计算机中的数制表示

计算机中的数制表示第一页，共四十二页，2022年，8月28日补充的主要内容数制的基本概念计算机中的数制数制间的转换计算机数值数据的机内表示第二页，共四十二页，2022年，8月28日基数

是最大进位数(进制数)，例如:十进制基数为10;六十进制(时间)的基数为60等数符每个数位上的值。例如:234百位数符为2，十位数符3，个位数符4。位数

数符的个数。例如:十进制数234的位数为3；二进制数11010011的位数为8。位权：不同位上数字的单位值一、数制的基本概念

第三页，共四十二页，2022年，8月28日二、计算机的数制常用计数制的基数和数字符号第四页，共四十二页，2022年，8月28日计算机的数制⑴十进制数（Decimal）

特点：数值用0～9表示，逢十进一。十进制通式为：

s10=

an×10n-1+...+a1×100

+

a-1×10-1+...+a-m×10-m小数部分，m为小数部分位数整数部分，n为整数部分位数其中：“10”为十进制数的基数第五页，共四十二页，2022年，8月28日计算机的数制（2）二进制数(Binary)

特点：0或1，逢二进一。

二进制数的通式为：

s2=

an×2n-1+...+a1×20

+a-1×2-1+a-m×2-m

例如：

1+1=1011+1=100而不是等于12第六页，共四十二页，2022年，8月28日计算机的数制（3）八进制(Octal)

特点：数字为0～7，逢八进一。八进制数的通式为：s8=an×8n-1+...+a1×80

+

a-1×8-1+a-m×8-m

例如：

7+1=10而不是等于8第七页，共四十二页，2022年，8月28日（4）十六进制(Hexadecimal)

特点：每位可取数字0～9和英文字母A（10）、B(11）、C(12）、D(13）、E(14）、F(15)的任意一个，逢十六进一。十六进制数的通式为：

S16=an×16n-1+...+a1×160+a-1×16-1+...+a-m×16-m

例如：

9+1=A而不是等于10F+1=10计算机的数制第八页，共四十二页，2022年，8月28日十进制（D)二进制(B)八进制(O)十六进制(H)0000101112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B计算机的数制第九页，共四十二页，2022年，8月28日三、数制间的转换十进制数非十进制数非十进制数十进制数二、八、十六进制之间的转换第十页，共四十二页，2022年，8月28日

8753891811

0结果为：113余数法：除基数取余数、由下而上排列。示例：十进制整数非十进制整数第十一页，共四十二页，2022年，8月28日275123712180291240220211

0又例：结果为：1001011第十二页，共四十二页，2022年，8月28日进位法：用十进制小数乘基数，当积为0或达到所要求的精度时，将整数部分由上而下排列。示例：

0.625

╳2

1.250整数=1

╳2

0.50整数=0

╳2

1.0

整数=1小数值=0结果为：0.101十进制小数非十进制小数第十三页，共四十二页，2022年，8月28日例：计算（25.36）10=（？）2=（？）8第十四页，共四十二页，2022年，8月28日位权法：把各非十进制数按权展开求和转换公式：(F)10=an×Xn-1+...+a1×X0

