中国传统数学成就

中国传统数学成就第1页/共36页2.1《周易》与中国传统数学《周易》是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期

,在古代中国众多的儒、道典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作。

“卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶

,“筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用蓍草,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”

《周易》由《易经》和《易传》两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与《周易》相联系。刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”

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《易经》中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“—”与“－－”表示阳爻和阴爻。构成八卦、六十四别卦研究认为，《周易》中爻的符号“—”、“－－”是由数字或数表演进而来的。理由是：其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六”分别表示阳爻和阴爻。其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前1066），就只有一和六这两个数字了。

学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“∧”，这样数“一”与“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“－－”的表示形式。

2.1.1从数(表)演进为爻

牛牛文库文档分享第3页/共36页四盘磨卜骨上的字符

太极八卦图

牛牛文库文档分享第4页/共36页2.1.2《周易》揲法——大衍演算

《周易》中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（1130~1200）对揲法的解说如下：

（1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根；（2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；（4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；（5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。

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将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（2）~（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或36，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。

牛牛文库文档分享第6页/共36页从中国古代的占筮工具和方法中，不难发现中国传统数学的历史渊源

“数学”一词相当于我国古代的“算术”

数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。

算筹中国古人称数学为算学

牛牛文库文档分享第7页/共36页2.1.3组合数学的思想——洛书与河图宋代的九宫格明代的洛书

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河图的解释，在历史上有多种说法。其中《尚书》中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”

图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同

“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”

牛牛文库文档分享第9页/共36页明代邵雍的易图数学结构

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儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的逻辑学为其论说的工具。孔子（前551~前479）的“六艺”中的“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要）是《九章算术》的雏形墨子（前468~前376）的抽象概念和逻辑知识：三个逻辑方法:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。惠施（约前370~前318）对无穷性质的认识：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“镟矢之疾有不行不止之时”。

2.2先秦显学中的数学思想

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公元1世纪至8世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家

2.3.1刘徽与《九章算术注》西汉年间，中国有了专门的数学著作：《许商算术》、《杜忠算术》、《算数书》和《九章算术》，其中前两部著作早已失传。

《算数书》，1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，算数书》是公元前206年－前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂。2.3中国传统数学理论的研究

牛牛文库文档分享第12页/共36页《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的《九章算术注》自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了《九章算术注》。

《九章算术》成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前200年）和大司农中丞耿寿昌（约前50年）的整理。

牛牛文库文档分享第13页/共36页第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据

《九章算术》是以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题。《九章算术》把246个问题分为九章：

牛牛文库文档分享第14页/共36页明代刊印的《九章算术注》

《九章算术》标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法《九章算术》的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。

牛牛文库文档分享第15页/共36页《九章算术注》对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定《九章算术注》丰富了《九章算术》的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

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设圆面积为S0、半径为r、圆内接正n边形边长为ln、周长为Ln、面积为Sn。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为l2n,L2n,S2n。刘徽首先指出，由ln及勾股定理可求出l2n

其次知道了圆内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：S2n<S0<S2n

+(S2n－Sn).割圆术的基本原理

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从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值π≈3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”

牛牛文库文档分享第18页/共36页2.3.2祖率与祖暅原理

祖冲之（429~500）与祖率据《随书·律历志》记载，祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592<π<3.1415927.（并称为朒、盈数）如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24576边形

牛牛文库文档分享第19页/共36页用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为π：4，于是由刘徽原理立即得到V球:V牟=π：4即

V球=（π/4）V牟。祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”

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“小方盖差”与球体积公式

左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2=r2

–h2;这正是截平面PQRS的面积

中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2－a2

=h2，

右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2

根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。

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内插法：已知f(x)在xi∈[a,b]（i=1,2,…,n）的值为，那么通过及适当公式，计算y=f(x)在[a,b]内其他一些点的函数值。如果xi+1－xi为定数，这时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。

历法编制中的内插法最早求影长的一次内插公式（约公元前2世纪）：

f(n)=f(a)+n△，其中，

f(n)是夏至之后的第ｎ个节气的影长，f(a)=160分，f(b)=1350分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长，2.3.3内插法与天文历法

