2020年浙江省高考数学模拟试卷

2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]2．（4分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（4分）设变量x，y满足约束条件x+y≥1，2x-y≤2，x-y+1≥0，则z＝（x﹣A．2 B．455 C．4 D4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A． B． C． D．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行 B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为π4C．PQ≥D．CD1与PQ不可能垂直7．（4分）已知0＜a＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξξ﹣101P13abA．E（ξ）增大 B．E（ξ）减小 C．E（ξ）先增后减 D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)=x2+4x+2，x≤0log2x，x＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2A．(-154，0] B．(-154，2] C．[﹣4，+9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γ B．α≤β，β≤γ C．α≥β，β≥γ D．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{an}满足an+1＝an2+2an﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得an≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线x2-y22=λ交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为74，则c＝15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|kP16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝23．若点M为边BC上的动点，则AM→•DM→的最小值为17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-π19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝42，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝47时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=abn，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝excosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f'(x)e2x恒成立（f'（x）是f（

2020年浙江省高考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．（4分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=2+3i∴z=3+2i故选：B．3．（4分）设变量x，y满足约束条件x+y≥1，2x-y≤2，x-y+1≥0，则z＝（x﹣A．2 B．455 C．4 D【解答】解：画出变量x，y满足约束条件x+y≥可发现z＝（x﹣3）2+y2的最小值是（3，0）到2x﹣y﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2故选：D．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin2α，sinα=±33，则cos2α=若sinα=33，则cos2α＝1﹣2sin2α，cos2α=13，则cos2α=1综上所述：“cos2α=13”是“sinα故选：B．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A． B． C． D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行 B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为π4C．PQ≥D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=π4，故在C中，PQ≥2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜a＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξξ﹣101P13abA．E（ξ）增大 B．E（ξ）减小 C．E（ξ）先增后减 D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知E(ξ)=-∴E(ξ)=-∴当a增大时，ξ的期望E（ξ）减小．故选：B．8．（4分）已知函数f(x)=x2+4x+2，x≤0log2x，x＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2A．(-154，0] B．(-154，2] C．[﹣4，+【解答】解：作出函数f（x）的图象，方程f（x）＝a有三个不同的实数根即等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有三个交点A，B，C，故有﹣2＜a≤2，不妨设x1＜x2＜x3，因为点A，B关于直线x＝﹣2对称，所以x1+x2＝﹣4，﹣2＜log2x3≤2，即14＜x3≤4，故-154＜x1+x2+故选：A．9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γ B．α≤β，β≤γ C．α≥β，β≥γ D．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A．10．（4分）设数列{an}满足an+1＝an2+2an﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得an≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：an+1若an＜﹣2，则an+1＞an，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若an＝﹣2，则an+1＝an，则该数列为常数列，即an＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线x2-y22=λ交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：x12-y122=λx22-y222=λ，两式相减可得：y1-y2x1-x所以直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=2×22=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1212．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=1故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为Tr+1=C6r(-x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为74，则c＝【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为∴sinC=1-cos2C=74，可得74=1∴b＝2，∴由余弦定理可得c=a故答案为：2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|kP【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|kPB1-kPB2|=8∴|x0|=94由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=7P在椭圆上，所以81b2∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为故答案为：2216．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝23．若点M为边BC上的动点，则AM→•DM→的最小值为21【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，CB=CD=23∴B（0，0），A（2，0），C（0，23），D（3，3），设M（0，a），则AM→=（﹣2，a），DM→=（﹣3故AM→•DM→=6+a（a-故答案为：21417．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-π【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=1∴sinA=1-cos∵△ABC的面积为12bc•sinA=bc2•223=23bc＝22，∴bc＝6，∴∴a=b2再根据正弦定理可得asinA=csinC，即32（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=429，cos2A＝2cos2A﹣故cos（2A-π6）＝cos2Acosπ6+sin2Asinπ619．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝42，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝47时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝43，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，23），∴M（﹣3，2，3），BM→=（﹣7，2，平面ABC的法向量n→=（0，0，设直线BM与面ABC所成角为θ，则直线BM与面ABC所成角的正弦值为：sinθ=|20．（15分）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=abn，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，可得2a2＝b1+b2，即2（1+d）＝2+2q，即d＝q，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14，可得2+2q+2q2＝14，解得q＝2，d＝2，则an＝2n﹣1，bn＝2n；（2）cn=abn=（﹣1）ndn＝ncn+n＝n•2n+1，则dn＝2n•（﹣2）n，前项和为Tn＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n•（﹣2）n，﹣2Tn＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n•（﹣2）n+1，相减可得3Tn＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n）﹣2n•（﹣2）n+1＝﹣4+2•4(1-(-2)n-1)1-(-2)-2n•（﹣化简可得Tn=-49-6n+2921．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．点M纵坐标为2，∴点M的横坐标xM＝（2）2＝2，∵y