北师大版高中数学必修五模块测试卷

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于()A.135B.100C.95D.803.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b－c)cosA＝acosC，则cosA的值等于()A.B.C.D.4.〈日照模拟〉已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t－，则实数t的值为()A.4B.5C.D.5.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为()A.B.2C.或2D.36.设{an}为各项均是正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则()A.=B.＞C.＜D.≤7.已知数列{an}的首项为1，并且对任意n∈N+都有an>0.设其前n项和为Sn，若以(an，Sn)(n∈N+)为坐标的点在曲线y＝x(x＋1)上运动，则数列{an}的通项公式为()A.an＝n2＋1B.an＝n2C.an＝n＋1D.an＝n8.设函数f(x)＝若f(a)<a，则实数a的取值范围为()A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1)9.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是()A.2B.2C.4D.510.已知目标函数z=2x+y中变量x,y满足条件则()A.zmax=12,zmin=3B.zmax=12,无最小值C.zmin=3,无最大值D.z无最大值,也无最小值11.如果函数f(x)对任意a，b满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝()A.4018B.1006C.2010D.201412.已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且logc(ab)>1，则c的取值范围是()A.0<c<1B.1<c<8C.c>8D.0<c<1或c>8二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B=.14.已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为.15.两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为.16.在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角.(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.18.已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足=(n∈N*),证明：{bn}是等差数列;19.如图1,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？图120.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).21.已知等差数列{an}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有Tn<Sm＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元.(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A点拨：因为cos2＝及2cos2－1＝cosA，所以cosA＝.而cosA=，∴b2+a2=c2，则△ABC是直角三角形.故选A.2.A点拨：由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，…，a7＋a8仍然成等比数列，公比q＝＝＝，∴a7＋a8＝(a1＋a2)＝40×＝135.3.B点拨：(b－c)cosA＝acosC，由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinAsinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，又sinB≠0，所以cosA＝.故选B.4.B点拨：∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列.知＝×4t，显然t≠0，∴t＝5.5.C点拨：根据题意，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.6.B点拨：由题意得公比q>0，当q＝1时，有－＝－>0，即>；当q≠1时，有－＝－＝q3(1－q)＝>0，所以>.综上所述，应选B.7.D点拨：由题意，得Sn＝an(an＋1)，∴Sn－1＝an－1(an－1＋1)(n≥2).作差，得an＝，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0.∵an>0(n∈N+)，∴an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2).∴数列{an}为首项a1＝1，公差为1的等差数列.∴an＝n(n∈N+).8.A点拨：不等式f(a)<a等价于或解得a≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞).9.C点拨：依题意得＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当＝，且=时，取等号，故应选C.10.C11.D点拨：由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，＝f(1)＝2，所以＋＋＋…＋＝2×1007＝2014.12.B点拨：因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋(a＋b)，即b＝2a.又因为a，b，ab成等比数列，所以b2＝a×ab，即b＝a2.所以a＝2，b＝4，因此logc(ab)＝logc8>1＝logcc，有1<c<8，故选B.二、13.60°点拨：依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，所以cosB＝，又0°<B<180°，所以B＝60°，14.点拨：z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0<t＝xy≤＝.设f(t)＝t＋，t∈，设≥t2>t1>0，则f(t1)－f(t2)＝－＝.因为≥t2>t1>0，所以t2－t1>0，t1·t2<.则t1·t2－2<0.所以f(t1)－f(t2)>0.即f(t1)>f(t2).∴f(t)＝t＋在上单调递减，故当t＝时f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值.15.3∶1点拨：设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝，而＝＝＝＝3.16.点拨：∵3an＋1＝Sn(n≥1)，∴3an＝Sn－1(n≥2).两式相减，得3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)＝(n≥2)n≥2时，数列{an}是以为公比，以a2为首项的等比数列，∴n≥2时，an＝a2.令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1a2＝，∴an＝(n≥2).故三、17.解：(1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.所以＋sin2A－＝0.即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.因为A∈(0，π)，所以2A－∈，故2A－＝，即A＝.(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc，又S△ABC＝bcsinA＝bc，而b2＋c2≥2bc，bc＋4≥2bc，bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.当△ABC的面积最大时，b＝c，又A＝，故此时△ABC为等边三角形.18.(1)解：∵an+1=2an+1(n∈N*),∴an+1+1=2(an+1).∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴an+1=2n.即an=2n－1(n∈N*).(2)证明：∵…=.∴=.∴2［(b1+b2+…+bn)－n］=nbn,①2［(b1+b2+…+bn+bn+1)－(n+1)］=(n+1)bn+1.②②－①，得2(bn+1－1)=(n+1)bn+1－nbn,即(n－1)bn+1－nbn+2=0,③∴nbn+2－(n+1)bn+1+2=0.④④－③，得nbn+2－2nbn+1+nbn=0,即bn+2－2bn+1+bn=0,∴bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N*).∴{bn}是等差数列.19.解：由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得，＝.∴DB＝＝＝＝＝10(海里).又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30海里.则需要的时间t＝＝1(小时).答：救援船到达D点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0x≤－1.(2)当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0x≥或x≤－1；(3)当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.①当＞－1，即a＜－2时，原不等式的解集为－1≤x≤；②当＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为x＝－1；③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式的解集为≤x≤－1.综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪.21.解:(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，又a1＝4，所以公差d＝－1，所以an＝5－n，从而Sn＝.(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列的公比为q，则q＝＝，所以Tn＝＝8.令f(n)=.因为f(n)＝是关于自然数n的减函数，所以{Tn}是递增数列，得4≤Tn<8.又Sm＝＝－＋，当m＝4或m＝5时，Sm取得最大值，即(Sm)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有Tn<Sm＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x天购买一次面粉，则其购买量为6xt.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x＋1)元.设每天所支付的总费用为y1元，则y1＝［9x(x＋1)＋900］＋6×1800＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝，即x＝10时取等号.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买