历届高考数学题解答

一九九五年（理科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5共65分。在每小题给出的四个已知I集，集合M，NI，若MN=N，则（CM

M

M

M函数y

x

的图象 （B函 (A) o -1 - C（D）y4sin3x3cos(3x的最小正周期是C（D）（A）

（B）

（C） 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表 （B）等差数列{a},{b的前n和分别为S与TSn

2n

1则liman等 （Cn

（C） （D） 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位 （A）（A）24 （B）30 （C）40 （D）60在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0，离心率为e,则它的极坐标方程是 （D）

c(1e)1ecos

c(1e2)1ecos（C）

如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱∠BCA=900，点D，F分别是AB，A

C 1 1 C的中点。若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所 （A）（A） （B）

（D） 二．填空题：本大题共5小题4分，共20把答案填不等式3

x2

32

的解 答：{x|2x已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球母线与底面所成的角

，则圆台的体积与球体积之 3答7(18)函数ysin(xcosx的最小值6答4直线l过抛物线y2a(x1)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a 答四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则 答C2P34三．解答题：本大题共665解答应写出文字说明、（21（在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依Z1，Z2，Z3，O（其中O，已知Z2对应复数z21Z1Z3对应的复数解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1,依题设

z1z3

312

111 222z24422211i1 222z2422212

31 32（22（求sin220cos250sin20cos50的值解：原式1(1cos401(1cos100sin20cos 11(cos100cos40)1(sin70sin 3sin70sin301sin70 （23（如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F足。求证如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3，求直DE与平面ABCD的角证明：根据圆柱性质FHDA⊥平面 FH∵BE平面∵AB是圆柱底面的直径 E在圆周上∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故 又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB解：过点EEH⊥AB，H连结根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平∴EH⊥平面DH平面ABCD，∴DHED在平面ABCD上的射影，从而∠EDHDE平面ABCD的角.圆设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是 圆VD-

=13

=2R23V圆柱:VD-ABE=3π,得可知H是圆柱底面的DA2AH DA2AH∴∠EDH=arcctg

arcctg（24（决定对淡水鱼养殖提供补贴设淡水鱼的市场价格为x元/千克，补贴为t元/千克，根据市场，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：P1000(xt8)(x8,tQ50040(x8)2(8x当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格将市场平衡价格表示为补贴的函数，并求出函的定义域;为使市场平衡价格不高于每千克10元，补贴至（Ⅰ）化简得5x28t80)x4t264t280)当判别式80016t20时

40(x8)2x84t5

50t2由0t0,8x14得不等式组①0t①

885t

2550t2550t②

885t

2550t解不等式组①，得2550t故所求的函数关系式

不等式组②无解x84t5

50t2函数的定义域为 50tx50tx84t5

化简得t24t5从而补贴至少为每千克1元（25（设{an}是由正数组成的等比数列Sn是其前n项和lgSnlg2

n1是否存在常数c>0使2

c)成立？并证明你的结证明：设{an}的公比为q，由题设a10,q当q1时Snna1从S

S

n

a(1qn当q1时

从而1a(1qn)(qn2)1 qn1 S

S

1 a

qn

由（1）和（2）得

Sn2

根据对数函数的单调

n

)lgS2lgSnlg2

解：要2

c)成立

c)

Snc （1） (S c)

c)[(n

c][(n

c]2a21可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立1（2）当q1时，若条件①成立， n (S c) n a(1qn a(1qn2 a(1qn1 c1 c1 c 1 1 1 aqn[ac(1 且aqn0故只能有ac(1q0 ca11此时，c0a10,0q aqn但0q1时，S 1 0,不满足条件②， 1 1即不存在常数c>0，使结论成立证法二：用反证法.假设存在常数c>0，2

c)则Snc

SSSS

cc

c)

c)2

由（4）得

n1

（1（2（3SnSn22Sn1(Snc)(Sn2c)2(Sn1(Snc)(Sn2 (Snc)(Sn2因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知（5）式左端小故不存在常数c>0，2

（26（x y 已知椭 1，直线l 1.P是l上一点，射 OP交椭圆于点R，又点QOP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当P在l上移动时，求点Q迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：由题设知点Q原点.设P，R，Q坐标分别为 lPQO其中x,y同时为零.当点P不在ylPQO由于点R在椭圆上及点 Q，R共线，得方程x yRR 解

yx48x2

2x23y48y

2x23y2

由于点P直线l上及点O，Q，PyyP

8y

解得

x 2xx

yP

2x3y

当点Py轴上时，经检验（1）~（4）式也成立x2x2y2xP22(xRyR222将（1）~（4）式代入上式，化简整理24(x2y2(2x24(x2y2(2x3y)22x23y2（3（4）故点Q轨迹方程为(x1)2(y1)2 , 所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分15且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点3解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.OPx正方向的夹角为，则有xP|OP|cos,yP|OP|sinxR|OR|cos,yR|OR|sinx|OQ|cos,y|OQ|sin由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，

