数一真题、答案及解析考研路上的幸福哥

《考的哥，《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE1NUMPAGES44 年入学统一考试数学.

1lim(cosx)ln(1x2

曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程 设x2 n0

1 从R的基1,2 到基1 ,2的过渡矩阵 0 6x,0xy设二维随量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 则P{XY1} 的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 (注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645).设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点 设{an},{bn},{cn均为非负数列，且liman0limbn1limcn, anbn对任意n成立 (B)bncn对任意n成立 极限不存在(D)极限不存在[]已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，点(0,0)不是f(x,y)的极值点点(0,0)是f(x,y)的极大值点点(0,0)是f(x,y)的极小值点

x0,

f(xyxy1，则(x2y2)2根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 （4）设向I：1,2,,r可由向量组II12,s线性表示(A)当rs时，向量组II必线性相关 (B)当rs时，向量组II必线性相关(C)当rs时，向量组I必线性相关 (D)当rs时，向量组I必线性相关 Ax=0Bx=0同解，则秩(A)=秩 ① ② ① ②（6）设~t(n)(n1),Y1 []X Y~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 三（本10分过坐标原点作y=lnx的切线，该切y=lnxx轴围成平面图形（本题12分1 将函数f(x) 展开成x的幂级数，并求级 的和1 2n（本10分Dxy0x,0y，LD的正向边界. xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx22《考的哥，《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE4NUMPAGES44 （本10分某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.层对桩的阻力的大小与桩被打进的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进a《考的哥，《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE5NUMPAGES44根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 汽锤击打桩3次后，可将桩打进多深若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进多深（本题满分12分）y=y(x)在(,y0,xxyy=y(x)的反函数d2x(ysinx)(dx)3试将x=x(y)所满足的微分方

dy

变换为y=y(x)满足的微分方程y(0)0,y(0)3的解2（本12分设函数f(x)连续且于零f(x2y2z2F(t)

f(x2y2，G(t) tf(x2y2D(t

f(x2其中(txyzx2y2z2t2}D(t)xyx2y2t讨论F(t)在区间(0,)内的单调性（本10分

2A

，P

，BP

A*PB+2E的特征值与特征向量，其中A*

（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别l1l2l3

ax2by3c0，bx2cy3a0，cx2ay3b0.（10分 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的数学期望从乙箱中任取一件产品是次品的概率（本题8分X2e2(x),xf(x) x其中0是未知参数.XX1X2Xn，记ˆminX1X2XnX2003年考研数学一评.1lim(cosx)ln(1x2)=【分析】1型未定式，化为指数函数或利 limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)进行计算求极限可 【详解1】lim(cosx)ln(1x2)=ex0ln(1x2 而limlncosxlimlncosx

sincosx1，故原式e112x0ln(1x2 x 2

1x lim(cosx1)

x

12 所以原式=e2 zx2y22x4yz02x4yz5【分析n2,4,1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标zx2y2n2,4,1}平行确定.【详解】令F(xyz)zx2y2Fx2x，Fy2y，Fz1设切点坐标为(x0y0z0{2x02y01}，其与已知平面2x4yz0此2x0

24

1可解 x1,y2，相应地有zx2y2 故所求的切平2(x1)4(y2)z5)0，即2x4yz5《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE10NUMPAGES44设x2 n0

cosnx(x)，则a2 .【分析f(xx2x展开为余弦级x2

cosnx(x，其系数计算n式为 2f(x)cosnxdx

a

cos2xdx

xdsin=1[x2sin

sin2x=1

0xdcos2x

01[xcos

cos

【评注 本题属基本题型，主要考查级数的展开，本质上转化为定积分的计算 1 3从R的基1,2 到基1 ,2的过渡矩阵为 0 1【分析】n维向量空间中，从基1,2,,n到基12,n的过渡矩阵P满,]=[,,,]P，因P为：P=[,,,]1, 1

【详解】根据定义，从R的基1,2 到基1 ,2的过渡矩阵0 .P=[,]1[,] 111. 1 1 1 3= 《考的哥，考研干货最多的公众《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE11NUMPAGES44设二维随量(X,Y)的概率密度f(x,y)6x,0xy P{XY1}14【分析】已知二维随量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)z0}，一P{gX,Yz0=f(xy)dxdy进行计算g(x,y)《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平PAGE12NUMPAGES44

1P{XY1}f(x,y)dxdy2 x1=2(6x12x

)dx1 2【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式xy的公共部分D，再在其上积分即可X(单位：cm)N(,1)16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)【分析】已知方差21，对正态总体的数学期望进行估计，可根据X~N(0,1)X1n u}1确X1n

