函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

----f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。我们知道：偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式f(x)=f(x)奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式f(x)+f(x)=0的探讨：(1)函数y=f(x)关于x=a对称一f(a+x)=f(ax) 11111(2ax,y)也在y=f(x)上，而点(x,y)与点(2ax,y)关于x=a对称。得证。111111若写成：f(a+x)=f(bx)，函数y=f(x)关于直线x==对称(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称一f(a+x)+f(ax)=2b简证：设点(x,y)在y=f(x)上，即y=f(x)，通过f(2ax)+f(x)=2b可知，1111f(2ax)+f(x)=2b，所以f(2ax)=2bf(x)=2by，所以点11111(2ax,2by)也在y=f(x)上，而点(2ax,2by)与(x,y)关于(a,b)对称。得111111若写成：f(a+x)+f(bx)=c，函数y=f(x)关于点(a+b,c)对称22(3)函数y=f(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，(1)函数y=f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T--T--TC、f(x+)=或f(x+)=(等式右边加负号亦成立)(2)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(ax)且f(b+x)=f(bx)，则可推出f(x)=f(2ax)=f[b+(2axb)]=f[b(2axb)]=f[x+2(ba)]即可则函数一定是周期函数” (3)如果奇函数满足f(x+T)=f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为x=+2kT(kz)，2根据f(x)=f(x+2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(kz)(以上T0)T(+2kT,0)(kz)，根据f(x)=f(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kz)(以T2上T0)T定理3：若函数f(x)在R上满足f(a+x)=f(ax)，且f(b+x)=f(bx)(其中ab)，则函数y=f(x)以2(ab)为周期.fxRfaxfaxfbxfbxab)，则函数y=f(x)以2(ab)为周期.则函数y=f(x)以4(ab)为周期.y=f(x)y=换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(x)，即它们关于y=0对称。y=f(x)yyfxygx若满足f(x)=g(x)，即它们关于x=0对称。----axbab定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(bx)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b对2称.称推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(ax)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=0(y轴)对称.定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(ax)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.称推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(ax)=0，则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(x)=0，则函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称.特别地，三、总规律：定义在R上的函数y=f(x)，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条1．已知定义为R的函数f(x)满足f(x)=f(x+4)，且函数f(x)在区间(2,+)上单调递增.如果x<2<x，且x+x<4，则f(x)+f(x)的值(A).121212--分析：f(-x)=-f(x+4)形似周期函数f(x)=f(x+4)，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x-2代替x，使f(-x)=-f(x+4)变形为区间(-w,2)上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单.位21f(x)<f(4-x)，又由f(-x)=-f(x+4)，21有f(4-x)=f[-(x-4)]=f(x-4+4)=-f(x)，1111：f(x)+f(x)<f(x)+f(4-x)=f(x)-f(x)=0.选A.121111C.在区间[-2,-1]D.在区间[-2,-1]A.0B.1C.3D.5TTTT分析：f(T)=f(-T)=0，f(-)=-f()=f(-+T)=TTTT2222------TTffn，选TT22值.值最多有(B)个不同的值.A.165B.177C.183D.1996：已知f(x)=，f1(x)=ff(x)，f2(x)=ff1(x)，…，fn+1(x)=ffn(x)，则f(_2)=(A).113A._B.C._D.3775----f(x)为迭代周期函数，故f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(_2)=f(_2)=_1.3n200420047nnn_2052f(2)=1，f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+f(2)+f(2)=5/2，所以，答案为c。fxx下面正确的结论是(B)f(x)设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在(0,3)内单调递减，根据图像，即可求出，答ffxgx=，则f(x)等于(C)--案为C.本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有2fxxxfxfxfx)+f(－x1)=f(1xx1)12211212113．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称对任意x，x∈[0]，都有f(x＋x1221224----1 n2nn1(Ⅰ)解：因为对x，x∈[0，]，都有f(x＋x)＝f(x)·f(x),1221212fxxfxfxx2222fffff).f()=[f()]222222f()=f(+f()=f(+)=f().f()=[f()]2244444f(1)＝a＞0，y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(1＋1－x)，(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)≥0，x∈[0，1]22n2n2nn2n2n=f().=f().f().….f()=[f()]nnn2n2nf()=a222n∵f(x)的一个周期是2∴f(2n＋)=f(),因此a=a2n2n2nn------赏析湖南周友良黄爱民【大中小】【关闭】对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。(一)函数图象本身的对称性(自身对称)线对称。2、函数线对称。等的常数)，则奇函数函数满足满足以为足足(T为常数)的充要条件是的图象关于直(T为常数)的充要条件是的图象关于直且且----(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)关于X轴对称。2、曲线与关于Y轴对称。3、曲线与关于直线对称。4、曲线关于直线对称曲线为。5、曲线关于直线对称曲线为。6、曲线关于直线对称曲线为。7、曲线关于点对称曲线为。1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则则2、已知函数满足，则图象关于__________对称。3、函数与函数的图象关于关于__________对称。4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为()象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若----象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。9、函数