102x |OP|x|OQ |OP

yP

|OQ

x 2|OP|x2x|OQ

22

|OP|OQ

y2

由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程

8

x yRR

将（1（2（3（4）代入（5（6整理得点Q的轨迹方程为(x1)2(y1)2 , 所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分15且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点3

102解法三：投影设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2xxx OP方程为ykxyPkxP

xP

22xP3yP2

2 yRkxR

x2

2 2

23k 2x46k这就是Q的参数方程，消去参数kx

y(x1)2(y1)2 , Py轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为且长轴与x行的椭圆，去掉坐标原点。解法四：极坐在极坐标系OX设∠POX=

10和 1x2y 1

cos2

1 1xy1

cossin

由|OQ|·|OP|=|OR|2得2

2212

（1（2）(cos

8

)

cos2

)x

x2y

(x1)2(y1)2 , Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为且长轴与x行的椭圆，去掉坐标原点。

10和 一九九五年（文科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-N={0，-3，-4}，则MN（A）{0}（B）{-3，-4}（C）{-1，-2}（D）

（B（2）函数y

x

的图象 （D (A) o -1 - y4sin3x)3cos(3x)的最小正周期是（C（A）

（B）

（C）3

（D）3正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表 （B）

3

2

（C）2a

（D）3a若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3， （Dk1k2yOk3kOk3k2k1k3x双曲线3x2y23的渐近线 （Cy

y13

y

y 33使sinxcosx成立的x的取值范围 （A[ [ ]

（D）[0, 2 圆x2y22x0和x2y24y0的位置关系 （C（A）相 （B）外 （C）相 （D）内已知是第三象限角，且sin4cos45，那么sin2等9（A）2 （B）2 （C） （D）2（A 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方

1 1 4

DBDB的余弦值 （A（A） （B） （C） （D） yloga(2xx减函数，则a的取值范围（B（A（0，2）（B（0，1）（C（1，2）（D（2，+在(1x31x)10的展开式中x5的系（D（A）- （B）- 已知直线l平面，直线m平面.有下面四个（D①//③l//m其中正确的两个命题

④lm//（A）①与②（B）③与 （C）②与 （D）①与等差数列{a},{b的前n和分别为S与TSn

2n

1则liman等 （Cn

（C） （D） 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共 （A（A）24 （B）30 （C）40 （D）60二．填空题：本大题共5小题4分，共20把答案填 方程log(x1)2log(x1)5的解是 已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球母线与底面所成的角

，则圆台的体积与球体积之 3答7(18)函数ycosxcos(x的最大值33答3直线l过抛物线y24(x1的焦点，并且与x垂直，则 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则 答C2P34三．解答题：本大题共665解答应写出文字说明、（21（解方程3x232x解：设y3x，则原方程可9y280y9

9,

19而方程3x1无解9由3x9得x所以原方程的解为（22（设复数zcosisin,2求复数z2z的模和辐角。解z2zcosisin)2cosisin)cos2isin2cosisin2cos3cosi(2sin3cos2

i

22coscos(3)isin(2

2(,2),(,),2cos 所以复数z2z的模为2cos2辐角为(2k1)3(kZ2（23（设{an}是由正数组成的等比数列Sn是其前n项和证明lg0.5Snlg2

证明：设{an}的公比为q，由题设a10,q当q1时Snna1从S S na(n2)a(n1)2a2a2 当q1时

a(1qn 从而1a(1qn)(1qn2 a(1qn1 S

S

1 a

qn

由（1）和（2）得

根据对数函数的单调

)lgS2lg0.5Snlg2

证法二：设{an}的公比为q，由题a10,qnSn1a1qSn,Sn2a1qSn1n

S2n1

)

a1(SnSn1)a1an1即

（以下同证法一（24（如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆DE，F是垂求证如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE体积比等于3，求点E截面ABCD离。证明：根据圆柱性质FDA⊥平面 F∵BE平面∵AB是圆柱底面的直径 E在圆周上∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故 又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB解：设点E到平面ABCD的距记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥ABS△ABD=1AB·AD=ah VD-ABE=VE-ABD=dS△ABD=1da V圆柱=πAB)2·AD=a2h a由题设知 316即da2（25（决定对淡水鱼养殖提供补贴设淡水鱼的市场价格为x元/千克，补贴为t元/千克，根据市场，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：P1000(xt8)(x8,tQ50040(x8)2(8x当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格将市场平衡价格表示为补贴的函数，并求出函的定义域;为使市场平衡价格不高于每千克10元，补贴至（Ⅰ）依题设有1000(xt8)(x8t050040x8)2化简得x2(8t580x()4t264t 当判别式80016t20时x84t5

50t2由0t0,8x14得不等式组①0t①

885t

2550t2550t②

885t

2550t解不等式组①，得2550t故所求的函数关系式

10.不等式组②无解x84t5

50t2函数的定义域为 50tx50tx84t5

化简得t24t5从而补贴至少为每千克1元（26（已知椭圆x2y

1，直线lx

.P

上一点，射线 交椭圆于点R，又点QOP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在l上移动时，求点Q轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：由题设知点Q原点.设P，R，Q坐标分别为 由题设知 共Q由点R在椭圆上及点 共Q线，得方程 x yRR 解

yxx 48xx 2x23y2 48y

2x

3y2

由点O，Q，P线，得yPy

12yx

由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，x2x2y2122yP(xRyR222将（1（2（3）式代入上式，整理得Q的轨迹方2(x1)2223

