导数及其应用

导数及其应用1．1变化率与导数1．1．1变化率问题潘树春课时目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率.知识建构１．探究：如图（１）是函数h(t)=hto-4.9t2+6.5thto⑴运动员在这段时间内是静止的吗？（１．１．１图（１））⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度________________２．平均变化率概念一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为说明：（１）,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为;（２）几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的_____________________；（３）平均变化率反映了在函数在某个区间上____________，或说在某个区间上曲线陡峭的程度.导学导练知识点１平均变化率的计算公式例1已知s=，（１）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒各段内平均速度；（２）观察计算的结果，总结规律.点拨：根据计算平均辩护率的公式进行计算，在第（２）问中主要观察计算结果变化的趋势．变式一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为．A．3+6B.-3+6C.3-6D.-3-6知识点２函数平均变化率的计算例２已知函数f(x)=的图象上的点及临近的点,则．点拨：严格按照平均变化率的计算公式进行.变式求在附近的平均变化率.知识点３概念的辨析例３一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为．Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时,物体的加速度点拨：在概念中要注意每一个字母表示的意义，这对后面的学习和定义的理解很重要．变式一物体运动方程是,则2s到（2+）s这段时间内位移的增量为．A.8B.8+2C.8+2()D.4+2()作业设计1．一物体运动方程是，物体从1s到3s的平均速度是米/秒．A.30B.20C.40D.452.在曲线的图象上取一点（1，1）及邻近一点,则等于．A.B.C.D.3.函数，自变量x由改变到时，函数的改变量为．A．B.C．D.4.在平均变化率的定义中，自变量的增量是．A．B．C．D．5.已知函数的图象上一点及附近一点，则等于__．A． B．C．D．6.如果质点按规律运动，则在一小段时间中相应的平均速度是．A．B．C．D．7.质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．8.设函数，求：（1）当自变量从1到1.1时，自变量的增量；（2）当自变量从1到1.1时，函数值的增量；（3）当自变量从1到1.1时，函数的平均变化率．9.过曲线上两点和作曲线的割线，并求出当时割线的斜率.１．１．２导数的概念课时目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数．知识建构１．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提示：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.２．导数的概念设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注意:(1)函数应在点及其附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负,但不为0，而可能为0.(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的____________．(4)导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点处_____________________．(5)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与____________．(6)在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式也可写成(7)若极限不存在，则称函数在点处____________．导学导练例1（1）求函数在处的导数.（2）求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．点拨：按照导数的定义，在自变量增量趋近于0时，对函数值的增量与自变量增量的比值求极限，即为函数在该点处的导数.例2函数满足，则当x无限趋近于0时，（1）（2）点拨：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值.变式设在处可导，则当无限趋近于0时，（1）无限趋近于1，则=___________;（2）无限趋近于1，则=_______;（3）＝________.例3求函数的导数.点拨：按照导数的定义求函数的导数,计算过程中注意运算和求极限.变式已知,求.作业设计1.在导数定义中，自变量的改变量______.A．>0B.<0C.=0D.2.已知函数在处的导数为1，则_______.A．3B．C．D．3.已知函数,且,则的值为_______.A.1 B.C.－1 D.04.在可导，则=_________.A．与、都有关B．仅与有关而与无关C．仅与有关而与无关D．与、都无关5.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为_______.Ａ．从时间到时，物体的平均速度Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度Ｃ．当时间为时物体的速度Ｄ．从时间到时物体的平均速度6.设函数在处可导，则______.7.已知质点M按规律做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当时，求.(2)当时，求.(3)求质点M在时的瞬时速度.8．求在点处的导数.9.若． （1）求的值.（2）求的值.１．１．３导数的几何意义课时目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.知识建构１.曲线的切线及切线的斜率当点沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（１）曲线在某点处的切线与该点的位置有关;（２）曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即，因此，如果在点处可导，则曲线在点（）处的切线方程为_______________.说明：若在处可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不然.若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线3.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤①求出切点P的坐标；②求出函数在处的导数，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即。注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．5.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.（2）函数的导数，是指某一区间内任意点而言的，就是函数的导函数.（3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一.导学导练知识点1求曲线在某一点处的切线例1（1）求曲线在点P(1,2)处的切线方程；（2）求函数在点处的导数.点拨：例2求曲线在点(1，4)处的切线方程.点拨知识点2求曲线在某一点处切线的斜率例3求曲线在处的切线的倾斜角.点拨：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率，求出倾斜角．作业设计1.设，则曲线在点处的切线________.A．不存在B．与轴平行或重合C．与轴垂直D．与轴斜交2.曲线在点处的切线方程为________.A．B．C．D．3．函数在点处的切线方程是_____.A．B．C．D．4、曲线在点处切线的倾斜角是________.A． B． C． D．５.曲线在点处的切线与轴，轴的交点分别是与.６.已知A、B是抛物线上横坐标分别为，的两点，求抛物线的平行于割线AB的切线方程.7.曲线的方程为，（1）求此曲线在点P(1，2)处的切线斜率，以及切线方程.（2）求此曲线在点P(－2，5)处的切线方程.8.