第2章-刚体力学

作业2-1,2-3,2-5,2-9,2-10,2-11,2-14,2-16,2-18,2-21,2-22,2-24第2章刚体力学(Therigidbodymechanics

)

§2.1刚体的定轴转动§2.2刚体定轴转动定律及其应用§2.3刚体定轴转动的角动量守恒§2.4刚体定轴转动的功和能(1)§2.1

刚体的定轴转动(Therotationofarigidbodyaboutafixedaxis)2.1.1

平动和转动2.1.2角速度和角加速度2.1.3刚体定轴转动的转动惯量2.1.4刚体定轴转动的角动量(2)

1)平动(任意两质点的连线方向始终不变)2.刚体的基本运动(平动转动）

2)转动v

=

0v=2uu特点:各质点角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等。纯滚动

u=rr特点:刚体上每个质点的位移、速度、加速度均相等ur(3)2.1.1

平动和转动(Thetranslationandrotationofarigidbody)1.刚体(特殊的质点系):受力时物体的形状和体积不变刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圆盘绕水平轴匀速转动，转速为0.1rev/min。例1:解:求:

吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。吊箱运动为平动(5)设t=0时，角位置为0(6)2.1.2角速度和角加速度(Theangularvelocityandangularacceleration)PxOz1.刚体绕定轴转动的角量描述角位置

角位移角速度角加速度刚体各点绕同一直线作圆周运动方向:沿轴向,右手螺旋P点速度、加速度2.角量与线量关系(7)例2:

一飞轮转速n=1500rev/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。(1)求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；(2)求制动开始后t=25s时飞轮的角速度；(3)设飞轮的半径r=1m，求在t=25s时边缘上一点的速度和加速度。解:(1)设初角速度为0,方向如图量值为0=21500/60=50[rad/s]在t=50s时刻,=0,代入方程=0+t得(8)OP从开始制动到静止,飞轮的角位移及转数N分别为

(2)t=25s时飞轮的角速度的方向与0相同;(9)OP(3)t=25s时飞轮边缘上一点P的速度可由求得。所以方向如图相应的切向和法向加速度分别为

的方向几乎和

相同。(10)OP2.1.3刚体定轴转动的转动惯量(Themomentofinertiaofarigidbodyaboutafixed-axisrotation)1.质点(m)对转动轴的转动惯量:2.质点系对同一个转动轴的转动惯量:3.刚体的转动惯量(11)刚体上取质元dm,质元对转动轴的转动惯量:刚体的转动惯量rmrdmrimir2m2r1m1r是质元到转轴的距离[kg/m3]体密度dm=dV1)J与质量有关木(J小)铁(J大)2)J与质量的分布有关(m相同)圆盘球J最小圆环J最大3)J与轴的位置有关(12)[kg/m]线密度dm=dl[kg/m2]面密度dm=dS说明(13)4)平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心c并与A轴平行的轴的转动惯量Jc有如下关系:cA例3:质量为m,长为l的匀质棒的转动惯量求:1)定轴在一端,2)定轴在质心解:

积分四大步:化整为零,写出微分寻找对称,选择坐标引入密度,统一变量定上下限,积零为整1)(14)2)由平行轴公式dmdx例4:圆盘(m,R)绕OO'轴的转动惯量解:取面积元dS,其质元的质量为dm(15)问:1)圆盘绕y轴的转动惯量?2)圆盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了,

求绕OO'轴的转动惯量?r则质元dm对OO'轴的转动惯量为dSdrd2.1.4刚体定轴转动的角动量(Theangular

momentofarigidbodyaboutafixed-axisrotation)

角动量与质点动量对比，J

—m，—

vO刚体对定轴转动的角动量:第i个质元mi对O点的角动量:z若质量连续分布(16)说明第i个质元mi对定轴(z轴)的角动量:90-例5:质量为m,长为l的均匀细杆,中点有一垂直于杆的转轴。杆绕轴旋转的角速度为

求:杆对O轴的角动量。·Odxxdm解:质元dm对O轴的角动量为则杆对O轴的角动量:方向:⊙(17)方向:⊙§2.2刚体的定轴转动定律及应用(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotationandit'sapplication)2.2.1刚体的定轴转动定律2.2.2刚体的定轴转动定律的应用(18)2.2.1刚体的定轴转动定律(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotation)1.绕定轴转动的力矩(momentofforceaboutafixed-axisrotation