，进而确定相应的置信区间 【详解】由题设，10.95，可见 于是查标准正态分布表知u1.96.本题XX1nx40,因此，根据 401 1.96}401

P{39.51,40.490.95的置信度为0.95的置信区间是《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE18NUMPAGES44(39.51,40.49).设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)(D)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点 三个极小值点和一个极大值点 【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点4个，是极【详解】3个，而=0则是导数不存在的点.三个一0左侧一阶=0)【评注】本题属新题型2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f(x)的图象，本题是其逆问题.设{an},{bn},{cn均为非负数列，且liman0limbn1limcn, anbn对任意n成立 (B)bncn对任意n成立 极限不存在(D)极限不存在 【分析 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 而极 是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 属1型，必为无大量，即不存在【详解

2，b

1，

1n(n1,2,，则可立即排除(A),(B),(C)，因2正确选项为【评注 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内点(0,0)不是f(x,y)的极值点点(0,0)是f(x,y)的极大值点

)是

f(x,y)的极小值点fx xx0, y)1x2y2)2根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 [A【分析】由题设，容易f(0,0)=0，因此点(0,0)f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是于零、恒小于零还是变号.【详解】 x0,

f(xyxy1f(0,0)=0,(x2y2f(xyxy(x2y2 x,y充分小时f(x,y)f(0,0)xy(x2y2)2y=x

xf(xyf(0,0)x24x40y=-x且xf(xyf(0,0)x24x40.故点(0,0)f(x,y)的极值点，应选.（4）设向I：1,2,,r可由向量组II12,s线性表示当rs时，向量组II必线性相关 (B)当rs时，向量组II必线性相关(C)当rs时，向量组I必线性相关 (D)当rs时，向量组I必线性相关 【分析】本题为一 上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：1,2,,r可由向量II：12,s线性表示，则当rs时，向I必线性相关.或其逆否命题：若向I：1,2..

,1

,2

0

1排除(A1

,2

,1

0

0 ). 0 1Ax=0Bx=0同解，则秩(A)=秩(A)=秩(B)Ax=0Bx=0同解. ① ② ④，迅速排除不正确的选项【详解Ax=0Bx=0n-秩(A)=n秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A

，B

，则秩(A)= =1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为【例Ax=0Bx=0 (B)A,B为相似矩阵(C)A,B的行向量组等价 (D)A,B的列向量组等价 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案~t(n)(n1),Y1设 量 XY~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 【分析】先由t分布的定义知X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，再将其代入Y1，然X后利用F分布的定义即可【详解】由题设知，X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，于VnVnY

1~F(n,1故应选VnX U U XVn1【评注t分布、2F（本10分过坐标原点作y=lnx的切线，该切y=lnxx轴围成平面图形Dx=e【分析A;旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积【详解】 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程yln

1(xx00《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE20NUMPAGES44由该切线过原点平面图D的面

lnx010x0y1e

所以该切线的方A1(eyey)dy1e0（2）切线yV1e2

1xx轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为ey=lnxx轴及x=e所围成的图形绕直x=e旋转所得的旋转体体积2V1(eey)2dy20因此所求旋转体的体积为

y VVVe(ee)dy

12e y1D （本题满分12分）1 将函数f(x) 展开成x的幂级数，并求级 的和1 2n【分析 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积1等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数

1

的幂级数展开11

1xx2xnx为某特殊值，得所求级数的和【详解

(x)

(1)n

x

,x

1,14

,

14x 2 f(x)f(0) f(t)t x《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE21NUMPAGES44(1)n4nt2n0

0 (1)n

14 4

,x ,2n 2《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE22NUMPAGES44 因为级数2n1f(x)x2 (1)n 1x

f(x)12

44

,x ,2n 2 f()21

2n

22n1]

42n1f(02f(. f(. n02n （本10分Dxy0x,0y，LD的正向边界. xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx

xesinydyyesinxdx22L【分析】本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可【详解方法一 左边=esinydy0esinx 0

sin

esin

)dx 右边=esinydy0esinx 0

sin

esin

)dx 所 xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx 由于esinxesinx2，故由（1） xesinydyyesinxdx(esinxesinx)dx22 方法二根据，xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx

DDDD (esinyesinx)dxdy=(esinyesinx)dxdy， xesinydyyesinxdx xesinydyyesinx (2)由(1)DxesinydyyesinxdxD

(esinyesinx=esinydxdyesinx =esinxdxdyesinx

（利用轮换对称性 =(esinxesinx)dxdy2dxdy22 评注】是的.结.（本10分对桩的阻力的大小与桩被打进的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功r(0<r<1).问汽锤击打桩3次后，可将桩打进多深若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进多深（注：m表示长度单位米【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限【详解(1)n次击打后，桩被打进xnn次击打时，汽锤所作的功为Wn(n1,2,3,由题设，当桩被x1 的深2为kx时，土层对桩的阻力的大小为kx，所W kxdx x a 2 Wx2kxdxk(x2x2)k(x2a212 12由W2rW12x2a222 x2(1r)a22《考的哥，考研干货最多的公众平第-《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE25NUMPAGES44Wx3kxdxk(x2x2)k[x2(1r)a223 23《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE26NUMPAGES44由W3rW2r2W可13x2(1r)a2r2a2， x3 1rr2a，3即汽锤击打3次后，可将桩打 1rr2am（2）由归纳法，设xn 1rr2rn1a， xn1kxdxk(x x2n n=k[x2(1rrn1)a2 由于Wn1rWnr2Wn1rnW，故1x2x