在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.１．２导数的计算１．２．１几个常用函数的导数课时目标1．掌握由定义求导数的三个步骤，推导五种常见函数、、、、的导数公式；2．掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．知识建构1．知识回顾导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．求函数的导数的一般方法（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数＝_________.３．几个常见函数导数公式的推导（1）函数的导数因为所以表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．(2)函数的导数因为所以表示函数图像上每一点处的切线的________．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为________________________.(3)函数的导数因为,所以表示函数图像上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．(4)函数的导数因为所以导学导练知识点1利用导数定义求函数的导数例1求函数的导数.点拨：根式化简中，注意分子和分母有理化的运用.推广：若，则.变式.说明：实际上，此公式对都成立，但证明较复杂，所以证明即可.知识点2三角函数导数的证明例2证明.点拨：严格按照导数的定义来证明.(提示：)知识点3求导在求瞬时速度中的运用例3质点运动方程是,求质点在时的速度．点拨：注意化简过程中利用二项展开式.导学导练1．用导数定义求下列函数的导数.(1);(2).2.若，则的值为________；3.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8m/s2)，求t=3时的速度.4．证明5.求曲线在点处的切线方程.6．求曲线在点A的切线方程．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识建构１．基本初等函数的导数公式:(1)若(c为常数)，则(2)若,则(3)若,则(4)若,则(5)若,则(6)若,则(7)若,则(8)若,则２．导数的运算法则(1);(2);(3).推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）３．复合函数的求导法则（１）复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.（２）复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则.导学导练知识点1根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求一些简单函数的导数.例１求下列函数的导数．（１）；（２）；（３）．（４）；点拨：（1）求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度;比如有的函数虽然表面形式为商的形式，但有时化简之后可以避免使用商的求导法则.知识点2导数的简单运用例２日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）;（2）.点拨:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．知识点3求复合函数的导数例３求的导数.点拨:求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．变式求的导数.作业设计１.下列函数中，导数不等于的是_______.A.B.C.D.２.函数的导数为_________.A. B.C.D.3曲线在点处的切线倾斜角为_________.4函数的导数为_________.5曲线在点处的切线的斜率是______，切线的方程为___________.6.求下函数的导数.（１）;(2);(3);（４）.7.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？8.曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数课时目标1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.知识建构１．如图1,表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近___________;在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近____________.1.3.1图12．函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤（1）确定函数的____________;（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．导学导练知识点1直接利用导数研究函数的单调性例１判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（２）.点拨：利用导数的正负来求函数的单调性，要注意先考虑函数的定义域.变式（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有________.A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）知识点2利用单调性求参数的范围例2已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．点拨：根据函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．知识点3究对勾函数的性质和图像例3已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间，并作出该函数的大致图像.点拨:利用导数研究函数的单调性,从而可以画出一个陌生函数的大致图像,并进一步从图像中可以研究该函数更多的性质.作业设计1.函数的递增区间是__________.ABCD2．若函数h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是_________.A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]3.函数单调递增区间是__________.ABCD4.函数的单调增区间为，单调减区间为______________5.在增函数，则的关系式为是_______________6.函数的单调增区间为.7.求的单调递增区间.8.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+,(≥0).(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间.１．３．２函数的极值与导数课时目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.知识建构１．极值的概念（1）极大值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有_________,就说是函数的一个极大值，记作y极大值=，是极大值点（2）极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有_________,就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点（3）极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点;而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点２.判别是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足_____________,则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足________________,则是的极小值点，是极小值３.求可导函数的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数;(2)求方程=0的根;(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点导学导练知识点1求函数的极值例1求的极值，并画出该函数的大致图像.点拨：当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点.变式求的极值，并画出其大致图像.知识点2利用极值求参数例２．