)Pzyx对点O转动的力矩:对定轴z转动的力矩:大小:

M=Frsin方向:

右手螺旋(19)O对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:沿轴线选定力矩方向:与相同的方向为力矩的正方向(20)+2.刚体定轴转动定律将刚体视为许许多多小质元(质点)组成第i个质元(质点):外力:

,内力:切向法向切向法向法向力通过转动中心不产生力矩切线方向的牛顿第二定律(21)mizii二边同乘ri对整个刚体转动惯量转动定律意义:刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。(22)说明1)定律的瞬时性,与牛顿第二定律对比。2)定律中各物理量是对同一转轴而言的。M

:是合外力矩2.2.2定轴转动定律的应用(Theapplicationofthelawaboutafixed-axisrotation)(23)二类问题:第一类:由角量运动,求力矩。(微分法)第二类:由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法)解题步骤:认刚体;定转轴,找运动;

分析力和力矩;定转向,列方程。特别注意:

1.明确转动轴位置。2.选定转动的正方向,注意力矩、角速度、角加速度的正负。

3.同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。对轮:对m:定轴O·Rthmv0=0绳解:

轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。mgT'=-Tm例6:己知:定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳,绳一端固定在盘上,另一端挂重物m,绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m,m=1kg,m下落时间t=3s,v0=0,h=1.5m。求:

轮对O轴

J=?(24)联立解得:运动学关系:a=R(3)(4)(25)用转动定律解题小结：平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程转动物体,用隔离体法,分析力矩,写出转动方程由角量和线量关系,将平动和转动联系起来解:1)

+解得:a1=0.82[m/s2],a2=1.63[m/s2](26)例7:组合轮由二个匀质圆盘固结而成,己知mA=6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盘边缘绕有细绳,绳子下端挂二个物体m1=m2=2kg,二个物体离地面高度均为h=2m,求1)二物体的加速度a1,a2;

2)下降物体着地时间,3)绳中张力x2)h=a2t2/2t=1.56[s]

3)T1=m1(g+a1)=21.2[N],T2=m2(g－a2)=16.3[N]hAB例8:

如图装置,己知木块(m1=5kg)可在斜面上滑动(=0.25)斜面倾角=30º

定滑轮(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动求重物m2

加速度,绳中张力?解:解得(27)(m,R)(28)均匀细直棒m

、l

，可绕轴O在竖直平面内转动初始时它在水平位置求:

它由此下摆

角时的lmx解:dm质元gdm例9:dm重力矩dxx重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩O例10:

匀质圆盘(m,R),初角速度

0

不计轴承处的摩擦,如空气对圆盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速率,即

f=kv

(k为常数)

求:1)t时刻圆盘角速度为

时,

所受空气阻力矩?

2)圆盘停止前转数?1)取圆盘上的面积元dS,该面积元所受的空气阻力矩:(29)解:设t时刻圆盘角速度为用积分法求力矩。取刚体m为对象,

为正方向rdrddS2)根据转动定律(30)§2.3刚体定轴转动的角动量守恒(Theconservationofangularmomentumaboutafixed-axisrotation)

2.3.1刚体定轴转动的角动量定理

2.3.2刚体定轴转动的角动量守恒定律*2.3.3进动(31)刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。(32)微分形式积分形式1)式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。注意2)内力矩可改变系统内部各物体的角动量,

但不能改变系统的总角动量。2.3.1刚体定轴转动的角动量定理(Thetheoremofangularmomentumaboutafixed-axisrotation)

2.3.2刚体定轴转动的角动量守恒定律(Theconservationofangularmomentumaboutafixed-axisrotation)刚体定轴转动角动量守恒当时说明1)在碰撞过程中内力矩比外力矩大得多,外力矩可忽略不计,刚体定轴转动的角动量守恒。2)变形体所受合外力矩为零时,变形体的角动量也守恒。(33)(34)例11:

一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒

。求:

子弹细棒共同的角速度

。解:其中m系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用力在水平方向的投影Nx

是否等于0。子弹、细棒系统的角动量守恒Nx=0,则水平方向动量守恒。

例

(打击中心)时，说明(35)m

水平方向动量守恒的验证时，作用前mv00作用后my均质棒子弹++=？(L/2)M(质心)讨论(36)其中例12:

转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为0,转台对此轴的转动惯量J=5×10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴r=0.1m,求:砂粒落在转台上使转台角速度减为0/2所需时间?解:

取转台和落下的砂粒为系统守恒(37)t时刻落下的砂粒质量:m=0.001t[kg]rdt

时间内轴OO'转过d

角高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。(38)对O点的重力矩:M=mgrsin

角动量定理:进动的角速度:O(俯视图)dp设自旋刚体对O点的角动量为L,就是对本身对称轴OO的角动量。*2.3.3进动(Precession)(又叫旋进)OO'mg为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?(39)§2.4刚体定轴转动的功和能(Theworkandenergyofarigidbody

aboutafixed-axisrotation)2.4.1力矩的功2.4.2定轴转动刚体的机械能2.4.3定轴转动刚体的动能定理(40)2.4.1力矩的功(Theworkofmomentofforce)对一有限过程：Od外力F对刚体所做的元功:力矩的瞬时功率P:(41)力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分表示,称为力矩的功。2.4.2定轴转动刚体的机械能(Themechanicalenergyofarigidbody

aboutafixed-axisrotation)1.刚体的转动动能O第i个质元的动能刚体转动动能(42)2.刚体的重力势能各质元重力势能的总和,就是刚体的重力势能。hi

miEp=0chc•(43)3.定轴转动刚体的机械能质心的势能刚体定轴转动动能定理(44)2.4.3定轴转动刚体的动能定理(Theoremofkineticenergyofarigidbody

aboutafixed-axisrotation)二边积分意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功(即力矩的功)等于刚体转动动能的增量。1.动能定理2.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立:若系统是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时,3.机械能守恒定律对于包括刚体在内的系统,若只有保守内力作功则系统机械能守恒:(45)包括系统中所有物体相对于惯性系的动能。Ep

应包括系统中所有物体的势能。解:例13:滑轮(r,M)，在绳的一端挂一重物m，开始时静止，不计摩擦力。hm的重力势能转化为滑轮和m

的动能求:

重物下落高度h时重物的速度v

。mgO(46)例14:

一匀质细棒长为l,质量为m,可绕通过其端点O的水平轴转动,如图。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m,它与地面的摩擦系数为,相撞后,物体沿地面滑行一距离s而停止;求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解:可分为三个阶段。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时机械能守恒。把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点,用表示棒这时的角速度,则C(47)COC

•势能零点第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒与物体相撞时,它们组成的系统对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度,则式中'为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。'取正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右摆。第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为由匀减速直线运动的公式得(48)当'取负值,棒向右摆,其条件:当'取正值,棒向左摆,其条件:棒的质心C上升的最大高度h,与第一阶段情况相似,也可由机械能守恒定律求得:(49)CCOh's例15:

匀质圆盘(m,R)在水平桌面上可绕过圆心并与桌面垂直的轴转动,它与桌面之间摩擦系数为

;

求：1)从0到停止转了多少圈?

2)用了多少时间?解法1:1)(50)考察面积为dS的质元dm根据动能定理:A=Ek2－Ek1df

=g·dmrdr取方向为正dSd解法2:

根据转动定律:解得:解得:2)(51)例16:

匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上O处,

一端固定有一物体(m2),求:1)转动惯量;2)从图中水平位置无初速落下时的

;3)落到铅直位置时的角加速度、角速度。(m1,L)m2解:1)以m1、m2为系统的转动惯量:解得以m1、m2、地球为系统的机械能守恒,得(52)取方向为正2)由3)竖直位置时,棒受重力矩M=0,故此时角加速度'=0O例17:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连,另一端与质量为m的物体相连,弹簧另一端固定在地面上,轻绳与盘无滑动,系统处于静止状态,此时一质量为m0的小物块从h高度处自由落下,与m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s

。解:m0的质量很小,整个过程分成两个阶段,第一阶段:m0与m碰撞,但碰撞过程未引起m移动;第二阶段:m0与m一起下降。m0与m碰撞前的速度v0:(53)取M、m、m0为系统,第一阶段角动量守恒:smMRm0

hk势能零点取M、m、m0、弹簧、地球为系统,只有保守力做功第二阶段机械能守恒(取下落s处为重力势能零点):其中x0为m下降前弹簧的伸长量,且mg=kx0(54)注意:易犯的两个错误:1