+a-1×X-1+a-m×X-m示例：

(1011.1)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1

×2-1=8+0+2+1+0.5 =(11.5)10非十进制数十进制数第十五页，共四十二页，2022年，8月28日

整数从右向左三位并一位小数从左向右三位并一位二进制八进制二、八与十六进制之间的转换一位拆三位一位拆四位

整数从右向左四位并一位小数从左向右四位并一位二进制十六进制

第十六页，共四十二页，2022年，8月28日100 110 110 111 .010100

(4 6 6 7 .24)8100110110111.0101

(9 B 7.5)16示例：第十七页，共四十二页，2022年，8月28日存在计算机内存中的数据都是二进制形式。四、数据的机内表示第十八页，共四十二页，2022年，8月28日机器表示：00101011符号位数值部分10101011数值部分(+53)8(-53)8真值符号位机器数与真值第十九页，共四十二页，2022年，8月28日机器数：对于有符号的数，机器中约定某一位表示符号，连同数符一起数码化的数。无符号的数没有符号位。常用“0”表示正号，“1”表示负号。机器数的真值：按一般习惯书写形式，即，正负号加绝对值表示的数。机器数与真值第二十页，共四十二页，2022年，8月28日例如：真值为＋1101的一种机器数形式为？01101真值为－1101的一种机器数形式为？11101显然，机器数形式的二进制位数受机器字长限制，因而表示的范围和精度也将受到相对限制机器数与真值第二十一页，共四十二页，2022年，8月28日数值数据的表示：原码、反码、补码数值数据在内存中数据一般采用补码表示。第二十二页，共四十二页，2022年，8月28日若符号位为0，则表示正数若符号位为1，则表示负数表示方法规定：最高位作为符号位,其余各位代表数值本身的绝对值(以二进制表示).数值数据的原码表示第二十三页，共四十二页，2022年，8月28日1011真值原码-10110.1011-0.101100001011100010110.10110001.1011000

例1

假设用一个字节表示一个整数，求+7和-7的原码解：（＋7）原＝

0000011110000111（－7）原＝例2数值数据的原码表示第二十四页，共四十二页，2022年，8月28日

（＋0）原＝（－0）原＝例3

假设用一个字节来表示一个整数，求＋0和－0的原码表示解：0000000010000000故可知：0的原码不唯一数值数据的原码表示第二十五页，共四十二页，2022年，8月28日解：（＋7）反＝（－7）反＝表示方法规定：

1.一个数如果值为正,则它的反码与原码相同

2.一个数如果值为负,则将其符号位置为1,其余各位为对原码的相应数据位取反.例1

假设只用一个字节来表示一个整数，求+7和-7的反码0000011111111000数值数据的反码表示第二十六页，共四十二页，2022年，8月28日解：（＋0）反＝（－0）反＝例2.

假设只用一个字节来表示一个整数，求＋0和－0的反码表示故可知：0的反码不唯一0000000011111111数值数据的反码表示第二十七页，共四十二页，2022年，8月28日“补码”的原理表示方法规定:1、正数的补码、反码、原码相同.2、对于负数的补码，则将其最高位置为1，其余各位为对原码的相应数据位取反，然后再对整个数加1.数值数据的补码表示第二十八页，共四十二页，2022年，8月28日例1

假设只用一个字节来表示一个整数，求+7和-7的补码解：（＋7）补＝00000111（－7）补＝11110001+111111001数值数据的补码表示第二十九页，共四十二页，2022年，8月28日注意：零的补码表示是唯一的故:（＋0）补＝00000000=（－0）补

例2.假设只用一个字节来表示一个整数，求＋0和－0的补码表示（＋0）补＝00000000（－0）补＝11111111＋1000000001进位自然舍去

X为负数时

[x]补=

[x]反+1数值数据的补码表示第三十页，共四十二页，2022年，8月28日十进制数原码表示反码表示补码表示40000010000000100000001003000000110000001100000011200000010000000100000001010000000100000001000000010000000000000000000000000-01000000011111111-1100000011111111011111111-2100000101111110111111110-3100000111111110011111101-4100001001111101111111100-5100001011111101011111011第三十一页，共四十二页，2022年，8月28日为什么用补码计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法.如果用原码做减法：

十进制：

(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10二进制：（1）原=00000001(-1)原=10000001(00000001)原

+(10000001)原

=(1000010)原

=(-2)10

显然不正确问题出现在带符号位的负数第三十二页，共四十二页，2022年，8月28日为什么用补码如果用反码做减法：（1）反=00000001（-1）原=11111110(00000001)反

+(11111110)反

=(11111111)反

=(-0)有问题。如果用补码做减法：(1)补=00000001(-1)补=11111111(00000001)补+(11111111)补

=(00000000)补=(0)

正确。第三十三页，共四十二页，2022年，8月28日例3

假设只用一个字节来表示一个整数，求+7-6的值解:（＋7）补＝00000111

（－6）补＝11111010

00000111+11111010

100000001进位自然舍去为什么用补码第三十四页，共四十二页，2022年，8月28日

对补码再求一次补，会得到该数的原码。已知补码为：11111010 10000101

+1 10000110

（-6）第三十五页，共四十二页，2022年，8月28日为什么用补码计算机中采用补码的设计目的是：⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。补码机器数中的符号位，并不是强加上去的，是数据本身的自然组成部分，可以正常地参与运算。⑵使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计。所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、c等其他高级语言中使用的都是原码。第三十六页，共四十二页，2022年，8月28日