已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值点拨:可导函数在某点处取得极值，则导函数在该点处的函数值为0.知识点3极值的综合运用例3（2010·北京高考文科·Ｔ１8）设函数，，且方程的两个根分别为1，4.（1）当且曲线过原点时，求的解析式；（2）若在无极值点，求的取值范围.点拨:二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则.作业设计1.为可导偶函数，则等于______.A.0B.C.1D.－12.导函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的_________.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件3.有________.A.极大值，极小值B.极大值，极小值C.极大值，无极小值D.极小值，无极大值4.数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图（1）所示，则函数在开区间内有极小值点有_______.A.个B.个C.个D.个1.3.2图15函数在时有极值，那么的值分别为_____________.6.函数在处有极大值，则常数的值为_____________.7.若有极大值和极小值，则的取值范围是__________.8.求函数的极值.9.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设为实数，函数.(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，.１．３．３函数的最大（小）值与导数课时目标⒈理解函数的最大值和最小值的概念，掌握最值存在定理；⒉掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.知识建构1．最值存在定理一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但既没有最大值，也没有最小值.2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个_____，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性;⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值不能在区间端点处取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3.利用导数求函数最值的步骤只要把连续函数所有的极值与区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，从而得出函数在上的最值导学导练知识点1求函数的最值例1求在的最大值与最小值点拨：将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.变式求函数的值域.例２已知,.是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1.若存在，求出，若不存在，说明理由.点拨：例３（2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，点拨：利用导数研究函数的单调性、求函数的最值、可用来解不等式，以及证明不等式.作业设计1．函数的最大值为__________.A BCD2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为__________.A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件3.函数在区间上的最大值是_______________.4设，当时，恒成立，则实数的取值范围为____.5.函数在[0,3]上的最大值是_______;最小值是_______.6已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间;(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围7.(2009·湖北黄冈模拟)已知函数．(1)若在时取得极值，求的值；(2)求的单调区间；(3)求证：当时，.１．４生活中的优化问题举例课时目标１.理解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用;２.提高将实际问题转化为数学问题的能力.知识建构1.导数解决的实际问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：(1)与几何有关的最值问题；(2)与物理学有关的最值问题；(3)利润及其成本有关的最值问题；(4)效率最值问题.2.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．导学导练知识点1用料最省问题例１圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？1.4图1点拨：变式当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使容量最大.知识点2求最大利润问题例2．某造船公司所造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？点拨：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．变式已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？知识点3例３．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得周长l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.点拨：作业设计1一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是_________.A．米/秒B.米/秒C．米/秒D.米/秒2.将8分为两数之和，使其立方和最小，则分法为_______.A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对3.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为,要使其体积最大，则高为___________.A.B.C.D.4．正三棱柱的体积V为定值，当其表面积最小时，底面边长等于5.设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，=________．6.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____________.7.设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?8.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的长与宽．1.5定积分的概念1.5.1定积分的概念（一）课时目标1．体会求曲边梯形面积、求汽车行驶的路程有关问题的过程，了解定积分的背景；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）.知识建构1.求曲边梯形面积的四个步骤第一步：分割．在区间中任意插入个分点，将它们等分成个小区间，第个区间的长度第二步：近似代替，“___________”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限.说明：（1）归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近（2）最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值.2.求变速运动的路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“________________”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．导学导练知识点1求曲边梯形的面积例1．求围成的图形面积.解：（1）分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间，，，…，记第个区间为________________________,其长度为.分别过上述分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，显然，.