近世代数课件从群谈起

近世代数课件从群谈起2023/4/1数学与计算科学学院第一页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院一、“群”的起源1、法国数学家，近代代数学的创始人----伽罗瓦

(E.Galois，1811-1832)方程的根式求解一元一次方程:一元二次方程：一元三次方程：第二页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：三个根是:(意大利数学家卡尔达诺《大术》1545年)其中是3次单位根，第三页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院一元四次方程：移项：两边加上：得：

令右边的判别式为零，求得y的一个三次方程，求其根，代入上式，求得根x.(卡尔达诺学生----费拉里发现，记载于《大术》中)第四页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院一般一元n次方程是否有类似的根式解？高斯(GaussC.F.德国数学家，1777-1855)于1799年哥丁根大学完成的博士论文证明了代数基本定理：每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根法国数学家：拉格朗日(1736-1813)(预解式)，德国数学家：高斯(分圆方程)挪威数学家：阿贝尔(1802-1829)第五页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院伽罗瓦的最主要功绩：首先提出根的置换概念，每一个方程都可以与一个置换群联系，从而用群论方法彻底解决的方程根式解问题，更重要的是，群论的引入，为现代代数学的发展奠定了基础。方程与群的联系：给定多项式f(x),伽罗瓦群,其元素是的所有置换。称为f的分裂域，第六页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院2、抽象群：来源较多，难以准确说明，有克莱因抽象群说，也有凯莱抽象群说等。第七页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院二、群的其它应用1、化学分子对称群（分子对称群仅有32种）研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识氨分子：(1个氮原子N和3个氢原子H)AabcNHHH第八页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别：1)、A为不动点

2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换

3)、习惯上记氨的分子对称群记为，由6个元素组成。第九页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院水分子对称群：水分子OHH水分子对称群习惯记为,由4个元素组成：1)、恒等变换2)、过O的轴的旋转180o

3)、分子所在平面HOH的反射4)、过O且垂直于H联线的平面的反射。第十页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院2、晶体分类

各种晶体中原子排列模型表明，这是一个有一定规则的多面体，可以利用空间格点加以表述。例:氯化纳(NaCl)晶体原子排列模型：白：钠原子氯：氯原子第十一页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院19世纪后半叶，科学家发现：1、晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共32种。2、晶体内部构造一切可能的对称形式，称为空间群，230种。晶体分类的数学理论是由俄国数学家E.C.费多罗夫应用群的结构理论于1891年创立。1912年德国物理学家冯.劳厄利用X射线的衍射实验证实了晶体对称群的存在性，为此，他获得1914年度的诺贝尔物理奖。

随后英国科学家布拉格父子利用劳厄方法和空间群的计算，给出了晶体中原子的固有排列形状，为此获得1915年诺贝尔物理学奖。第十二页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院3、科学计算的重要方法例设有一块正六边形的瓷砖，在六个顶点上分别染成三个白色和三个黑色，问有几种瓷砖图案？图示如下：计算结果：4种第十三页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院它们是：第十四页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院如何计算？Burnside定理：设有限群G作用于有限集合M上，对G中每一个元素g，记g的不动元的集合为Fg,则M在G作用下的轨道数是第十五页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院4、编码理论编码在数字通讯、计算机和数据处理等科学技术中有广泛应用。信源编码器信道译码器信宿干扰源第十六页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院将信源的信息转化为数字信息传送给收信者称为数字通信.工程上最易实现的是二元数字信息的传送，二元数字信息就是有限长的二元n元数组(c1,…,cn),其中每一个ciZ2.二元n元数组可以表达2n种不同的符号，因此英文字母、数字及有关号码可用适当的二元n元数组表示之。为解决数字传输过程中可能出现的干扰，除采用各种技术处理外，常采用抗干扰编码的方法。第十七页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院设Z2n是信息源的原始数字信息集合。取自然数m>n,作单射E:Z2nZ2m.ImE称为码，ImE中元素称为码字，m称为码长，码字的分量称为码元。显然Z2m是域Z2上的向量空间，如果ImE是Z2m的子空间,称ImE是二元线性码，由于(Z2m,+)的子群与子空间一致，因此二元线性码也称为群码。特别地，当对某些特殊的编码函数E:Z2nZ2m,可以使E成为群同态。比如，E:Z2nZ2m使E(X)=XG,其中G是一个nm矩阵。数字通信群的问题第十八页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院三、高中数学新课程“对称与群”选修课杂谈

1、起点：初中毕业

2、开课学期：高中阶段的任意一个学期3、共计18学时

4、教学目的：

(1)学会用数学思想观察世界，落实到这一专题，应使学生了解群是研究和观察对称现象的一种数学方法。并能够应用群的方法对平面上基本图形的对称性进行观察。第十九页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院(2)掌握轴对称，中心对称的变换形式以及正确的表达方法(反射与旋转)(3)掌握置换群的运算，特别是为什么这些运算有别于数的运算。(4)了解一些数学史，特别是近代代数学是如何发展起来的。第二十页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院

5、难点：置换表达(2)置换运算(合成)第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院(1)观察各种对称现象，引导对称性的正确表述，如轴对称，中心对称等。利用距离进行一些必要的计算以加深对称的理解。6、18学时安排参考：(2)熟悉平面基本图形：等边三角形，正方形，正五边形等的对称轴，对称中心。并学会如何用符号标记它们，特别是对称轴过顶点时，应如何标记才是正确。如：abcdl对称轴l用ab表示有什么问题？第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院(3)平面刚体运动，利用平面刚体运动重新认识轴对称与中心对称。(4)平面刚体运动的基本性质：直线变直线，线段变线段，射线变射线。如何理解平面刚体运动将平面上任意正n边形仍然变为形状和大小保持不变的正n边形。(5)有不动点的平面刚体运动----仅一点不动的为旋转，仅一直线不动的为反射。(6)平面图形K的对称变换，找出等边三角形，正方形，正五边形等基本图形的对称变换。第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院(7)对称变换的运算----合成(8)进一步熟悉变换合成：变换表示，恒等变换，逆变换。

(9)合成的结合律，但一般情况下，没有交换律，用集合形式表达图形K上的所有对称变换，并引入乘法表。(10)写出平面上常见图形的对称群，以及乘法表。写出某些化学分子对称群。(11)n个文字上的一一对应表达方式，结合前面平面图形进行教学。第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日2023/4/1数学与计算科学学院(12)置换合成运算，写出用置换表达的平面图形K上对称群的乘法表。(13)n