求点到平面距离地基本方法

（完整版）求点到平面距离地基本方法求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如图1，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,F为CE上的点，且BF1平面ACE。（I）求证：AE1平面BCE；（II）求二面角B—AC—E的大小；（川）求点D到平面ACE的距离。F.图1（I）、（I）解略，（111）解如下:一1、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图2,Aep,Pla,aP=l,AM11,则AMla。AM为点A到平面a的距离.文案大全图2图2（完整版）求点到平面距离地基本方法在RtA在RtAADG中，DH=A»DGAG<6 3解：如图3,过点A作AG二5。，连结DG,CG，则平面ADG〃平面BCE,•・•平面BCEI平面ACE,・•・平面ADG±平面ACE,作DH1AG,垂足为H，则DH1平面ACE。・•・DH是点D到平面ACE的距离.二、平行线法如图4,Ael,l〃a,B为l上任意一点，AM1a,BN1a,则AM=BN。点A到平面a的距离转化为平行于平面a的直线l到平面a的距离，再转化为直线l上任意一点B到平面a的距离.文案大全

（完整版）求点到平面距离地基本方法B图4解：如图5,过点D作DM至AE，连结CM，则DM〃平面ACE,点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点M到平面ACE的距离。作MN1CE,垂足为N,•・•平面CEM1平面ACE,・•・MN1平面ACE,二MN是点M到平面ACE的距离。在RACEM中，MN=%=子=孚图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离.如图6、7,Ia=O,A,Bel,AM1a,BN1a,若A0=t,则AM=t•BN.点A到平面a的距离转化为求直线i上的点BOB到平面a的距离。文案大全（完整版）求点到平面距离地基本方法图6图6图7解:如图8,BD与AC的交点为Q，即BD平面ACE=Q,・・・DQ=BQ,，点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等。•・•平面BCE±平面ACE,BF1平面ACE,・•・BF是点B到平面ACE的距离.在RtABCE中，BF=BCBE=2^2=空.CE 、：6 3图8四、线面角法如图9,OP为平面a的一条斜线，AeOP,OA=l,OP与a所成的角为0,A到平面a的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin0。经过OP与a垂直的平面与a相交，交线与OP所成的锐角就是OP与a所成的角0，这里并不强求要作出A在a上的射影B，连结OB得0.文案大全

（完整版）求点到平面距离地基本方法解：如图10,丁BF1平面ACE,・•・平面BDF1平面ACE,/BQF为DQ与平面ACE所成的角为0，则点D到平面ACE的距离d=DQsin9.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值为立,得sin0=工6・•・D到平面ACE的距离d=<2*三6=空

3 3图10五、二面角法如图11,。P=/,a、p所成二面角的大小为0,A£P,AB11,AB=a,点A到平面a的距离AO=d,则有d=asin0。0也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB的二面角的平面角.文案大全（完整版）求点到平面距离地基本方法图11解：如图12,•・・平面ACDn平面ACE=AC,DQu平面ACD,DQ1AC,设二面角D—AC—E的大小为9，则点D到平面ACE的距离d=DQsin9.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值为名,得sin9=药。3 3二D到平面ACE的距离d=<2义丑=2^-.3 3图12六、体积法解：如图13,过点E作EO1AB交AB于点O,OE=1.•・•二面角D—AB—E为直二面角，・•・EO，平面ABCD。设D到平面ACE的距离为h,^,VDACE=VEACD,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".・・1s.h=1S •EO.3AACE 3