第二章连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析第一页，共五十页，2022年，8月28日§1微分算子及其特性定义则：对于算子方程：其含义是：第二页，共五十页，2022年，8月28日微分算子的主要特性微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：但：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但简单的如：但第三页，共五十页，2022年，8月28日微分算子的主要特性转移算子：H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：若：，则系统的自然频率(特征根)：的根为系统的自然频率或特征根。算子阻抗：对电感：Lp——算子阻抗对电容：

——算子阻抗引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。第四页，共五十页，2022年，8月28日例1列出电路的微分方程，变量为

i2。解：网孔方程为：故，微分方程为：第五页，共五十页，2022年，8月28日例2求如图所示电路的转移算子：解：用节点方程可求得：第六页，共五十页，2022年，8月28日§2微分方程的经典解法全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n阶方程有n个常数，可用个n初始值确定。为特征根第七页，共五十页，2022年，8月28日例1描述某线性非时变系统的方程为试求：当时的全解。解：(1)求齐次解，特征根为：(2)求特解：设特解为：将上式代入原微分方程，得：即：比较系数可得：解之：全解的通解为：将初始条件代入上式，得：自由响应强迫响应故，全解为：第八页，共五十页，2022年，8月28日全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应的求法与齐次解一样为特征根由初始值确定零状态响应的求法与求非齐次方程一样为特征根由零状态初始值确定第九页，共五十页，2022年，8月28日例2描述某线性非时变系统的方程为试求：当时的零输入响应和零状态响应。解：(1)零输入响应，特征根为：(2)零状态响应：特解求法同例1，将初始条件代入上式，得：代入初始值，得解得第十页，共五十页，2022年，8月28日齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程：D(p)=0零输入响应的一般形式设系统为零输入e(t)=0时，即D(p)r(t)=0若无重根：若有K阶重根，即：

第十一页，共五十页，2022年，8月28日例3已知系统的转移算子，初始条件为,试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。解：令得：代入初值得：解得：故：第十二页，共五十页，2022年，8月28日例4已知系统的转移算子，初始条件为,试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。解：令得：代入初值得：解得：第十三页，共五十页，2022年，8月28日关于初始状态的讨论0－状态和0＋状态0－状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。各种响应用初始值确定积分常数的区别在经典法求全响应的积分常数时，用的是0＋状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是0＋状态初始值，这时的零状态是指0－状态为零。第十四页，共五十页，2022年，8月28日关于初始状态的讨论从0－状态到0＋状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到

0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。0＋状态的确定已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。见有关参考资料。求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。第十五页，共五十页，2022年，8月28日课堂练习题2-1已知系统的微分方程为，且初始条件为y(0)=3和y’(0)=4。求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。第十六页，共五十页，2022年，8月28日§3冲激响应和阶跃响应冲激响应的求法

直接求解法

间接求解法转移算子法

阶跃响应的求法是冲激响应的积分

第十七页，共五十页，2022年，8月28日冲激响应

直接求解法

输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为冲激响应。用h(t)表示。若一阶系统为冲激响应为：t>0+后冲激响应与零输入响应的形式相同将h(t)代入原方程：即：故：若一阶系统为冲激响应为：比较系数：故：第十八页，共五十页，2022年，8月28日冲激响应

直接求解法对于n阶系统为当n>m时：当n=m时：当n<m时：第十九页，共五十页，2022年，8月28日冲激响应

间接求解法对于n阶系统：其响应记为h0(t)，则：含有(t)各项为有限值由于是因果系统，即在冲激信号未作用之前不会有响应由于：故得初始值：根据线性系统非时变特性：从而可求出冲激响应h(t)。第二十页，共五十页，2022年，8月28日冲激响应

转移算子求解法对于n阶系统(无重根情况)：冲激响应还可以用拉普拉斯变换的方法求得。当n>m时：当nm时：再按部分分式展开。第二十一页，共五十页，2022年，8月28日阶跃响应

输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，称为阶跃响应。用r

(t)表示。阶跃响应的形式阶跃响应与冲激响应的关系：对于n阶系统：特解为 ，齐次解的确定与冲激响应类似。当n<m时：r

(t)中含有t，确定方法与冲激响应类似。当nm时：第二十二页，共五十页，2022年，8月28日例1

方法一：用直接求解法

已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)。解：先求出方程的特征根：冲激响应的形式为：对上式求导，得：将上述三个等式及代入原微分方程，经整理比较方程两边系数，解得：故，系统的冲激响应为：此例说明了用直接法的步骤：确定冲激响应的形式；将冲激响应代入原方程，用待定系数法确定其系数。第二十三页，共五十页，2022年，8月28日例1