牛牛文库文档分享第22页/共36页《乾象历》（206年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。公元570年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的时间要比秋分到春分的时间长，进而证明了太阳“视运动”的速度是不均匀的隋朝刘焯（544~610）的《皇极历》提出了等间距二次内插法公式：f(nl+s)=f(nl)++(△1－△2)－(△1－△2)张遂(683~727)的《大衍历》创造了不等间距二次内插法公式：

f(t+s)=f(t)+s+s－其中，l1、l2分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等

牛牛文库文档分享第23页/共36页“算经十书”记载的中国传统数学成就《周髀算经》（约公元前240年至公元前156年）与商高（陈子）定理

“周髀”是测量日影的工具—八尺长竿全书由三部分组成：第一部分共264个字，记述了周公与大夫商高的问答记录。提到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般陈述形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

第三部分是讲计算问题的，有“术”13条，书写形式和内容与《九章算术》基本一致。2.3.4明算学与“算经十书”

隋唐时期的数学教育制度

—明算学

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“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）这个问题源于历法编算中的求上元积年问题其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。.

计算过程为：N=70×2+21×3+15×2－2×105.显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法：

70=2×5×7≡1(mod3)≡0(mod5)≡0(mod7),21=3×7≡0(mod3)≡1(mod5)≡0(mod7),15=3×5≡0(mod3)≡0(mod5)≡1(mod7).由题设，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去乘70、21和15，再相加即得

233≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）求出这个同余组的最小整数解N=23，

《孙子算经》（约公元4世纪）与“孙子问题”

牛牛文库文档分享第25页/共36页《张邱建算经》（约公元五世纪）与“百鸡问题”

“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”

给出三组答案：

（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）

《张邱建算经》的应用领域较《九章算术》有了新的发展，其主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容

《缉古算经》（公元600多年）与“带从开方法”

对当时的土木工程中出现的数学问题的研究和总结，在一些体积计算中隐含了求解三次方程的“带从开方法”。虽然由于解法过程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首次。

牛牛文库文档分享第26页/共36页2.4.1杨辉三角与增乘开方法

杨辉（约13世纪后期）在《详解九章算法》中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（1655年）2.4中国传统数学发展的顶峰（900年到1368年）

创造出许多具有世界

历史意义的成就

数学家辈出

数学著作涌现

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若A开平方的首商、次商分别为a,b,则有A=a2+B=a2+2ab+b2

则B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b

继而用2a+b试除B,且若B－(2ab+b2)=0,则开方完成；否则再继续试第三位商，……。这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过程简述如下:

借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法

牛牛文库文档分享第28页/共36页a

*

a

aab*bb商实法AAB=A－a2*

BBBB－b(2a+b)*a*a*2a*2a2a+b*2a+b

借算

1111111①②③④⑤⑥⑦

将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由1组成，称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是1，称为偶算，它们是a的各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法

增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。增乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到这一点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。12世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再像以往那样要求首项系数为1。

牛牛文库文档分享第29页/共36页“大衍求一术”

为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数ri，即

ai=q1gi+r1,并可得到：c1=q1

gi=q2r1+r2,c2=q2c1+1

r1=q3r2+r3,c3=q3c2+c1

……

……

rn-2=qnrn-1+rn

秦九韶指出：当rn=1且n为偶数时，则最后所得cn

就是乘率ki；当rn=1，且n为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余数rn+1仍为1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时，整个计算结束

2.4.2秦九韶与中国剩余定理

秦九韶（1202~1261）与《数书九章》

高次方程数值解法—“正负开方术”（开10次方的问题）

一次同余组解法—“大衍总数术”（“衍”同“演”）

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元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法——天元术（李冶）与四元术（朱世杰）高阶等差级数和公式沈括（约1031~1095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式

数列：22，32，42，52，62，（1）该数列相邻项之差依次为

5，7，9，11，……

（2）显然（2）是一个公差为2的等差数列。今天（1）式被称为一个二阶等差数列

杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n）

=n（n＋1）（n＋2）/62.4.3方程与级数的研究

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廉数是斜行上数的和上一斜行各数之和，等于下行短线所指的一个数

左边第二斜行为1，2，3，4，5，6，7，8，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式）左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二阶等差数列，它的前n项和为（“三角垛”公式）

左边第四斜行为1，4，10，20，34，56，是三阶等差数列，它的前n项和为（“撤星形垛”公式）

朱世杰得到了p阶等差数列求和的一般公式，

=朱世杰的一般高阶等差级数公式及其应用

贾宪三角与等差级数公式

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