1,(x所以点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为16且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标3一九九六年（理科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5共65分。在每小题给出的四个已知全集I=N，集合Ax|x2nnN}，Bx|x4nnN}。（CIA

IA

IA

IAa当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogx的图象 （A）a (A) 若

sin2xcos2x，则x的取值范围 （D（A）{x|2k3x2k1,k （B）{x|2k1x2k5,k （C）{x|k1xk1,k （D）{x|k1xk3,k(2(2 复 等（B（A）1

（B）1

1

1 如果直线l、m与平面、、满足llmm，那么（A（A）且m且

（B）且m（D）且当2（D

x

时，函数f(x)sinx2

最大值是1，最小值是-最大值是1，最小值是2最大值是2，最小值是-最大值是2，最小值是-y15sin椭圆x3y15sin（B（A（-3，5（-（B（3，3（3，-（C（1，1（- （D（7，-1（-1，-若0，则arcsin[cosarccos[sin等 （A（A） （B）

（C）

（D） 将边长为a的正方形ABCD对角线AC起，使得BDa，则三棱锥D-ABC体积为（Da6

a

33

a a22等比数列

}的首项

1，前n和为SS1031n则n

Sn等

（B（A） （B）

（D）- 椭圆的极坐标方程为点的极坐标（C

，则它在短轴上的两个2cos（A（3，0（1，

3,2

3,32（C（2，

3

5）3

7, 323（7,2 32等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m和为（C 设双曲线x2y2

的半焦距为c，a

1 ，0（0，（A

3c，则43 3

232母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角2等 （D（A）223

（B）233

（C）

（D）263f(x是(,)上的奇函f(x2)f(x，当0x时f(x)x，则f(7.5等（B （B）- （D）-二．填空题：本大题共4小题4分，共16把答案填已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切。则p= 答正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的 答(18)tg20tg403答3

3tg20tg40的值 AE（19）如图，正方形ABCD所在平 与AE方形ABEF所在平面成600的二 角B则异面直线AD与BF所成角的余 值F答：4三．解答题：本大题共550解答应写出文字说明、（20（解不等式

(11) （Ⅰ）当a1时，原不等式等价于不等式组 1x 11

由此得1a 因为1a0所以x

x（Ⅱ）当0a1时，原不等式等价于不等11

x1a.

由（1）x1或x由（2）0x

1

,1x

11综上，当a1时，不等式的解集为{x

1

x当0a1时，不等式的解集为{x|1x11（21（已知△ABC三个内角A，B，C足

cos

cos

cos

.求cosAC的值2解：由题设条件知

2

2

cos 将上式化为cosAcosC22cosAcos利用和差化积及积化和 ，上式可化2cosACcosAC

2[cos(AC)cos(A 将cosACcos601cosAC)12cosAC 2

将cosAC)2cos2AC1代入上式并整理2242cos2(AC)2cosAC 22(2cosAC2

2cosAC3)222cosAC32222cosAC2

从而得cosAC 2 （22（如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面求证 BE若AA1=A1B1，求平面A1EC与平BE所成二面角（锐角）的度数 （ⅡEEG⊥A1C，G垂足。①∵A1EC⊥侧面∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BCBF⊥AC，②∵ABC⊥侧面∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG

BGEDBGED一个平面，交侧面AC1FG③∵BE∥侧面∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边∴FG=1AA11BB1，即BE=1BB1，故BE=EB1 解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结∵EB∥CC，EB=1BB=1CC ∴DB=1DC=BC=AB 1 12∵∠BAC=∠BCA=600，∠DAB=∠ADB=1（1800-∠DBA11

11

1 121 1 11 1∴∠DAC=∠DAB+∠B1 1 11 1∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C所以∠CA1C1是所求二面角的平面角 1 1 1∵CC=AA=AB 1 1 11∴∠CAC=450，即所求二面角为451（23（某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（粮食=总产量人均粮食

总产量产量

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口P，粮食单产为M/公顷。依题意得不等式M(122%)(10410x)M104 化简得x

[1

]

(1P

[1

]

[11.22(1C100.01C10

103[1

1.1045]x4(公顷答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷（24（已知l1,l2是过点P（ 2,0）的两条互相垂直的直线，且l1,与双曲线y2x21各有两交点，分别为A1、B1A2、B2求l1的斜率k1的取值若|A1B1|=5|A2B2|，求l1l2的方程（Ⅰ）依题l1l2的斜率都存在。因为l1过点P（且与双曲线有两个交点，故方程

2,0yk1(xy2x2

2)(k1

有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理 (k21)x222k2x2k21 若k210，则方程组（1）只有一个解，即l与双曲线只有一 交点，与题 故k210，即|k|1。方程（2）的判别式 2 1(22k) 1) 设l2的斜率为k2,因为l2过点P（点，故方程

