《余弦定理》导学案

#《余弦定理》导学案Q情景引入ingjingyinru中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距snmile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以vnmile/小时的速度前去驱逐.假如能测得NBAC=a,BC=mnmile,你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？X新知导学inzhidaoxue1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和—减去—这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言在4ABC中，a2=b2+c2—2bccosA,b2=c2+a2—2cacosB,c2=__a2+b2—2abcosC—推论在^ABC中，b2+c2—a2 c2+c2—b2cosA- 2bc，cosB-2aca2+b2—c2cos― 2ab—2.利用余弦定理及其推论解三角形的类型(1)已知三角形的三条边求三个角;(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角.3．余弦定理和勾股定理的关系在4ABC中，由余弦定理得C2=a2+b2—2abcosC,若角C=90°,则cosC=0,于是C2=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.设c是4ABC中最大的边(或C是4ABC中最大的角)，贝Ua2+b2<c2Q4ABC是—钝角—三角形，且角C为—钝角_；a2+b2=c2Q^ABC是一直角—三角形，且角C为一直角_；a2+b2〉c2Q^ABC是_锐角__三角形，且角C为—锐角__.预习自测uxizice

1.（2018•全国m理，9）aABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c1.（2018•全国m理，9）aABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若^ABC的面.a2+b2一c2积为二—，则C=(C)A.B.C.D...一 1一一a2+b2—C2 一a2+b2—C2... 一［解析］由题意S^ABC=2absinC= 4 ,即sinC= ，由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,n又C£(0,n),所以C=『C■■芯(2018•全国卷H理，6)在4ABC中，cos2="5",BC=1,AC=5,则AB=(A)A.4-..；'2 B.\'3GC.\''29 D.2由［解析］cosC=2cos^—1=2x［平］2—1=—。，在^ABC中，由余弦定理，得AB2=CA22 15) 5+CB2—2CA-CB-cosC,所以AB2=1+25—2X1X5X^—|=32,所以AB=4-\；23.在4ABC中，已知&=5,b=7,c=8,则A+C=(B)A.90° B.120°C.135°D.150°［解析］由余弦定理的推论，得cosB=a2+c2-b225+64-492ac=2X5X8125V0°<B<180°,.♦.B=60°.••・A+C=180°—60°=120°.4.(2018—2019学年度甘肃天水一中高二月考)在^ABC中，已知sinA:sinB:sinC=5：7：8,则NB的大小为=.—3—［解析］'/sinA：sinB：sinC=5：7：8,.•・a：b：c=5：7：8,.,.a=5k,b=7k,c=8k(k>0),. .a2+c2—b240k21••cosB ccic，2ac80k22

VO<B<ji,ZB=.oH 互动探究解疑udongtanjiujieyi命题方向1中已知两边及一角解三角形例题1在^ABC中，已知&=〈'3b=-..；2,B=45°,求4ABC中其他边与角的大小.［分析］已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c,然后求A、C.［解析］由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,则2=3+c2-2\/3X,Xc,即c2-1r6c+1=0,解得c=片产，或。=与产.当。=月产时，由余弦定理得cosA=当。=月产时，由余弦定理得cosA=6+2b2+c2-a22+ 2-3 12bc2X%；5X五产牙V0°<A<180°,AA=60°,AC=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.当。=若也时，由余弦定理得cosA=b当。=若也时，由余弦定理得cosA=b2+c2-a2 2+ — 2-32bc2X-.；2X^-^21-2V0°<A<180°,.♦.A=120°,.•・C=180°—(A+B)=180°—(120°+45°)=15°.故c：2^6^2时，A=60°,C=75°；c：、6-6时，A=120°,C=15°.乙 乙『规律总结』 已知两边及一角解三角形的方法：(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.〔跟踪练习1〕(1)(2016•全国卷I文，4)4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、。.已知a=\：5,2c=2,cosA=a，则b=(D)3A.\''2 B.\.13C.2 D.3［解析］由余弦定理，得4+b2-2X2bcosA=5.整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b

=一；（舍去），故选D.（2）已知△ABC中，a=1,b=1,C=120°,则边c=木.［解析］由余弦定理，得C2=a2+b2—2abcosC=1+1—2X1X1X（-%）=3,；.c=\：’3.命题方向2中已知三边解三角形例题2在4ABC中，已知&=2-..瓜b=6+2\；3c=4\；3求角A、B、C.［解析］在^ABC中，由余弦定理，得cosC=a2+cosC=a2+b2-c2262+6+232—432 24 3+1 22ab2X2\''6X6+2\.'3/.C=45°,sinC=1.由正弦定理得，sinA=^s2 c-24\巧<3+1—2.2、3竽14书=2Va<c,AA<C,AA=30°..•・B=180°—(A+C)=180°—(30°+45°)=105°.『规律总结』已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角.〔跟踪练习2〕在4ABC中，a=3,b=4,c=\由，则最大角为120° .［解析］•••\斯>4>3,边c最大，则角C最大，a2+b2一c2又cosC= 2ab32+42—37=2X3X4・•・最大角C=120°.命题方向3中判断三角形的形状例题3在4ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断4ABC的形状.［分析］思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系.［解析］解法一：•.,b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,

