2021年新高考数学模拟试卷

2021年新高考数学模拟试卷（11）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]2．（5分）已知直线y＝﹣x+3与圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．62 B．3 C．6 D．3．（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且AFA．（1，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（3+1，04．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和3A．12 B．13 C．512 5．（5分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A． B． C． D．6．（5分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A．70 B．128 C．140 D．1507．（5分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要8．（5分）已知函数f(x)=2x+1+2，x≤0|log2x|，x＞0，若关于x的方程[f（x）]2A．(3，165) B．(3，165] C．（3，二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）对任意实数x，有(2x-A．a2＝﹣144 B．a0＝1 C．a0+a1+a2+…+a9＝1 D．a10．（5分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势．如图是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图．下列说法正确的是（）A．2008年原油价格波动幅度最大 B．2008年至2019年，原油价格平均值不断变小 C．2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值 D．2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶11．（5分）已知函数f（x）＝3cos2x﹣sin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的最小值为1﹣22 C．直线x=3π8D．直线x=π12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为13D．异面直线B1C与BD所成的角为45°三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知数列{an}的各项为正，记Sn为{an}的前n项和，若an+1=3an2an+1-2an(n∈N14．（5分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加．现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位．在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种．15．（5分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（﹣3，5），（0，﹣4），则f（x）的解析式为．16．（5分）四面体ABCD中，AD＝CD＝BD＝2，CD⊥AD，CD⊥BD，二面角A﹣CD﹣B的大小为60°，则该四面体外接球的体积为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设{an}是等比数列，若a1＝2，且2a2，a3，S3﹣6成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）当{an}的公比不为1时，设anbn=2n+14n2-1，求证：数列{b18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tanA（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝6，求a2+c2的最小值．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=π3，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，若存在，求出20．（12分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号x12345年份20142015201620172018数量y（单位：辆）37104147196216（Ⅰ）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量（Ⅱ）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018年底完成了基础设施改造，共划设了120个停车位，由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将这120个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竟价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主一起报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程ŷ=bx̂+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b21．（12分）已知椭圆E：x24+y2=1，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y（Ⅰ）x1（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝2x3+3x2﹣12x+6，g（x）为函数f（x）的导函数．（1）求证：函数f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点；（2）记x0为函数f（x）在区间（1，2）上的零点．①设m∈[1，x0），函数h（x）＝g（x）（m﹣x0）﹣f（m），判断h（m）的符号，并说明理由；②求证：存在大于0的常数A，使得对任意的正整数p，q，且pq∈[1，x0），满足|pq-x0

2021年新高考数学模拟试卷（11）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．（5分）已知直线y＝﹣x+3与圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．62 B．3 C．6 D．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心坐标为（1，1），半径为2．圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d=|1+1-3|∴|AB|=2(故选：C．3．（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，且AFA．（1，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（3+1，0【解答】解：因为AF1→•AF2→=0又因为kAF2=-3，所以∠AF1F2=π根据双曲线的定义可得3c﹣c＝2a，则c=2(3故选：C．4．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和3A．12 B．13 C．512 【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品．∴P=5故选：B．5．（5分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A． B． C． D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（5分）诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（）A．70 B．128 C．140 D．150【解答】解：由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则A，C，D错，故选：B．7．（5分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣sin2α，sinα=±33，则cos2α=若sinα=33，则cos2α＝1﹣sin2α，cos2α=13，则cos2α=1综上所述：“cos2α=13”是“sinα故选：B．8．（5分）已知函数f(x)=2x+1+2，x≤0|log2x|，x＞0，若关于x的方程[f（x）]2A．(3，165) B．(3，165] C．（3，【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故2＜a＜4g(2)＞0g(4)＞0△即实数a的取值范围是：（3，165]故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）对任意实数x，有(2x-A．a2＝﹣144 B．a0＝1 C．a0+a1+a2+…+a9＝1 D．a【解答】解：对任意实数x，有(2x-3)9═a0+a1(x-1)+∴a2=-C92×22故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正确；故选：ACD．10．（5分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势．如图是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图．下列说法正确的是（）A．2008年原油价格波动幅度最大 B．2008年至2019年，原油价格平均值不断变小 C．2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值 D．2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶【解答】解：由图可知，2008年原油价格波动幅度最大，A对；通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B错；因为2013年原油价格最低价都比2018年原油价格最高值大，则2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值，C对，由图可知，2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D错，故选：AC．