2,0）且与双曲线有两yk2(xy2x2

2)(k2

有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理 (k21)x222k2x2k21 同理有k2104(3k2 又因为l1l2，所以有k1k2于是l1,l2与双曲线各有两个交点，等3k21

21

3|k 解得 k1k2

|

|

3)3

3（Ⅱ）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）22k 2k2xx 1,xx 11 k2 111

k2

4(1k2)(3k2|AB|2(xx)2(

y)2(1k2)(

x)2

1

(k212同理，由方程（4）可求得|AB|2，124(1k2)(3k2|A

|2

12 (k211 2 1 2由|AB|=5|AB|，得|AB1 2 1 2（54(1k2)(3k2 4(1k2)(3k2 5 .11(k21122解得k122

(k2取k1

时l1:y

2(x

l2:y

2(x2

22取k12

时l1y

2(x

l2:y

2(x2

2（25（已知abc是实数f(x)ax2bxcg(x)axb1x1时|f(x|（Ⅰ）证明|c|（Ⅱ）证明：当1x1时|g(x)|设a0当1x1时gx的最大值为2，求f(x（Ⅰ）证明：由条件当1x1时|f(x|1x=0|c||f(0|1，即|c|证法一：当a0时g(x)axb在[-1，1]上是增函数g(1)g(x)g(1),|f(x)|1(1x1),|c|g(1)abf(1)c|f(1)||c|g(1)abf(1)c(|f(1)||c|)由此得|g(x)|当a0时g(x)axb在[-1，1]上是减函数g(1)g(x)g(1),|f(x)|1(1x1),|c|g(1)abf(1)c|f(1)||c|g(1)ab

f(1)c

f(1)||c|)由此得|g(x)|当a0时g(x)b,f(xbx1x1,|g(x)||f(1)c||f(1)||c|综上得|g(x)|(x1)2(x证法二x

可4g(x)axba[(x1)2(x1)2]b(x1x [a(x1)2b(x1)c][a(x1)2b(x1) f(x1)f(x 当1x1时，有0x11,1x1 根据含绝对值的不等式的性质，|f(x1)f(x1)||f(x1)||f(x1)| 即|g(x|因为a0时gx)在[-1，1]上是增函数，x=1取最大值2，g(1ab

f(1)f(0)

f(0)

f(1)212cf(0)因为当1x1时f(x)1，即f(x)

f根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此b0,即b0.由（1）得a所以f(x)2x2一九九六年（文科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5共65分。在每小题给出的四个（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，（CIA

IA

IA

IA(A) xo1 x xy a当a1时，在同一坐标系中，函数y(A) xo1 x xy a若xsin2xcos2x，则x的取值范围 （D（A）{x|2k3x2k1,k （B）{x|2k1x2k5,k （C）{x|k1xk1,k （D）{x|k1xk3,k复

(22i)4等（B

1

（B）1

1

1 （5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同（C（A）720种（B）360 （C）240种（D）120已知是第三象限角且sin24，则tg （D（A） （B） （C） （D） 如果直线l、m与平面、、满足llmm，那么必 （A（A）且（C）m//且

且m（D）且当2

x

时，函数f(x)sinx2

3cosx （D最大值是1，最小值是-最大值是1，最小值是2最大值是2，最小值是-最大值是2，最小值是-中心在原点，准线方程为x4，离1的椭圆方程2x2y2

x y （Ay1x2 2y14

x2

2 24圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体 （C）（A）22 （C）45 （D）10 椭圆25x2150x9y218y90的两个焦点坐标（B（A（-3，5（- （B（3，3（3，-（C（1，1（- （D（7，-1（-1，-将边长为a的正方形ABCD沿对AC折起，使得a，则三棱锥D-ABC积（Da6

a

33

a a22等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m和为（C 设双曲线x2y2 的半焦距为c，直线1 a ，0（0，（A

3c，则43 3

232f(x是(,)上的奇函f(x2)f(x，当0x2时f(x)x，则f(7.5等（B （B）- （D）-二．填空题：本大题共4小题4分，共16把答案填已知点（-2，3）与抛y22pxp0的焦点的距离5，则 答正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的 答(18)tg20tg40 3tg20tg40的值 3答 3AE（19）如图，正方形ABCD所在平 与AE方形ABEF所在平面成600的二 角B则异面直线AD与BF所成角的余 值F答：4三．解答题：本大题共550解答应写出文字说明、（20（本小题满分11）解不等式loga(x1a)1.（Ⅰ）当a1时，原不等式等价于不等式组x1ax1a

解得x2a（Ⅱ）当0a1时，原不等式等价于不等x1ax1a

解得a1x2a综上，当a1时，不等式的解集为{x|x2a当0a1时，不等式的解集为{x|a1x2a（21（设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9，求数列解：q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.但a10S3+S6≠2S9，与题设，故q1.又依题意S3+S6=2S9可a(1q3 a(1q9 1 21 ,1

