第四章 刚体的定轴转动

第四章刚体的定轴转动1第一页，共五十二页，2022年，8月28日刚体（rigidbody）：特殊的质点系在外力作用下，形状和体积不变化，理想化的模型。平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同，故刚体可简化为质点。上页下页退出返回§4.1刚体的运动2第二页，共五十二页，2022年，8月28日刚体的一般运动，都可看作是平动和转动的叠加，所以平动和转动可以描述所有质点的运动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称转动（rotation）；这一直线称转轴。上页下页退出返回3第三页，共五十二页，2022年，8月28日刚体的定轴转动上页下页退出返回4第四页，共五十二页，2022年，8月28日角加速度矢量速度加快时，角加速度和角速度同向，否则反向。为了充分反映刚体转动的快慢，引入角速度矢量，方向由以下关系确定上页下页退出返回4.2刚体的定轴转动（rotationaboutaffixedaxis）

viOωri定轴刚体zmiΔ5第五页，共五十二页，2022年，8月28日一、转动动能和转动惯量上页下页退出返回viOωri定轴刚体zmiΔ6第六页，共五十二页，2022年，8月28日为刚体对z轴的转动惯量Rotationalinertia转动惯量的计算J为标量dmrm上页下页退出返回与刚体的质量有关质量一定时与质量的分布有关，即与刚体的形状、大小、各部分的密度有关；与转轴的位置有关SI：㎏·㎡7第七页，共五十二页，2022年，8月28日二.常用的几个J均匀圆环：Jc=mR2；均匀圆盘：RmCCRmC上页下页退出返回8第八页，共五十二页，2022年，8月28日均匀杆：CAml2l2上页下页退出返回对C轴：对A轴：9第九页，共五十二页，2022年，8月28日三.计算J的几条规律1.对同一轴J具有可叠加性J=Jiå

Jmrziii=^åD22.平行轴定理Jmrmxyziiiiiii==+^ååDD222()DDmxmxxiiiiici22åå=+(')=++åååDDDmxxmxxmiiciiiicii''222=0xydcc222+=DmxyIiiiic('')22+=åJJmdc=+2\=JJcmin=mCdmICI平行上页下页退出返回10第十页，共五十二页，2022年，8月28日

3.对薄平板刚体的正交轴定理Jmrmxmyziiiiii==+^åååDDD222

例1：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìíî\==142即

JJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

圆盘RCm上页下页退出返回11第十一页，共五十二页，2022年，8月28日O力与力臂的乘积。FPdrr根据矢量乘积法则：用矢量方法表示力矩：单位：牛顿·米，N·m方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。4.3转动定律及应用举例一、力矩上页下页退出返回12第十二页，共五十二页，2022年，8月28日rFMM的方向垂直于r与F构成的平面。例2：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。上页下页退出返回13第十三页，共五十二页，2022年，8月28日解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，细杆的质量密度质元质量质元受阻力矩上页下页退出返回14第十四页，共五十二页，2022年，8月28日细杆受的阻力矩由细杆质量有上页下页退出返回15第十五页，共五十二页，2022年，8月28日1.第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。二、转动定律上页下页退出返回从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。写成等式2.第二定律16第十六页，共五十二页，2022年，8月28日与牛II比较：MFJma~~~ìíïîï\

J反映刚体转动的惯性上页下页退出返回在国际单位制下k=1刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。注意几点1.是矢量式2.具有瞬时性。17第十七页，共五十二页，2022年，8月28日1.确定研究对象。2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。三.解题方法及应用举例第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系----，从而求出M或F。上页下页退出返回18第十八页，共五十二页，2022年，8月28日例3：长为l、质量为m的细杆，初始时的角速度为0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间t后杆静止，求摩擦力矩M阻。解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：上页下页退出返回19第十九页，共五十二页，2022年，8月28日细杆绕一端的转动惯量则摩擦阻力矩为：上页下页退出返回20第二十页，共五十二页，2022年，8月28日第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况a和及F。例4：质量为m1和m2两个物体，跨在定滑轮上m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质量为M，求：m1下落的加速度，和绳子的张力T1、T2。T1T2上页下页退出返回21第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日解：受力分析以为研究对象（1）以为研究对象（2）以为研究对象（3）T1T2上页下页退出返回22第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日补充方程：（4）联立方程（1）---（4）求解得讨论：当M=0时上页下页退出返回23第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日第三类问题：已知运动情况和力矩M，求未知刚体转动惯量J。例5：测轮子的转动惯量

