最优控制理论与系统胡寿松版部分习题答案

--cc0t0解：由题可知，始端和终端均固定=.=.?Ld?L代入欧拉方程?x-dt.?x=0，可得2x=0，即x=011222-6已知状态的初值和终值为fttxt)：ffJ=jtf[2x(t)+1x2(t)]dt122ff?Ld?L欧拉方程：00ffLvxLT)txfdt1t24f1f224f1根据横截条件可得：x(t)(f)f0233f12T)22l--T)22l为0?Ld?L?xdt?x?xdt?x00fff02-9求使泛函11220为极值并满足边界条件121222的极值轨线x*(t)和x*(t)。2""""2121212222(??|?-?x=dLL0x〈|-〈|-=L0?L??L?L1dt1dt?x11----212x所以这时的欧拉方程为1xx212x所以这时的欧拉方程为1xx l2x?L?dLL1?L?dLL1=xdt?x22222222-=-=2对上述第一个方程求导两次，再由第二个方程，可以将x消去，得2x(4)-x=0不难求出此方程的解1234对此式求导两次，得21234利用给定的端点条件，可求出1234因此，极值轨线为〈12|lx*(t)=-sint2((((性能指标20解：由题可知12H?HH21HH21222有c=c12o(1)有c=c12o(1)由边界条件9(0)=o(0)=1，9(1)=1可求〈|3=11|6c1-2c2+c3+c4=012122J=1jtfu2(t)dt20f(1)t=5时的最优控制u*(t)。f(2)t自由时的最优控制u*(t)。f解：由题可知2122212212?H--2212=由状态方程x(t)x(t)，=12(1)t=5时f121f2f44x(t)(2)若t=5自由f由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件f2f1f2f2ff?tf2f1f2f2ff?tf因为时间总为正值，所以此题无解。性能指标20------解：由题可知将u(t)=x(t)代入性能泛函，得J=1j1(x2+x2)dt20于是，性能泛函中只含有一个宗量x(t)。以上问题就变成了求性能泛函为极值的极值曲线问题?Ld?Lxdt?xxdt?x12根据横截条件x(0)=1，x(1)=0可得〈122因此，使给定性能泛函取极值的最优解为由此知该工程师的意见不正确3-4给定一阶系统方程tt02为极小值的最优控制u*(t)及相应的最优轨线x*(t)。解：由题可知2哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求(入一)u极小。且取其约束条件的边界值，即2?H?H----显然，当入(t)=0.5时，u*(t)产生切换，其中t为切换时间。不难求得t=ln，故最优控制为sss2将u*(t)代入状态方程，得(|-xx(t)=〈|x|l-2212在上式中，令t=ln，可求出ln共t共1时x(t22e22将求得的u*(t)和x*(t)代入式J，得最优性能指标0202lne22e22?H--?H12414224式中控制约束为2ttf时刻由x(0)转移到空间原点，并使性能指标J=jtfu2(t)dt0取最小值，其中t自由。f解：由题可知12422242124按照最小值原理，最优控制应取(1(1数沿最优轨线的变化规律H*(t)=H*(t*)=0可得f1242f1f2f42ff1因为x(0)=-，可以求出u*(0)=0241?x1?x1211212222122112142344----l--l241223111代入初始条件x(0)=-，x(0)=-，可得c=c=-1424344(1于是有入(t)=-t〈222218相应的最优性能指标为J*=j3u*2(t)dt=j3(1t)2dt=1001836|l2|l21110840解：由题可知哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求(入-1)u极小。且取其约束条件的边界值，即----显然，当入(t)=1时，u*(t)产生切换，其中t为切换时间。不难求得t=lne，故最优控制为sss2将u*(t)代入状态方程，得(|_xx(t)=〈|x|l_2212tlne可求出lne共t共1时x(t)的初始条件22e22----将求得的u*(t)和x*(t)代入式J，得最优性能指标00lnee22J=1j4x2(t)dt20为最小的最优控制u*(t)和最优轨线x*(t)。解：由题可知2控制应取H(t)=H*(t*)=c可得f22fff1f2c11显然，当入(t)=1