计量经济第二章

计量经济第二章InroductoryEconometricsLijunJia1第一页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia2ChapterOutline

本章大纲DefinitionoftheSimpleRegressionModel简单回归模型的定义DerivingtheOrdinaryLeastSquaresEstimates普通最小二乘法的推导MechanicsofOLSOLS的操作技巧UnitsofMeasurementandFunctionalForm

测量单位和函数形式ExpectedValuesandVariancesoftheOLSestimatorsOLS估计量的期望值和方差RegressionthroughtheOrigin过原点回归第二页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia3LectureOutline

讲义大纲SomeTerminology一些术语的注解ASimpleAssumption一个简单假定ZeroConditionalMeanAssumption条件期望零值假定WhatisOrdinaryLeastSquares

何为普通最小二乘法DerivingOLSEstimates

普通最小二乘法的推导第三页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia4SomeTerminology

术语注解

Inthesimplelinearregressionmodel,wherey=b0+b1x+u,wetypicallyrefertoyastheDependentVariable,orLeft-HandSideVariable,orExplainedVariable,orresponsevariable,orPredictedvariableorRegressand在简单二元回归模型y=b0+b1x+u中，y通常被称为因变量，左边变量，响应变量，被预测变量，被解释变量，或回归子。第四页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia5SomeTerminology

术语注解Inthesimplelinearregressionofyonx,wetypicallyrefertoxastheIndependentVariable,orRight-HandSideVariable,orExplanatoryVariable,orControlVariables,orCovariate,orpredictorvariableRegressor在y

对x进行回归的简单二元回归模型中，x通常被称为自变量，右边变量，解释变量，控制变量，协变量，或回归元。第五页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia6SomeTerminology

术语注解Equation2.1

y=b0+b1x+uhasonlyonenonconstantregressorx,itiscalledasimplelinearregressionmodel,ortwo-variablesregressionmodel,or

bivariatelinearregressionmodel.

等式y=b0+b1x+u只有一个非常数回归元。我们称之为简单回归模型，两变量回归模型或双变量回归模型.第六页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia7SomeTerminology

术语注解Thecoefficientsb0,b1arecalledtheregressioncoefficientsorparameter.b0isalsocalledtheconstanttermortheinterceptterm,orinterceptparameter.

b1representsthemarginaleffectsoftheregressor,x.

Itisalsocalledtheslopeparameter.b0,b1被称为回归系数。b0也被称为常数项或截矩项，或截矩参数。b1代表了回归元x的边际效果，也被成为斜率参数。第七页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia8SomeTerminology

术语注解

Thevariableuiscalledtheerrortermordisturbanceintherelationship.Itrepresentsfactorsotherthanxthatcanaffecty.

u

为误差项或扰动项，它代表了除了x之外可以影响y的因素。第八页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia9SomeTerminology

术语注解Meaningoflinear:linearmeanslinearinparameters,notnecessarilymeanthatyandxmusthavealinearrelationship.Therearemanycasesthatyandxhavenonlinearrelationship,butaftersometransformation,theyarelinearinparameters.Forexample,y=eb0+b1x+u.线性的含义：y和x之间并不一定存在线性关系，但是，只要通过转换可以使y的转换形式和x的转换形式存在相对于参数的线性关系，该模型即称为线性模型。第九页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia10Examples

简单二元回归模型例子Asimplewageequation2.4

wage=b0+b1(educ)+ub1

:ifeducationincreasebyoneyear,howmuchmorewagewillonegain.上述简单工资函数描述了受教育年限和工资之间的关系,b1

衡量了多接受一年教育工资可以增加多少.第十页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia11ASimpleAssumption

关于u的假定

Theaveragevalueofu,theerrorterm,inthepopulationis0.Thatis, E(u)=0 (2.5)Ititrestrictive?我们假定总体中误差项u的平均值为零.该假定是否具有很大的限制性呢?第十一页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia12ASimpleAssumption

关于u的假定Ifforexample,E(u)=5.Then y=(b0+5)+b1x+(u-5),

therefore,E(u’)=E(u-5)=0.Thisisnotarestrictiveassumption,sincewecanalwaysuseb0

tonormalizeE(u)to0.上述推导说明我们总可以通过调整常数项来实现误差项的均值为零,因此该假定的限制性不大.第十二页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia13ZeroConditionalMeanAssumption

条件期望零值假定

WeneedtomakeacrucialassumptionabouthowuandxarerelatedWewantittobethecasethatknowingsomethingaboutxdoesnotgiveusanyinformationaboutu,sothattheyarecompletelyunrelated.Thatis E(u|x)=E(u)。我们需要对u和x之间的关系做一个关键假定。理想状况是对x的了解并不增加对u的任何信息。换句话说，我们需要u和x完全不相关。第十三页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia14ZeroConditionalMeanAssumption