1

1整理得q32q6q31由q0得方程2q6q31(2q31)(q31)3q1,q310,2q313q 2（22（已知△ABC三个内角A，B，C足

cos

cos

cos

.求cosAC的值2解：由题设条件知 cos

cos

2将上式化为cosAcosC

2cosAcos利用和差化积及积化和 ，上式可化2cosACcosAC

2[cos(AC)cos(A 将cosACcos601cosAC)12cosAC 2

将cosAC)2cos2AC1代入上式并整理2242cos2(AC)2cosAC 22(2cosAC2

2)(22cosAC3)222cosAC3222cosAC 22从而得cosAC 2 （23（如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1AA1a，E、F3BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2求证：面AEF⊥面求三棱锥A1-AEF积证明①∵BE=a，CF=2a，BE∥CF，延长延长线交于D，连结AD∴DBBE

EEBF ③∵△ABD等腰三角形，④∵FC⊥面ACD，∴CAFA在面ACD的射影，CA⊥AD，∴FA⊥AD.⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-在面A1B1C1内作

垂足为G.

3a A1B1C1⊥面3∴EBB1，而BB1∥面 3∴三棱锥E-AA1F的高 a D DS△A1AF=1·AA1·AC=3a23 3 a3.A1-

E-4（24（某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（粮食=总产量人均粮食

总产量产量

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口P，粮食单产为M/公顷。依题意的不等式M12210410x)M1041化简得x

[1

]

P

[1

]103[1

(1C10.01C20.012 103[1

1.1045]x4(公顷答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷（25（已知l1,l2是过点P（ 2,0）的两条互相垂直的直线，且l1,与双曲线y2x21各有两交点，分别为A1、B1A2、B2求l1的斜率k1的取值若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值（Ⅰ）依题l1l2的斜率都存在。因为l1过点P（且与双曲线有两个交点，故方程

2,0yk1(xy2x2

2)(k1

有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理1(k21)x21

2k2x2k21

若k210，则方程组（1）只有一个解，即l与双曲线只有 交点，与题 故k210，即|k|1。方程（2）的判别式 2 1(22k) 1) 设l2的斜率为k2,因为l2过点P（点，故方程

2,0）且与双曲线有两yk2(xy2x2

2)(k2

有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理2(k21)x22

2k2x2k21

同理有k2104(3k 又因为l1l2，所以有k1k2于是l1,l2与双曲线各有两个交点，等3k21

21

3|k 解得 k1k2

|

|

3)3

3（0，11取A1（0，1）时，有k10

2)解得k1

2从而

12k将k2

2代入方程（4）x2

2x3

记l2与双曲线的两交点为A2（x1,y1）B2（x2,y2）.|AB|2(xx)2(yy)23(xx)23[(xx)24xx2 1由（5）知x1x242x1x22同理，由方程（4）可求得|AB|2，整2

|2

2)243]即|A2B2|

当取A1（0，-1）时，由双曲线y2x21关于x的对称性，|A2B2|所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2B2| 一九九七年（理科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5共65分。在每小题给出的四个（1）设集合M={x|0x2}，集合N={x|x22x30，集MN（A）{x|0x（C）{x|0x

（B）{x|0x（D）{x|0x

（B如果直线ax2y20与直线3xy20平行，那么系a (C)3

(D)3

（B函

ytg(2

x3

)在一个周期内的图象 （A

已知三棱 7 o3 7 o36xox43o3 o3ABC三3侧面与底面全等，且 ，BC=2，则以BC为棱，以面3与面BCA为面的二面角的大 （B）arccos （C） （D） （C 函数ysin(2x)cos2x的最小正周期 （B3（A） （B） （C）2

（D）满足arccos(1x)arccosx的x的取值范围 （D（A）[-1，1]（B）[1，0]（C）[0，1]（D）[1 将y2x的图 （D（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单先向上平行移动1单位（D）先向下平行移动1单位再作关于直线yx对称的图象，可得到ylog2x1的图象长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八 （C）（A）20

25

x11曲线的参数方程是 t(t是参数,t0)，它的普通方程（A）(x1)2(y1)

y1t2（B）yx(x1x1x

（By

(1x)2

y

1x2函数ycos2x3cosx2的最小值 （B （C）1

椭圆C方程是（A

(x9

(y4

1关于直线xy0对称11（A）(x2)2(y3)2 （B）(x2)2(y3)211 11（C）(x2)2(y3)2 （D）(x2)2(y3)211 圆台上、下底面积分别为,4，侧面积为6，这个圆台的（D

（B）23

（C）

（D）7 定义在区间(,的奇函数f(x为增函数;偶函数gx在区间[0,的图象与f(x的图象重合。设ab0，给出下列不等（C①f(b)f(a)g(a)③f(a)f(b)g(b)其中成立的

②f(b)f(a)g(a)④f(a)f(b)g(b)（A）①与④（B）②与③（C）①与③（D）②与x 不等式组3 2x.的解集 2（C

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共（D（A）150 （B）147 （C）144 （D）141二．填空题：本大题共4小题4分，共16把答案填已知(a x)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值 答已知直线的极坐标方程为sin4