用一根轻绳缠绕在半径为R、质量为M的轮子上若干圈后，一端挂一质量为m的物体，从静止下落h用了时间t,求轮子的转动惯量J。h上页下页退出返回24第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日h以m为研究对象以M为研究对象物体从静止下落时满足补充方程：联立方程（1）----（4）求解得：上页下页退出返回25第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日4.4定轴转动中的功能关系一.力矩的功上页下页退出返回将F分解为切向力和法向力。刚体转过d,作用点的位移为ds,法向力Fn不作功，只有切向力作功，其中由功的定义26第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日上页下页退出返回对于恒力矩作功恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。由功率的定义：二、力矩的功率则27第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？由力矩的功定义：三、刚体绕定轴转动的动能定理其中力矩则功上页下页退出返回28第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。上页下页退出返回29第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日1.确定研究对象。2.受力分析，确定作功的力矩。3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4.列方程求解。例6：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。四、应用转动动能定理解题方法上页下页退出返回30第三十页，共五十二页，2022年，8月28日解：以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。重力矩作功：上页下页退出返回31第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日始末两态动能：由动能定理：上页下页退出返回32第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日五、物体系的机械能守恒定律当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。其中例7：如图所示的物体系中，倔强度系数为k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，质量为m的物体从静止开始下落,求下落h时物体的速度v。上页下页退出返回33第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日解：在物体m下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性0势点，物体下落h时为重力0势点。求解得上页下页退出返回34第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日一、冲量矩

在质点运动中介绍了冲量的概念----力对时间的累积效应。

在刚体转动中引入冲量矩的概念----力矩对时间的累积效应。冲量：冲量矩：单位：牛顿·米·秒（N·m·s）上页下页退出返回§4.5刚体的角动量和角动量守恒定律35第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日质点的动量定理由冲量矩定义：其中上页下页退出返回其中36第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日定义：为角动量，单位：千克米2/秒（kgm2/s）方向：与角速度方向一致。上页下页退出返回二、角动量37第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日对于质点也可引入角动量的概念。例如人造地球卫星绕地球转动质点的转动惯量为：则角动量定义注意上页下页退出返回其中r为质点到轴的距离38第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日角动量定理(动量矩定理)：刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。上页下页退出返回三、角动量定理(动量矩)39第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日四、角动量(动量矩)守恒定律质点系的动量守恒定律：当合外力为0时，动量守恒。时,当对于刚体所受的合外力矩为0时,又如何呢？由角动量定理：上页下页退出返回40第四十页，共五十二页，2022年，8月28日角动量(动量矩)守恒定律:当刚体受到的合外力矩为0时，刚体的角动量守恒。上页下页退出返回条件：当刚体受到的合外力矩为0时，1.角动量(动量矩)守恒定律41第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日②.对于非刚体，转动惯量J发生变化的物体，由于J=C，上页下页退出返回2.明确几点①.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度也为常数，=0即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。42第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日上页下页退出返回43第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日12例8：人与转盘的转动惯量J0=60kg·m2,伸臂时臂长为l1=1m，收臂时臂长为l2=0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度1=3s-1,求收臂时的角速度2。（人手臂收缩引起的角动量变化不计）上页下页退出返回44第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日12解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，J0=60kg·m2，l1=1m，l2=0.2m,m=5kg，

1

=3s-1上页下页退出返回45第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日由转动惯量的减小，角速度增加。在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。上页下页退出返回

1=3s-146第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。共同角速度例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为