广东省2020年高考理科数学模拟试题及答案

广东省

2020

年高考理科数学模拟试题及答案

（二）

（满分

150

分，考试时间

120

分钟）

一、选择题（本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。）

1.

已知集合

M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则

M∪N＝（ ）

A.

[﹣1，+∞） B.

（﹣1，+∞） C.

（2，3] D.

（1，3）

2.

若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数

a＝（ ）

A.

3

3．若 ，则“

B.

”是“

C.

”的（

）

D.

﹣3

A.充分而不必要条件

C.充要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分又不必要条件

4．已知

f

(

x)

g

(

x)

4,

函数

g

(

x)

是定义在

R

上的奇函数,若

f

(2017)

2017,

则

f

(-2017)

（ ）。

A．

-2017 B．

-2021 C．

-2025 D．

2025

5.

已知过球面上三点

A、B、C

的截面到球心距离等于球半径的一半，且

AC＝BC＝6，AB＝4，则球

面面积为（ ）

A.

42π B.

48π C.

54π D.

60π

6．已知函数

f

x

4

a

2

a

x,

x

1

x

2,

x

1

是

R

上的增函数，则实数

a

的取值范围是(

)

A．

1,8 B．

1,

C．

4,8

D．

4,8

7.

已知

为第二象限角,

sin

cos

3

3

,则

cos2

(

)

A．

5

9

D．

5

3 B．

5

9

C．

5

3

8.

如图，给

7

条线段的

5

个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4

种不同的颜色

可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）

1

A.

24

B.

48

C.

96

D.

120

1

cos

x

9.

定义运算：

a

1

a

3

a

2

a

4

a

a

a

a

，将函数

f

(

x)

3

sin

x

1

4

2

3

（

0

）的图像向左平移

2

3

A.

5

10.设

x，y

满足约束条件

x

y

1

，若目标函数

z

ax

3

y

仅在点（1,0）处取得最小值，则

a

2

x

y

2

个单位所得图像对应的函数为偶函数，则

的最小值是（ ）

1 7 3

B. C. D.

4 4 4 4

x

y

1

的取值范围（ ）

A.（-6，-3） B.（-6,3） C.（0,3） D.（-6,0]

11.已知过点

A（a，0）作曲线

C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数

a

的取值范围是（ ）

A.

（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）

C.

（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

12.在平面直角坐标系 中，已知双曲线

B.

（0，+∞）

D.

（﹣∞，﹣1）

的左焦点为

F，点

B

的坐标为(0，

b)，若直线

BF

与双曲线

C

的两条渐近线分别交于

P，Q

两点，且

，则双曲线

C

的离心率

为（ ）

A. B. C. D.

2

二、填空题（本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。）

13.

已知

ABC

的顶点为

A(1,2)，B(3,1)，C(3，4)，则

AB

边的中线所在直线的斜率为 ．

14.

如果方程

x

2

y

2

2

a

a

6

1

表示焦点在

x

轴上的椭圆,则实数

a

的取值范围__________.

15．某几何体的三视图如下图所示，则其表面积为 .

2

16.

在

(ax

3)9（

a

R

）的展开式中，

x

的偶数次的项系数之和比

x

的奇数次的项系数之和大

1，

则

a

的值为 ．

三、解答题（共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17～21

题为必考题，每个

试题考生都必须作答．第

22、23

为选考题，考生根据要求作答。）

（一）必考题（共

60

分）

17.（本题满分

12

分）

已知等差数列

a

n

的前

n

项和为

S

n

，等比数列

b

n

的前

n

项和为

T

n

，

a

1

，

b

1

，

1

1

a

b

2

.

2 2

（1）若

a

b

5

，求

b

的通项公式；

3 3 n

（2）若

T3

21，求

S3

.

18.(本小题满分

12

分)

为迎接

2022

年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准

是：滑雪时间不超过

1

小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为

40

元(不足小时的部分按

1

小

时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过

1

小时离开的概率分别为

1

小时以上且不超过

2

小时离开的概率分别为 ；两人滑雪时间都不会超过

3

小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望

19.

(本小题满分

12

分)

．

四边形

中点

是菱形,

是矩形,

,

是

的

3

（1）证明:

（2）求二面角

20.