・•・利用正弦定理可得sin?Bsin£+sin2csirpB=2sinB•sinC•cosB•cosC,sinBsinCWO,sinB•sinC=cosBcosC,cos(B+C)=0,cosA=0,.ji 0<A<ji,・f=3，.'△ABC为直角三角形.解法二：已知等式可化为b2—b2cos2C+c2—c2•cos2B—2bccosBcosC,由余弦定理可得b2+c2—b2-az由余弦定理可得b2+c2—b2-az+b2—C22ab12—C2•(a2+c2—b2.2ac)2=2bc•a2+b2—C2 az+c2—b22ab2ac.•.b2+c2—a2,・・・4ABC为直角三角形.解法三：已知等式变形为b2(1—cos2C)+c2(1—cos2B)=2bccosB•cosC,/.b2+C2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosB•cosC,•「b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC=(bcosC+ccosB)2=a2,••.b2+c2—a2,・・・4ABC为直角三角形.『规律总结』已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等.〔跟踪练习3〕在4ABC中，已知a：b：c—1：出：2,试判断三角形的形状.［解析］在4ABC中，设a—x(x>0),则b=\,,r3x,c=2x.显然c最大，故角C最大.根据余弦定理，cosC=cosC=a2+b2一C22abX2+\；'3x2-2x22・x・3xX2X2+3X2—4X22\,l3x2 —0-n_ , ,一.C=3，即4ABC是直角三角形.乙Yihun易混易j示gshi忽略三角形的条件致错例题4在钝角三角形ABC中，a=1,b=2,c=t,且C是最大角，求t的取值范围.［错解］•:△ABC是钝角三角形，且C是最大角，

.•・C>90°；.cos.•・C>90°；.cosC<0,.aa2+b2-C2；.cosC= 2ab <0,.,.a2+b2—C2<0,即1+4—12<0,.,.t2>5.•••t>0,・..t>K即t的取值范围为-5+8).［辨析］错解中忽略了三角形中，两边之和大于第三边而导致错误．［正解］,.,&、b、c是^ABC的三边，.•.c<a+b,；.t<1+2=3.:△ABC是钝角三角形，且C是最大角，••.90°<C<180°./.cosC<0,AcosC/.cosC<0,AcosC=2+b2－c25－t22b<0,・・・t2〉5.,.,t〉0,・・.t〉\/5..，.t的取值范围是g,r5,3).XX学科核心素养uekehexinsuyang正弦、余弦定理的综合应用例题5(2016•全国卷I理，17)4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、。，已知2cosc(acosB+bcosA)=c,⑴求C；⑵若c=\/7,4ABC的面积为甲，求^ABC的周长.［分析］(1)已知等式2cosc(acosB+bcosA)=C中有角有边，且等式两边边长的次数相同，结合括号内式子的特点联想到两角和的正弦公式，故化边为角，结合内角和定理及诱导公式求解；(2)已知边c,角C和三角形面积，利用面积公式可求得a、b关系，只要求出a+b即可.［解析］(1)由已知及正弦定理得，2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC,可得cosC=(,又因为0<c<n,所以c=k.23⑵由已知，|absinC=3^.又C=n,所以ab=6.由已知及余弦定理，得a?+b2—乙 乙。2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.；.a+b=5,所以4ABC的周长为5+,万.K课堂达标验收etangdabiaoyanshou1.在4ABC中，a=3,b=<7,c=2,那么B等于(C)A.30° B.45°C.60° D.120［解析］cosB=a2+c2—b29+4—71―"2ac=12［解析］cosB=V0°<B<180°••・B=60°.2.（2016•天津理，3）在^ABC中，若AB=\/13,BC=3,NC=120°,则AC=（A）A.1 B.2C.3 D.4［解析］设^ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,］则a=3,c=<,；,n,ZC=120°,由余弦定理，得13=9+b2+3b,解得b=1,即AC=1.3.（2015•广东理，11）设^ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、。若a=\；3sinB=7，C=n，则b=1.6 _. 1 一n.、_5n__n一n［解析］因为sinBq且底(0，n),所以B=力或B=『又C=z，所以附至,解得b=1.A=n-B-C=2n,又a=.：3由正弦定理得一^=」^即可一=—b-,3 % sinAsin解得b=1.sin-3-sin-（2017•山东文，17）在^ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知b=3,硝•慧=-6,$都改=3,求A和a.［解析］因为AB-AC=-6,所以bccosA=-6.又S^abc=3,所以bcsinA=6.因此tanA=-1.又0<A<n,n所以a=3「又b=3,所以c=2\；2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8—2X3X2\巧X（一8）=29,所以a=\：29.A级基础巩固一、选择题.在4ABC中，NABC=宁，AB=-.；2,BC=3,则sin/BAC=(C)