（2）近似代替∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值________________________，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有（3）求和面积===从而得到的近似值（4）取极限点拨：求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）知识点2定积分思想在物理中的运用例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长到所作的功．解：将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限点拨：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．作业设计1.把区间[1,3]等分,所得个小区间,每个小区间的长度为__________.A.B.C.D.2.把区间等分后,第个小区间是__________.A.B.C．D.3.在“近似替代”中，函数在区间上的近似值_______________.A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内的任一函数值）D.以上答案均不正确4.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为分割对象，则被分割的区间为______.A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］5．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是__________.A．0.18B．0.26C．0.12 D．0.286.设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积.已知函数y＝sinnx在[0，]（n∈N*）上的面积为. ①y＝sin3x在[0,]上的面积为； ②y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为.7．求由曲线与所围的图形的面积.8.用定积分定义求物体自由落体的下落距离.已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为__________. 1.5.2定积分的概念（二）课时目标1.借助于几何直观的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；2.理解掌握定积分的几何意义，并能运用几何意义求一些简单的定积分.知识建构1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：.如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分,记为：其中称为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，为积分上限，为积分下限.说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：2．定积分的几何意义如果函数在区间上连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．在物理学中，变速运动路程；变力做功.3．定积分的性质性质1（其中k是不为0的常数）；（定积分的线性性质）性质2性质3（其中）;（定积分对积分区间的可加性）性质4若，则.推论：导学导练知识点1运用定积分的几何意义求定积分例1计算定积分.点拨：运用被积函数的图像求定积分.变式若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？例2用定积分的几何意义求值:①;②.点拨：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积.变式求定积分：.知识点2定积分在物理中的运用例3物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）点拨：作业设计1.已知自由下落物体的速度为，则物体从到所走过的路程__________.A．B．C．D．2.将和式的极限表示成定积分__________. A． B． C． D．3.设的曲线是上的连续曲线,等分,在每个小区间上任取,则是___________.A.B.C.D.4.定积分的大小_________.A.与和积分区间有关，与的取法无关B.与有关，与区间及的取法无关C.与和的取法有关，与积分区间无关D.与、区间和的取法都有关5.若是上的连续偶函数，则_______.A． B．0 C． D．6.给出下列定积分： ①; ②; ③; ④.其中为负值的有_______.7．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为__．8.(1)根据定积分的几何意义，求______;_____；_______.(2）设，则_______;______;__________.9.计算，其中,1.6微积分基本定理课时目标1.通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义.2.通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.知识建构1．变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻时物体所在位置为,速度为（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为___________________.另一方面，这段路程还可以通过位置函数在上的增量来表达，即=（其中.）2．微积分基本定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则____________________________________.为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁．它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础．因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果．导学导练知识点１利用定积分基本定理及其性质求积分例1求下列定积分的值:①②③④点拨：①注意8x与x8的区别;②被积式为绝对值时,应分段积分;③利用奇函数在关于原点对称的积分区间上的积分值为0;④利用简单复合函数的求导规则寻找公式中的F(x).变式①②③知识点2定积分的上（下）限含有变量问题与函数的最值例2已知f(x)=,求f(x)的最小值.点拨：求积分后即转化为求二次函数的最值,注意到隐含条件x≥0.解决此类问题应注意积分式中的积分变量是什么,切忌想当然.变式函数f(a)=的最小值为.知识点3微积分基本定理的综合运用例3.（2010·福建高考理科·Ｔ20节选）已知函数，其图像记为曲线C.（i）求函数的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点.曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值.点拨：（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值.变式（2010·海南高考·理科T13）设为区间[0,1]上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为.作业设计1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于_____.A.B.C.D.2.下列式子中,正确的是__________.A.=f(b)-f(a)+CB.=f(b)-f(a)C.=f(b)-f(a)D.[]=f(x)3.如果,则A.0B.aC.-aD.2a4．函数在[－1,5]上_______.A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，无最大值D．既无最大值也无最小值5.某物体的运动方程S(t)=,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为_________.6.一次函数f(x)图象经过点(3,4),且则f(x)的表达式为.7.求下列定积分:①;②;③;④8．求通过(0,0)、(1,2)的抛物线，要求它具有以下性质：(1)它的对称轴平行于y轴，且开口向下；(2)它在轴上方与轴所围成的面积最小．1.7定积分的简单应用课时目标１．能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线的路程、变力做功问题．２．通过定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中的应用，进一步体会定积分的价值，感受数学的应用价值，提高数学的应用意识．知识建构１．求曲边梯