条件期望零值假定

SincewehaveassumedE(u)=0,therefore, E(u|x)=E(u)=0.(2.6)Whatdoesitmean?由于我们已经假定了E(u)=0，因此有E(u|x)=E(u)=0。该假定是何含义？第十四页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia15ZeroConditionalMeanAssumption

条件期望零值假定

Intheexampleofeducation,supposeurepresentsinnateability,zeroconditionalmeanassumptionmeans E(ability|edu=6)=E(ability|edu=18)=0.Theaveragelevelofabilityisthesameregardlessofyearsofeducation.在教育一例中，假定u代表内在能力，条件期望零值假定说明不管解释教育的年限如何，该能力的平均值相同。

第十五页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia16ZeroConditionalMeanAssumption

条件期望零值假定

Question:Supposethatascoreonafinalexam,score,dependsonclassesattended(attend)andunobservedfactorsthataffectexamperformance(suchasstudentability).Thenconsidermodel

score=b0+b1attend+uWhenwouldyouexpectitsatisfy(2.6)?假设期末成绩分数取决于出勤次数和影响学生现场发挥的因素，如学生个人素质。那么上述模型中假设（2.6）何时能够成立？第十六页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia17ZeroConditionalMeanAssumption

条件期望零值假定

(2.6)impliesthepopulationregressionfunction,E(y|x),satisfiesE(y|x)=E(b0/x)+E(b1x/x)+E(u/x

) =b0+b1x.E(y|x)asalinearfunctionofx,whereforanyxthedistributionofyiscenteredaboutE(y|x).(2.6)说明总体回归函数应满足E(y|x)=b0+b1x。该函数是x的线性函数，y的分布以它为中心。第十七页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia18....y4y1y2y3x1x2x3x4}}{{u1u2u3u4xyPopulationregressionline,sampledatapointsandtheassociatederrorterms总体回归线，样本观察点和相应误差E(y|x)=b0+b1x第十八页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia19So：

orUiiscalledstochasticdisturbance,orstochasticerror两边取X的条件期望值，可推出E(ui/Xi)=0第十九页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia20DerivingtheOrdinaryLeastSquaresEstimates普通最小二乘法的推导BasicideaofregressionistoestimatethepopulationparametersfromasampleLet{(xi,yi):i=1,…,n}denotearandomsampleofsizenfromthepopulationForeachobservationinthissample,itwillbethecasethat

yi=b0+b1xi+ui回归的基本思想是从样本去估计总体参数。我们用{(xi,yi):i=1,…,n}来表示一个随机样本，并假定每一观测值满足yi=b0+b1xi+ui。第二十页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia21预备知识附录A5:附录A7附录A8第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia22DerivingOLSEstimates

普通最小二乘法的推导

ToderivetheOLSestimatorweneedtorealizethatourmainassumptionofE(u|x)=E(u)=0alsoimpliesthatCov(x,u)=E(xu)=0Why?RememberfrombasicprobabilitythatCov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)由E(u|x)=E(u)=0可得Cov(x,u)=E(xu)=0。第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia23DerivingOLScontinued

普通最小二乘法的推导

Wecanwriteour2restrictionsjustintermsofx,y,b0andb1,sinceu=y–

b0

–

b1xE(y–

b0

–

b1x)=0E[x(y–

b0

–

b1x)]=0Thesearecalledmomentrestrictions可将u=y–

b0

–

b1x代入以得上述两个矩条件。第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia24DerivationofOLS

普通最小二乘法的推导

Thesampleversionsareasfollows:第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia25DerivationofOLS

普通最小二乘法的推导Giventhedefinitionofasamplemean,andpropertiesofsummation,wecanrewritethefirstconditionasfollows

根据样本均值的定义以及加总的性质，可将第一个条件写为第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia26DerivationofOLS

普通最小二乘法的推导第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia27SotheOLSestimatedslopeis

因此OLS估计出的斜率为第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia28OLS推导的思路（1）2.10—2.12—2.14—2.16—2.17（2）2.11—2.13—2.15（3）plug2.17into2.15——2.19第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日InroductoryEconometricsLijunJia29SummaryofOLSslopeestimate

OLS斜率估计法总结

Theslopeestimateisthesamplecovariancebetweenxandydividedbythesamplevarianceofx.Ifxandyarepositivelycorrelated,theslopewillbepositive.Ifxandyarenegativelycorrelated,theslopewillbenegative.Onlyneedxtovaryinoursa