(本小题满分

12

分)

已知椭圆 ，

与椭圆的交点分别为

设直线 的斜率为

的余弦值.

为椭圆的左、右焦点，点

在直线

和

，

为坐标原点.

，证明：

上且不在

轴上，直线

的斜率

问直线

上是否存在点

，使得直线 满足

？若存在，求出所有满足条件的点

的坐标；若不存在，说明理由.

21.已知函数

（Ⅰ）求证：曲线

，

与

在

.

处的切线重合；

（Ⅱ）若

对任意

恒成立.

（1）求实数

的取值范围；

（2）求证：

（其中

）.

在平面直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为

（

t

为参数，a>0

），以坐标原点

O

y

2sin

t

（二）选考题（共

10

分。请考生在第

22、23

题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。）

22．[选修

4—4：坐标系与参数方程]（10

分）

x

a

cos

t

4

为极点，

x

轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

cos

4

2

.

4

（1）设

P

是曲线

C

上的一个动眯，当

a

2

3

时，求点

P

到直线

l

的距离的最小值；

（2）若曲线

C

上所有的点都在直线

l

的右下方，求实数

a

的取值范围.

23．[选修

4—5：不等式选讲]（10

分）

设

（1）解不等式

.

；

（2）若存在实数

满足

，试求实数

的取值范围.

参考答案

5

一、选择题

1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.C 9.A 10.B 11.A 12.B

二、填空题

13.

5

2

14.

a>3

或-6<a<-2

15.

3

16.

-4

三、解答题

17.(1)设 的公差为 ， 的公差为

，

有已知的 解得 ，所以 ；

(2)由

(1)及已知的得 解得 或 .

18.(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为

0

元，40

元，80

元，

两人都付

0

元的概率为

两人都付

40

元的概率为

，

，

两人都付

80

元的概率为

.

(2)由题意得，ξ

所有可能的取值为

0,40,80,120,160.

，

，

，

，

，

的分布列为：

，则两人所付费用相同的概率为

0 40 80 120 160

6

19.（I）

证法一:

设

.

,

的中点为

，因为

是

的中点，

是平行四边形

证法二：因为

是 的中点，

；

（II）设 的中点为

，

是矩形，

，

四边形

以

为原点，

，

是菱形，

]

所在直线为

x

轴，

所在直线为

Y

轴，

所在直线为

Z

轴

建立空间直角坐标系，

7

平面 的法向量为 ，平面 的法向量为

令 ，

设二面角

则

的大小为

20.因为椭圆方程为

设

P（x0，2﹣x0），则

，所以

F1（﹣1，0）、F2（1，0）

，

，

所以

（2）记

A、B、C、D

坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．

设直线

PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1

联立 可得

，

代入 ， 可得

8

同理，联立

PF2

和椭圆方程，可得

由 及

m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得 ，或 ，

所以直线方程为 或 ，

所以点

P

的坐标为（0，2）或

21.证明:(Ⅰ)

在 处的切线方程为

在

所以切线重合.

（Ⅱ）（1）令

则

处的切线方程为

，

①

当

时，

当且仅当

时，取等号，

在

递减，

不成立.

②当

时，

，

(i)当

时，

时，

，

递减，

，

在

(ii）当

递减，

时，

，

在

不恒成立.

递增，

，

，

在

递增，

恒成立.

综上， .

（2）证明：由（1）知当

时，

恒成立.

得

令 得

个不等式相加得

9

4

)

4

2

，得到

(cos

sin

)

8

|

4sin(

t

)

8

|

|

2

3

cos

t

2sin

t

8

|

2

2

|

sin(t

)

2

|3

d

2

2

下面只要证明

即

再由不等式

令 得

取 得

个不等式累加得 成立.

故原不等式成立.

22.（1）由

cos(

cos

x

，

sin

y

直线

l

普通方程为：

x

y

8

0

设

P(2

3

cos

t

,

2sin

t

)

，则点

P

到直线

l

的距离：

3

3

)

1

时，

d

当

sin(t

min

2

2

点

P

到直线

l

的距离的最小值为

2 2

（2）设曲线

C

上任意点

P(a

cost,2sin

t)

，由于曲线

C

上所有的点都在直线

l

的右下方，

10

a

cos

t

2sin

t

8

0

对任意

a

0

恒成立

a2

4

sin(t