。目的是为了说明一个环节在系统中的作用。2.绘制框图的要点方框内只允许填写传递函数G(s)；框图中的全部变量都是取了拉氏变换后的变量，要求大写；变量一般置于箭头的上方，箭头的指向表示信号的流向；框图的联接是按信号流向进行的，有串联、并联和反馈联接三种。G(s)Xi(s)Xo(s)第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日3.框图的联接串联设X1(s)=Xi(s)·G1(s),Xo(s)=X1(s)·G2(s)则用框图表示如下G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s)对于串联的传递函数Xo(s)=X1(s)·G2(s)=G1(s)·G2(s)·Xi(s)

∴G(s)=G1(s)·G2(s)如一个系统由n各环节串联而成，则系统的传递函数为第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日并联设X1(s)=Xi(s)·G1(s),X2(s)=Xi(s)·G2(s),Xo(s)=X1(s)±X2(s)则用框图表示如下Xo(s)=X1(s)±X2(s)=Xi(s)·G1(s)±Xi(s)·G2(s)=

[G1(s)±G2(s)]Xi(s)对于并联的传递函数∴G(s)=G1(s)±

G2(s)G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s)X2(s)±如一个系统由n各环节并联而成，则系统的传递函数为各环节传递函数的代数和。若把并联处都看成相加，则第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日反馈联接反馈联接框图如下图所示E(s)=Xi(s)±B(s)Xo(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)Xo(s)由图可知所以对于该闭环系统，传递函数为：“-”表示正反馈，“+”表示负反馈控制系统中主要采用负反馈，则G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)±+B(s)A单位负反馈第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)±+B(s)如果在点处将反馈回路切断，则得到以E(s)为输入，B(s)为输出的传递函数Gk(s)，称之为闭环系统的开环传递函数。Gk(s)

=H(s)G(s)Gb(s)Xi(s)Xo(s)A第三十页，共三十八页，2022年，8月28日4.框图的变换与化简框图的变换分支点移动规则G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日相加点移动规则G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±作上述变换后，原来的输入和输出都不变，变换前后的系统框图应等效。第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日框图的化简

规则为了计算和研究方便，常要把框图化简。框图化简，主要是依据基本的串联、并联和反馈联接进行。但若有回路交叉，必须先进行移位，消除交叉。框图的化简与中间变量无关当有多个输入量的线性系统时，可按叠加原理进行化简当进行相加点移位时，必须保证各分支点处原来的信号值不变当进行分支点移位时，必须保证各相加点处原来的反馈信号值不变第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日例1G1G2G3H2H1Xi(s)Xo(s)+-+++-化简框图，求Gb(s)G1G2G3H1Xi(s)Xo(s)+-+++-第三