，则极点到该2线的距离 答：2(18)sin7cos15sin8的值cos7sin15sin3答23（19）已知m,l是直线,是平面，给出下列命题①若l垂直于内的两条相交直线，则②若l平行于，则l平行于内的所有直线③若m,l,且lm,则⑤若m,l,且,则m其中正确题的序号是 （注：认为正确题的答三．解答题：本大题共669解答应写出文字说明、（20（已知复数z

1i,3 3

22 i复数z,z23在复平面上22 对应的点分别为P，Q。证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中为原点解：因为z

1icos(isin所以z3 2因为 2icosisin,所以42 于是z2

z23z

z

|z|2| 由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角（21（已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分pq，其中pq，且p1q1.设cnanbnSn为数列{cn}的前n和.求

Snna(pn b(qn解

1 , p q a(q1)(pn1)b(p1)(qnn . a(q1)(pn11)b(p1)(qn1 分两种情况讨（1）ppq0,0qp qn

Sn

p[a1(q1)(1pn)b1(p1)(pn

pnn

[a1(q1)(1

)b1(p

qn1

1

1)b(p1)[(q)n11p

pn

pn a

1)b(p1)[(q)n1 11pa1(q1)pa1(q1)（2）p

0qpS

a(q1)(pn1)b(p1)(qnlimn

n

na(q1)(pn11)b(p1)(qn1 a1(q1)b1(p1)（22（甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地不得超过C千米/小时，已知汽车 ．（以元为位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元把 ．y（元）表示为速度v（千米/小时的函数， 这个函数的定义域为了使 最小，汽车应以多大速度行驶（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为Sv全 成本yaSbv2SS(a 故所求函数及其定义ySabvv0v（Ⅱ）依题意知S，abv都为正数yS(abv)v当且仅当abv,即vabvab

ab时上式中等号成立ab若ac,则当vb

时，全 成本y最若ac,当v(0c时，有S(abv)S(abc)S[(aa)(bvbc)]S(cv)(a vc因为cv0,且abc2故有abcvabc2所以Sabv)Sabc且仅当vc时等号成立，也即当vc时 全程成本y最小综上知，为使全 成本y最小，

abc时行驶速度应bv abb

abc时行驶速度应为vcb（23（如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的证明AED1F所成的证明面AED⊥面AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1.（Ⅰ）∵AC1∴AD⊥面DC1，又D1FAB中点G，连结

E H FHF G因为FCD的中点，所以GF、AD平行且相等A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。A1GAE相交与点H，则∠AHA1AED1F所成的角。因为EBB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE， ∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=900，即直线AEDF所成角 由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED又因为D1FA1FD1，所以面AED⊥面连结∵FG∥A1D1，∴FG∥面∴体积VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-∵AA1=2，∴面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=2∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=1AD 123 1 （24（设二次f(x)ax2bxc(a0，方程f(xx0的两

满足0

1a（Ⅰ）当x(0x1时，证明xf(x)（Ⅱ）设函数f(x的图象关于直线x

对称，证明xx1 （Ⅰ）

f(xx.因为x1x2是方程f(xx0的根，所F(x)a(xx1)(xx2

得(,xx1xx2

又a0Fxa()x(x1)(xx2

即x

x1

xx1

a(x因为0xxx1所以

x

ax

（Ⅱ）依题意知

b因为x1x2是方程f(xx0的根，即x1x2是方ax2b1)xc0的所以

b1ax

a(x1x2)1ax1ax2 因为

1所以

x1.（25（设足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线lx2y0的距离最小的圆的方程。解法一：设圆的圆心为P(ab，半径为r，则点Px，y距离分别为|b|,|a|.由题设知圆Px得劣弧对的圆心角为900，知圆Px所得的弦长为2r，故r22b2又圆Py所得的弦长为2，所以有r2a21.从而得2b2a21.5又点P(ab到直线x2y0的距离为d|a2b|5所以5d2|a2b|2a24b24aba24b22(a2b22b2a2当且仅当ab时上式等号成立，此时5d21，从而d取得最小值由此有a

解此方程组得a

a2b2a2

或

由于r22b2知r

于是，所求圆的方程是(x1)2y1)22,或(x1)2y1)25解法二：同解法一得d|a2b|5

5d，得a24b2

5bd5d2

将a22b21代入（1）式，整理2b2

5bd5d21

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，8(5d210,得5d2所以5d2有最小值1，从而d有最小值55将其中代入（2）式得2b24b20解得b1.将b1代入r22b2,得r22.由r2a21得a1.综上a1,b1r22.由|a2b|1知a,b同号于是，所求圆的方程是(x1)2y1)22,或(x1)2y1)2一九九七年（文科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合M={x|0x2}，集合N={x|x22x30，集MN（A）{x|0x（C）{x|0x

（B）{x|0x{x|0x

（B如果直线ax2y20与直线3xy20平行，那么系a (C)3

(D)3

（B函

ytg(2

x3

)在一个周期内的图象 （A

已知三棱 7 o3 7 o36xox43o3 o3ABC三3侧面与底面全等，且 ，BC=2，则以BC为棱，以面3与面BCA为面的二面角的大（A） （B） （C） （D） （C 函数ysin(2x)cos2x的最小正周期 （B3（A） （B） （C）2

