2023届西南名校联盟数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过点P（0，2）作直线x+my﹣4＝0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y﹣14＝0的距离最小值为（）A．0 B．2 C． D．22．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70 B．28 C．20 D．83．若存在正实数，使得，则（）A．实数的最大值为 B．实数的最小值为C．实数的最大值为 D．实数的最小值为4．已知，，，，则（）A． B． C．或 D．或5．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（）A． B． C． D．6．若向量，，则在方向上的投影为（）A．-2 B．2 C． D．7．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（）A．1

或

2 B．−1

或

−2 C．1

或

−2 D．−1

或

28．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A． B．C． D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b的值为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正实数满足，则的最大值为_______.12．命题“数列的前项和”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母）13．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．14．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．15．如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________16．不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．18．如图，已知点和点，，且，其中为坐标原点.（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及对应的的值.19．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．20．已知数列满足，．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．21．在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）若的中点分别为，，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由直线过定点，得到的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆，求得圆的方程，由此求出到直线的距离最小值，得到答案．【详解】由题意，过点作直线的垂线，垂足为，直线过定点，由中点公式可得，的中点，由垂直直线，所以点点在以点为圆心，以为半径的圆，其圆的方程为，则圆心到直线的距离为所以点到直线的距离最小值；，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．2、C【解析】

因为，所以，所以=20.故选C.3、C【解析】

将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.【详解】由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4、B【解析】

先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出【详解】因为，，，所以，，所以，所以因为，所以故选：B【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解.5、A【解析】

直线交于轴上的点为，与直线平行得到斜率，根据点斜式得到答案.【详解】与直线平行直线交于轴上的点为设直线方程为：代入交点得到即故答案选A【点睛】本题考查了直线的平行关系，直线与坐标轴的交点，属于基础题型.6、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为=-2故选A7、C【解析】

设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解【详解】等比数列中，设首项为，公比为，成等差数列，，即，或答案选C【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题8、B【解析】

由图象可知,所以,又因为,所以所求函数的解析式为.9、C【解析】试题分析：根据正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正确.考点：1正弦定理;2余弦定理.10、B【解析】试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确；B．，所以B错误；C．，所以，所以C正确；D．，所以．D正确．考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

对所求式子平边平方，再将代入，从而将问题转化为求【详解】∵∵，∴，∴，等号成立当且仅当.故答案为：.【点睛】本题考查条件等式下利用基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12、数列为等差数列且，．【解析】

根据题意，设该数列为，由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且，，反之验证可得成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为，若数列的前项和，则当时，，当时，，当时，符合，故有数列为等差数列且，，反之当数列为等差数列且，时，，；故数列的前项和”成立的充要条件是数列为等差数列且，，故答案为：数列为等差数列且，．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．13、【解析】

∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.14、【解析】

根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.【详解】因为，所以，则，则有：.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.15、【解析】

通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.16、4【解析】

故答案为：4【点睛】本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对后平方再开方，就可以计算出最后结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；(II)【解析】

（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可【详解】（I），由正弦定理得整理得，则，，.(II)，，两边平方得【点睛】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题18、（1）；（2），或.【解析】

（1）设，求出，把表示成关于的二次函数；（2）利用向量的坐标运算得，令把表示成关于的二次函数，再求最小值.【详解】（1）设，又，所以，，所以当时，取得最小值.（2）由题意得，，，则=，令，因为，所以，又，所以，，所以当时，取得最小值，即，解得或，所以当或时，取得最小值.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求向量的模和数量积，在求解过程中用到知一求二的思想方法，即已知三个中的一个，另外两个均可求出.19、（3）甲班参加；（4）．【解析】

试题分析：（3）由题意知求出x=5，y=4．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S34和S44，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（4）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出随机抽取4名，至少有3名来自甲班的概率．试题解析：（3）甲班的平均分为，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（4）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．考点：3．古典概型及其概率计算公式；4．茎叶图．20、（1）见解析；（2）．【解析】

（1）由题设，化简得，即可证得数列为等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得，利用等比数列的前n项和公式，即可求得数列的前n项和．【详解】（1）由题意，数列满足，所以又因为，所以，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得，即，所以，即．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础