(1rrn1)a2rna2从 xn1

1rrna

1r1r于 limxn1 a

1即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打

a1评注】.（本12分y=y(x)在(,y0,xxyy=y(x)的反函数d2x(ysinx)(dx)3试将x=x(y)所满足的微分方

dy

变换为y=y(x)满足的微分方程《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE27NUMPAGES44y(0)0,y(0)3的解2 【分析】

dy=

，关键是应注意d2x

d(dx)

d(1)dy

dy

dx 《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE28NUMPAGES44 =

(然后再代入原方程化简即可

【详解】(1)由反函数的求 知 ，于是 d2xd(dx)=d(1)dx=y

dy dy dx

(代入原微分方程yysin *(2)方程*)yy0YC1exC2ex设方程(*)的特解y*AcosxBsinx代入方程*)A0,B1y*1sinxyysinx2yYy*CexCex

1sin2y(0)0,y(0)3，得C1, yexex1sin2

1.【评注】本题的是第一步方程变换（本12分设函数f(x)连续且于零f(x2y2z2F(t)

f(x2y2，G(t) tf(x2y2D(t

f(x2其中(txyzx2y2z2t2}D(t)xyx2y2t讨论F(t)在区间(0,)内的单调性《考的哥，考研干货最多的公众《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE29NUMPAGES442分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根数F()符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形，造助数，再单性进行证《考的哥，考《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE30NUMPAGES44明即可【详解】 因 2tf(r2)r2F(t) t

， 2df(r2

tf(r20F(t)

tf(t2)tf(r2)r(t [tf(r2)rdr0所以在(0,F(t0F(t)在(0,内单调增加

G(t)

tf(r2 tf(r20 t>0F(tG(t，只t>0F(tG(t0，

0f(r)rdr0f(r)dr[0f(r)rdr] g(t)tf(r2)r2drtf(r2)dr[tf(r2)rdr t t g(t)f(t

f(r

)(t

dr0g(t)在(0,内单调增加g(t)t=0处连续，所以t>0g(0)=0,t>0时，g(t)>0,t>0F(t)2G(t).b【评注（2）中的不bbb[f(x)g(x)dx]2bb

2(x)dx

g2(x)dx 在上式中取f(x) f(r2)r，g(x)

即可（本10分 设矩阵A 2，P

，B

1A*PB+2E的特征值与特征向量，其中A*

A的伴随矩阵，E3阶单位矩阵AA*B+2EA*+2E求出其特征值与特征向量A*

2

P1

0 5 0 1 0BP1A*P= 从

43B2E

0 4 5 E(B2E) 2

2

(9)2(3)当129时，解(9EA)x01,0, 1,0, 1kk

，其kk是不全为零的任意常数101 2 1 2 10 1当33时，解(3EA)x01，1， 所以属于特征值3k

1，其k0为任意常数1 3 3 .又因A*A

AE，故有A

A于是 B(P1)P1A*P(P1)

(B2E)P1 2)PA因此 2为B2E的特征值，对应的特征向量为PA由于EA

2(1)2(7) 当1时，对应的线性无关特征向量可取为1，0 当7时，对应的一个特征向量为1.3

31

由P1 1，P11 0 1 因此，B+2E的三个特征值分别为对应于特征值9的全部特征kP1

k,P

是不全为零的任意常数 1 2 对应于特征值3的全部特征

kP1k1k是不为零的任意常数 3 【评注BP1AP，若A的特征值，对应特征向量为BA有相同的特征值，但应特征向量不同，B对应特征值的特征向量为PA与*.（本8分已知平面上三条不同直线的方程分别l1l2l3

ax2by3c0，bx2cy3a0，cx2ay3b0.【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩2.设三条直线l1l2l3交于一点，则线性方ax2by

2cy cx2ay

2c与增广矩阵A 3a的秩均为2，于是

由于b

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但根据题设(ab)2bc)2ca)20abc充分性：由abc0，则从必要性的证明可知 0，故秩(A)由 2b2(acb2)2[a(ab)b2 【评注】本题将三条【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩《考的哥，考研干货最多的公众平第-PAGE38NUMPAGES44故秩(A)=2.

=2[(a1b)23b2]0 秩(A)=秩(A)因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1l2l3交于一点方法二：必要设三直线交于一点(x0

x0，则yAx=0的非零解0A

于 A0a Ab

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(