（D）满足tgctg的角的一个取值区间 （C（A（0，

]4

]4

，

）（D）[4

，2y

f(x定义域在实数集上，则y

f(x1yf(1x)的图象关 （D直线y=0对 （B）直线x=0对直线y=1对 （D）直线x=1对长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积 （C（A）20

25

如果直线l将圆：x2y22x4y0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 （A）（A）[0，2]（B）[0，1]（C）[0，1]（D）[0，1 函数ycos2x3cosx2的最小值 （B （C）1

椭圆C方程是（A

(x9

(y4

1关于直线xy0对称1（A）(x2)2(y3)21

(x

(y3)21 1(x2)2(y3)2

(x

(y 圆台上、下底面积分别为,4，侧面积为6，这个圆台的（D

（B）23

（C）

（D）7 定义在区间(,的奇函数f(x为增函数;偶函数gx在区间[0,的图象与f(x的图象重合。设ab0，给出下列不等（C①f(b)f(a)g(a)③f(a)f(b)g(b)其中成立的

②f(b)f(a)g(a)④f(a)f(b)g(b)（A）①与④（B）②与③（C）①与③（D）②与x 不等式组3 2x.的解集 2（C 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A一平面上，不同的取法有（B（A）30 （B）33 （C）36 （D）39二．填空题：本大题共4小题4分，共16把答案填已知(a x)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值 答已知直线xy2与抛物线y24x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 答（4，2）(18)sin7cos15sin8的值cos7sin15sin3答23（19）已知m,l是直线,是平面，给出下列命题①若l垂直于内的两条相交直线，则②若l平行于，则l平行于内的所有直线③若m,l,且lm,则⑤若m,l,且,则m其中正确题的序号是 （注：认为正确题的答三．解答题：本大题共669解答应写出文字说明、（20（已知复数z12

3,2

2i.求复数zz3的模及辐 主值解zz3z(1212

)(2

2i)(12

31i) 2(cos5isin52 2故复数zz3的模

，辐角主值为56（21（设S是等差数列{a}n和。已知1S1S的等比中 3 4为1S1S1S的等差数列中项为1。求等差数列

}的通5 3 4 an解：设等差数列数列{an}的首项a1a公差为d，则通项为ana(n1)d,n项和为12依题意12

nan(n1)d2SS3

141

(5S5) S3

4S41(3a32d

其中

0由此可得

32d

3ad5d2

d 整理得2a

5d

解方程

d

a由此得

1;或a412(n1)3212 经验证知

1时S5,或a3212n时

4均适合题意 故所求等差数列的通项为

3212n（22（

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地不得超过C千米/小时，已知汽车 ．（以元为位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。把 ．y（元）表示为速度v（千米/小时的函数， 这个函数的定义域为了使 最小，汽车应以多大速度行驶（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为Sv全 成本yaSbv2SS(a 故所求函数及其定义ySabvv0v（Ⅱ）依题意知S，abv都为正数yS(abv)v当且仅当abv,即vabvab

ab时上式中等号成立ab若ac,则当vb

时，全 成本y最若ac,当v(0c时，有SabvSabc)()(S[(aa)(bvbc)]S(

vc因为cv

有abcvabc2所以Sabv)Sabc且仅当vc时等号成立，也即当vc时 全程成本y最小综上知，为使全 成本y最小，

abc时行驶速度应bv abb

abc时行驶速度应为vcb（23（如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的证明AED1F所成的证明面AED⊥面AA1=2，求三棱锥E-AA1FVE-（Ⅰ）∵AC1∴AD⊥面DC1，又D1FAB中点G，连结

EDFBGEDFBGCA因为FCD的中点，所以GF、AD平行且相等A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。A1GAE相交与点H，则∠AHA1AED1F所成的角。因为EBB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE， ∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=900，即直线AEDF所成角 由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED又因为D1FA1FD1，所以面AED⊥面∵体积VE-AA1F=VF-FG⊥面ABB1A1，三棱锥F-AA1E的高面积

=1

=1222

2 =1 FG1224E-3

（24（已知过原点O一条直线与ylog8x的图象交于A、B两点，分别过点A、By平行线与函数ylog2x的图象交C、D点。证明点C、D和原点O同一BC平行于x时，求点A标（Ⅰ）设点A、B横坐标分别为x1x2由题设x11x21，则点A、B坐标分别为log8x1log8x2因为A、B在过点O线上所以log8

log8x28C、D坐标分别为(x1log2x1x2log2x28由于

xlog8

x,

xlog8

3logx22

8 2

OC的斜率

log2

3log8x1OD斜率k

log2

3log8x22由此可k1k22即O、C、D在同一条直线上（Ⅱ）由于BC行于x轴知

xlogx即得

x1logx2 8

2 2xx3代入

x

x得x3

x

logx 8

8

8

8由于x1知logx0,x33x 8 于是点A的坐标为

（25（ 足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1;③圆心到直线lx2y0的距离为55求该圆的方程解法一：设圆的圆心为P(ab，半径为r，则点Px，y距离分别为|b|,|a|.由题设知圆Px得劣弧对的圆心角为900，知圆Px所得的弦长为2r，故r22b2又圆Py所得的弦长为2，所以有r2a21.从而得2b2a21.又点P(ab到直线x2y0的距离