11．（5分）已知函数f（x）＝3cos2x﹣sin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的最小值为1﹣22 C．直线x=3π8D．直线x=π【解答】解：f（x）＝3cos2x﹣sin2x+4sinxcosx＝2cos2x+1+2sin2x，=22A：结合周期公式可得T＝π，故A正确；B：结合正弦函数的性质可知，当sin（2x+π4）＝﹣1时，函数取得最小值1﹣22，故C：当x=3π8时，2x+π4D：当x=π8时，2x+π4故选：ABD．12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为13D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【解答】解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为VC1-∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．故选：AB．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知数列{an}的各项为正，记Sn为{an}的前n项和，若an+1=3an2an+1-2an(n∈N【解答】解：由an+1=3a∴an+1∴（an+1+an）（an+1﹣3an）＝0，∵数列{an}的各项为正数，∴an+1﹣3an＝0，∴an+1∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴S5=1×(1-3故答案为：121．14．（5分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加．现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位．在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有144种．【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有A3在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从4孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有A4由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有=A33•故答案为：144．15．（5分）已知二次函数f（x）的图象过点（3，5），（﹣3，5），（0，﹣4），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣4．【解答】解：依题意，f（3）＝f（﹣3），所以二次函数f（x）关于x＝0对称，又过（0，﹣4），所以二次函数的解析式为f（x）＝ax2﹣4，又f（3）＝5，∴9a﹣4＝5，解得a＝1，∴f（x）＝x2﹣4．故答案为：f（x）＝x2﹣4．16．（5分）四面体ABCD中，AD＝CD＝BD＝2，CD⊥AD，CD⊥BD，二面角A﹣CD﹣B的大小为60°，则该四面体外接球的体积为282127【解答】解：由CD⊥AD，CD⊥BD，二面角A﹣CD﹣B的大小为60°可得∠ADB＝60°，即三角形ABD为等边三角形，设三角形ABD的外接圆半径为r，则2r=2sin60°=2•23CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥面ABD，将此三棱锥放在直三棱柱中，设三棱锥的外接球的半径为R，则R2＝r2+（CD2）2=43+1=所以外接球的体积V=43故答案为：2821四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设{an}是等比数列，若a1＝2，且2a2，a3，S3﹣6成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）当{an}的公比不为1时，设anbn=2n+14n2-1，求证：数列{b【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q；由2a2，a3，S3﹣6成等差数列，a1＝2，∴2a3＝2a2+S3﹣6，即4q2＝4q+2+2q+2q2﹣6，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2，或q＝1，所以{an}的通项为an=2n或a（2）证明：由（1）知an=2∴bn∴Tn＝b1+b2+b3+……+bn=(1-13)+(故数列{an}的前n项和Tn＜1．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tanA（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝6，求a2+c2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵tanA∴sinA∴bsinA=acosA+C由正弦定理得sinBsinA=sinAsinB∵sinA≠0，∴2sinB∵sinB∴cosB∵0＜B＜π，∴B=2π（Ⅱ）法一：因为B=2π3，b＝由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2+ac＝36，由基本不等式得：ac≤a2+c∴a2+c2≥24，∴a2+c2的最小值为24．法二：因为B=2π3，A+C=π3，由正弦定理得：asinA∴a=43∴a=48-∵0＜∴π6＜2A+∴24≤a2+c2＜36，∴a2+c2的最小值为24．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=π3，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，若存在，求出【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1=π∴BC1=3∴BC2+BC12＝CC12，得BC1⊥BC，又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，3，0），A1（﹣1，3，2），E（12，32，0），C（1，0，则EB1→=（-32，32，0），B设平面A1EB1的法向量为m→=（x，y，则m→⋅EB1→=-32x+32y=0假设在棱CA上存在一点M（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为211不妨设CM→=λCA→，λ∈[0又CM→=（a﹣1，b，c），CA→=（﹣1，∴a-1=-λy=0c=2λ，∴M（1﹣λ∴EM→=（12-λ，-又平面A1B1E的法向量为m→=（1，3，则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos＜EM→，m→化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ=13或λ∴在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为211此时CMCA=120．（12分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号x12345年份20142015201620172018数量y（单位：辆）37104147196216（Ⅰ）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量（Ⅱ）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区，并于2018年底完成了基础设施改造，共划设了120个停车位，由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将这120个车位对业主出租，租期一年，竟拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竟价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主一起报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布直方图：（1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：回归方程ŷ=bx̂+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b【解答】解：（Ⅰ）由表中数据，计算得x=15（1+2+3+4+5y=15（37+104+147+196+216b̂=â=y-b̂x=故所求线性回归方程为ŷ=45x令x＝7，得ŷ=45×7+5＝（Ⅱ）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于1000元的频率为：（0.25+0.05）×1＝0.3，共抽取40位业主，则40×0.3＝12，∴有意竞拍不低于1000元的人数为12人．（ii）由题意，120216由频率直方图估算知，报价应该在900﹣1000之间，设报价为x百元，则（10﹣x）×0.4+0.3=5解得x≈9.36．∴至少需要报价936元才能竞拍成功．21．（12分）已知椭圆E：x24+y2=1，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y（Ⅰ）x1（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1-m由△AOB的面积为1，可得12|m|•21-m24=1，解得当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-8kt1+4k2，x|AB|=1+k2•(x1由△AOB的面积为1，可得12•|t|1+k2•|AB化简可得1+4k2＝2t2，则x12+x22=(x1而x12综上可得，x12+（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|=2，|AB|=2，则|OM|•|AB|＝当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0=x1+x22=-4kt1+4k则|OM|=x可得|OM|•|AB|=|t|1+16k∵t2=2k2可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|