方法二：用间接求解法

已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)。解：先求出方程的特征根：设t单独作用时的冲激响应：故，系统的冲激响应为：其初始值为：代入上式有：解得：此例说明了用间接法的步骤：确定单输入t的冲激响应ho(t)；利用线性时不变特性求h(t)。第二十四页，共五十页，2022年，8月28日例1

方法三：用转移算子法

已知系统的微分方程为试求其冲激响应h(t)。解：先求出方程的特征根：转移算子为故，系统的冲激响应为此例说明了用转移算子法的步骤：确定系统的转移算子H(p)；用部分分式法展开(有理化后)

写出冲激响应h(t)。第二十五页，共五十页，2022年，8月28日例2如图所示电路,以uS为输入,u2为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。解：系统转移算子为：电路的微分方程为：冲激响应为：阶跃响应为：第二十六页，共五十页，2022年，8月28日例3电路如图所示，电容C原已充电到3V，现通过强度为8(t)的冲激电流,则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量为______。(A)7V(B)4V(C)3V(D)-4V8(t)2F跃变量为：B第二十七页，共五十页，2022年，8月28日例4电路如图所示，C=0.1F,L=1H,R=2,在t=0时，电路处于零状态，则：iC(0+)=______A,iL(0+)=______A,iR(0+)=______A。故，有：-5从上式分析：uC有跃变，iL不可能跃变。对上式两边从0-到0+积分有：05(t)CLR第二十八页，共五十页，2022年，8月28日课堂练习题下一节求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。第二十九页，共五十页，2022年，8月28日§4卷积积分

(convolutionintegral)卷积积分的意义卷积积分的图解计算卷积积分的性质

第三十页，共五十页，2022年，8月28日卷积积分的意义用(t)表示任意信号对于任意信号为输入信号的零状态响应：即任意信号f(t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。也就是任意信号可以用函数(t)来表示。根据线性时不变系统的性质：H(p)卷积积分的定义：第三十一页，共五十页，2022年，8月28日卷积积分的图解计算

步骤

计算扫描卷积积分的图解法步骤：换元：t换成反折：将波形反折扫描：从左向右移动分时段：确定积分段定积分函数和积分限计算积分值；第三十二页，共五十页，2022年，8月28日例1计算

和没有公共的重叠部分，故卷积当即时：当即时：即为重叠部分的面积。当且即时：即为重叠部分的面积。第三十三页，共五十页，2022年，8月28日例2计算当即时：

和没有公共的重叠部分，故卷积当即时：即为重叠部分的面积。第三十四页，共五十页，2022年，8月28日例3计算当且即时：当时：当即时：第三十五页，共五十页，2022年，8月28日例3已知线性非时变系统的冲激响应，激励信号为。试求系统的零状态响应。解：系统零状态响应为：将e(t)反折，再扫描可确定积分上下限。第三十六页，共五十页，2022年，8月28日卷积积分的性质卷积的代数性质交换律：ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ2(t)ƒ1(t)分配：ƒ1(t)[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)ƒ2(t)+ƒ1(t)ƒ3(t)结合律：[ƒ1(t)ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)ƒ3(t)]卷积的微分与积分性质微分性质：积分性质：微积分性质：应用(1),(3)两个性质的条件是必须成立即必须有；否则不能应用。第三十七页，共五十页，2022年，8月28日卷积积分的性质时移性质若ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)，含有冲激函数的卷积ƒ(t)=ƒ(t)(t)，ƒ(t-t0)=ƒ(t)(t-t0)，ƒ(t)'(t)=ƒ'(t),ƒ(t)''(t)=ƒ"(t),与阶跃函数的卷积即：利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化，下面举例说明。第三十八页，共五十页，2022年，8月28日例4与冲激函数的卷积*=*=*=*=第三十九页，共五十页，2022年，8月28日例5利用卷积的微积分性质计算例１。第四十页，共五十页，2022年，8月28日§5线性系统的时域求解线性系统为r(t)=H(p)e(t)其中零输入响应零状态响应全响应第四十一页，共五十页，2022年，8月28日例1冲激响应为解：将转移算子按部分分式展开有：系统的转移算子为,已知，试求全响应。零输入响应：零状态响应：第四十二页，共五十页，2022年，8月28日例2已知某线性系统单位阶跃响应为