5，所以d5

5|a|a2b5即有a

，由此有2b2a21,2b2a22b

a2b1;a2b解方程组得a1,a1,于是r22b2知r b1;b所求圆的方程是(x1)2y1)22,或(x1)2y1)2于是，所求圆的方程是(x1)2y1)22,或(x1)2y1)2一九九八年（理科一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分第（11）-（15）题每小题5共65分。在每小题给出的四个 （D（A） （B） （C） （D） 函数ya|x|(a1)的图象 （By1o（A） y1oo1ox1oo1ox1ox曲线的极坐标方程4sin化成直角坐标方程（B（A）x2(y2)2（C）(x2)2y2

x2(y2)2（D）(x2)2y2两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条（A（A）AA+BB=0（B）AA-BB=0（C）A1A21（D）B1B21 1

1 1

（5）函数f(x)1(x0的反f1(x)x（B（A）x(x

（B）1(xx

x(x

1(xx已知点P(sincostg在第一象限，则在[0,2内的取值（B（A）(2

)

4

(4

)(,

4(2

3)(5

2

(4

)

,已知圆锥的全面积是底面积的3那么该圆锥的侧面展（C 复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根（D

31

（B）

31

（C）

31

（D）

31 如果棱台的两底面积分别是S，S中截面的面积是S0，（ASSSS （A） SSSS （C）

SS

S22S0向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V水深h的函数关系的图象如0（B （11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有 （D）（A）90 （B）180 （C）270种（D）540x2y

1的焦点为

F2，点P圆上。如果 段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2| （A（A）7 （B）5 （C）4 （D）3的1，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径6（B333（A） （B） 333（B

51 51（C）arccos1 在等比数列{a}中

1且前nS满足limS1a a么a1的取值范围（D

n12（A） （B（1，4）（C（1，2）（D（1， 2二．填空题：本大题共4小题4分，共16把答案填设圆过双曲线x2y

1的一个顶点和一个焦点，圆心 此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离 答3（17）(x2)10(x21)的展开式中x10的系数为 答(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满 时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形：AC⊥CD（（19）关于函数f(x)4sin2xxR3有下列命题

CBC①由f(xf(x0可得xx必是的整数 ②y

f(x的表达式可改写成y4cos(2x6③y④y

f(x的图象关于点(,0对称6f(x的图象关于x对称6其中正确题的序号是 （注：认为正确题的答三．解答题：本大题共669解答应写出文字说明、（20（在△ABCabc分别是接A，B，Cac2bA-C=3求sinB的值。以下供解题时参考sinsin2sincos,sinsin2cossin coscos2coscos,coscos2sinsin 解：由正弦定理和已知条件ac2b得sinAsinC2sin由和差

2

ACcosAC2sinA+B+C=

sinAC2

cosB2A-C=得3cosBsin 3cosB2sinBcosB 0B,cosB0,sinB 3 从而cosB2

1sin2B2

134sinB 32

134

398（21（如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1.A，B端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN锐角三角形 ，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐系，求曲线段C的方解法一：如图建立坐标系，以l1x，BA NMN的垂直平分线为y轴BA N点。依题意知：曲线段C是以点N点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B别为C端点。设曲线段C程Ay22px(p0),(xxx,y ABx其中xA,xB分别为A，B的横坐标p|MN|所以M(2

2

由|AM|17,|AN|3(xA

p)22

(xA

p)22

（1（2）

4.再将其代入（1）式pp解得p px或 xA因为△AMN锐角三角形，所以p

故舍去pxp4,xAx由点B在曲线段C

|BN|p2

综上得曲线段C方y28x(1x4y解法二：如图建立坐标系以l1、l2为x、y轴，M为坐标 AE⊥l，AD⊥l，BF⊥l，垂

点 分 E、D、ADA(xA,yAB(xB,yBN(xND依题意xA|ME||DA||AN|

E yA|DM

2 |AN|2|DA|AN|2|DAxN|ME||EN|ME|

|AN|2|AE

xB|BF||BN|设点p(x,y)是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集 {(x,y)|(xx)2y2x2,xxx,y 故曲线段C程为y28(x2)(3x6y（22（如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中杂质的质量分数与a,b的乘积b成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、孔的面积忽略不计）解法一：设y为流出的水中杂质 Bb2 质量分数，则y

k，其中k＞0例系数。依题意，即所的ab值使y值最根据题设，有4b2ab2a60(a0b得b30a(0a2

于是yk

30aa2

a32

a

34(a2

64a342(a2)342(a2)a当a2

a

时取等号，y达到最小这时a6a10（舍去）将a6代入（1）式得b3.故当a6b3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量解法二：即所求的ab值使ab最大由题设知4b2ab2a60(a0b0)即a2bab30(a0b0).a2b

2ab,

ab当且仅当a2b时，上式取由a0b