历年考研数二1997-2012真题与完美解析

研有你有我共同进第PAGE1第1页共考研1号 已知当x0时，函数f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无穷小，则 （A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c【答案】应选 【详解一】sinxx o(x),sin3x3x o(x x3xlim3sinxsin3xlim

2

)lim x0所以c4,k【详解二】lim3sinxsin3xlim3cosx3cos3xlim32sin2x12

x2

ckxk xkckx0k12ck12，即k3,cf(xx0f(0)0，则

x2f(x)2f(x3

等于 （A）2f （B）f （C）f 【答案】应选【详解】limx2f(x2f(x3)limx2f(xx2f(0)2f(x32f f(xx0 研有你有我共同进第PAGE3第3页共考研1号 limx2f(x)2f(x3)limx2f(x)x2f lim2f(x3)2f f(0)2f(0)f函数f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为 （C） 【答案】应选13f(x0x213微分方程y2yexex(0)的特解形式为 （A）a(exex （B）ax(exex（C）x(aexbex （D）x2(aexbex【答案】应选【详解】特征值为，非齐次项中x(aexbex设函数f(xg(x)均有二阶连续导数，满足f(0)0,g(0)0，且f(0)g(0)0，则函数zf(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 （A）f(0)0,g(0) （B）f(0)0,g(0)（C）f(0)0,g(0) （D）f(0)0,g(0)【答案】应选zxf(x)g(y)z【详解】根据zyy

f(x)g(y)0 f(x)g(y),zyyf(x)g(y),zxyf(x)g( 对于(0,0)zxx(0,0)f(0)g(0)zyyf(0)0,g(0)0f(0)g(0)

f(0)g(0),zxyff(0)0,g(0) 设I 4lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx，则I,J,K的大小关系 IJ【答案】应选

IK （C）JI （D）KJ【详解】在区间 ]上，sinxcosxcotx,lnx是增函数，所4lnsinxlncosxlncotx由定积分比较大小的性质可知，应选P

100 11

,P

100 00

，则 00 (B)P1P (C) (D)PP1 2【答案】应选 2选A(,,

基础解系可为 (A)1,2 (B)1,3 (C)1,2,3 (D)2,3,4【答案】应选A*AAE0，即,,,A*X0的解.由0，知, rA3，知2,3,4线性无关，又r(A*1，从而2,3,4A*X0的基础解系,12xlimx0

)x 222 研 研有你有我共同进第PAGE7第7页共考研1号 x 12xx0【详解】 1 x0x0 )2

ln(12

limx0x 微分方程y'yexcosx满足条件y(0)0的解为y 【答案】exsin 【详解】ye1dx(Cexcosxe1dxdxex(Csinx)yex 曲线ytantdt(0x )的弧长s 【答案】

，由于y(0)0，所以【详解】s 0

1tan2xdx 2ex x 2f(x

x0,0,则xf(x)dx 1xf(x)dxxexdx DDyxx2y22yyxydD

xyd 2

f(xxxx23x2x22xx2xx2xxf 1 1 2 【详解1】二次型f(xxxx23x2x22xx2xx2xx 1 1 2 y24y2 （15（

limxF(xlimx0F(x0，试求的取值范围。解：由limxF(x0a由 F(x)0 所以

F(x)

ln(1x)3ax3a1

故23a1a由limxF(x0xln(1t2

F(x)

ln(1x)

x1x23a(3a1

x1

3a(3a即33a2a31综上a11

x1t3t

3yy(xy

1t3t 解： t21，d2 2 t t2当t1x5y1 当t1x1y1 研有你有我共同进 当t0时，x ，y 当t0时，是凸区间当t0第10页共考研1考研1： 研有你有我共同进第PAGE13第13页共考研1号 （17（设函数x1g(1)1

x122 zfyf 2z

x1f(1,1)

zzy（18）（10分）y(x具有二阶导数，且曲线lyy(xyx与原点，记为曲线l在点(x,y

y(00,y(0)1，因为为曲线l在点(xy外切线的倾角，所以tandyx求导数，得sec2dd2y ddy，并且sec21tan2 d2ydydy

(dx) y(0) y(0)

yp,则ypdpy(0)1解得C

1

dyytan(y ytan(y是可分离变量方程，解得sin(y y(0)0解得C12 x 2 所以y(x)arcsin e 1n

ln(111 an111lnn，证明数列an 证明：①先证明0x11

ln(1xx明显的，令x ，就得到证明结论 ②先证明数列an单调递减，an1an ln(n1)lnn )n n a11...1lnnln(11)ln(11)...ln(11)lnnln(123...n1)lnn1 n1 所以数列anx2y22y(y12

x2y21(y12速度为gm/s2，水的密度为10kg/m3。919【详解】（Ⅰ）容积VV1V22V122(1y2)dy （Ⅱ）WFS2mgdy29103gdy27103 1 （Df(x,y)dxdyD

Dxy)0x1,0y D D

xyf(x,y)dxdy1 1yf(x,y)dyD1yf(x,y)dy1ydf(x,y)yf(x,y)y11f(x, y 0f(x,1)1f(x,y)dy1f(x,000000则原式

1xf(x,y)dx D (22)（11分）设向量组(1,0,1)T，0,1,1)T，(1,3, (1,1,1)T，1,2,3)T，3,4,a) 求a的值 113 1 3 1 1 1240 10 1

13a 02a-3 00a-5101 124 0 0 013124100215001-10-

01042 001-10-2 5 3 11 1