yio

10B.yio

5A.D.yio

10B.yio

5A.D.\；5

T［解析］由余弦定理，得AC2=AB2+BC2—2ABxBC・cosw-=2+9-2X\,12X3X^-=5./.AC=\；'5. AC BC由正弦定理'得标=嬴,3X也一BCsinB2310AC\1510AC\1510•.已知△ABC中，sinA:sinB:sinC=1：1：1；3则此三角形的三个内角的度数分别是（C）A.45°,45°,90° B.30°,60°,90°C.30°,30°,120° D.30°,45°,105°［解析］\•在4ABC中，sinA：sinB：sinC=a:b：c,.，.a：b：c=1：1：-,.13.设a=b=k,c=\,'3k（k>0）,贝UcosC贝UcosC=k2+k2— 3k2XkXk2.故C=120°,A=B=30°,应选C..如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（D）A.18B.A.18B.D.故选D.B.D.故选D.B.锐角三角形D.不存在C.［解析］设等腰三角形的底边边长为X,则两腰长为2x（如图），由余弦定理得4X2+4X2—X27

cOsAQQ=O,

2・2x・2x8.在4ABC中，若a<b<c,且c2<a2+b2,则△ABC为（B）A.直角三角形C.钝角三角形

［解析］•••c2<a2+b2,，NC为锐角.•♦•a<b<c,.,・NC为最大角，・•.△ABC为锐角三角形..（2016•山东文，8）^ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、孰已知b=c,a2=2b2（1—sinA）,则A=（C）nB.-3nB.-3A-4［解析］由余弦定理得&2=b2+c2—2bccosA=2b2—2b2cosA,所以2b2（1—sinA）=2b2（1n—cosA）,所以sinA=cosA,即tanA=1,又0<A<n,所以A=1..（2018—2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考）^ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=、/3,则c=（C）A.1 B.\.12C.2 D.2\13［解析］由正弦定理，得」/=一1,sinAsinB-1_<3_ --；13•,sinAsin2A2sinAcosA,A、.：3A AnAcosA=^-,V0<A<n,AA=—.26由余弦定理，得&2=b2+c2—2bccosA,.\1=3+c2—2-.；3X^23c=3+c2—3c,Ac2—3c+2=0,/.c=1或c=2.n„2n当c=1时，a=c=1,AA=C=—,AB=^—,63不满足B=2A,.・cW1.••・c=2.二、填空题（2015•天津理，13）在^ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知△ABC的面积为34m,b—c=2,cosA=—4,则a的值为8.［解析］因为0<A<n,所以sinA=-\；1—cos2A=*4三又SAABC=2bcsinA=T5bc=3415'，b—c=2.,.bc=24,解方程组| ，得b=6,c=4,由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosAbc=24=62+42—2X6X4x(1)=64,所以a=8.(2018-2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)在^ABC中，已知点D在BC边上，AD±AC,sin/BAC=毕，AB=3隹，AD=3,则BD=__而__.［解析］•••AD，AC,・・.NDAC=90°,・・.NBAC=NBAD+NDAC=NBAD+90°,；.sinZBAC=sin(ZBAD+90°)=cosZBAD=—.3在^ABD中，由余弦定理，得BD2=AR+AD2-2AB•ADcosZBAD=18+9—24=3,.,.BD=、;'3.三、解答题在四边形ABCD中，BC=a,DC=2a,四个内角A,B,C,D度数的比为3：7：4：10,求AB的长.［解析］设四个角A,B,C,D的度数分别为3x,7x,4x,10x,则有3x+7x+4x+10x=解得x=15°..•・A=45°,B=105°,C=60°,D=150连接BD,在ABCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+DC2—2BC,DCcosC

=a2+4a2—2a•2a•；=3a2,；.BD=\布a.这时DC2=BD2+BC2,则ABCD是以DC为斜边的直角三角形，.•.NCDB=30°,于是NADB=120°.在4ABD中，由正弦定理，得C.BD•sin/ADB\：3asin120°

C.由向量模的定义和余弦定理可以得出|地|=3,|次|=2,尸—» ABs+AC?—BQC0S<AB,AC>=由向量模的定义和余弦定理可以得出|地|=3,|次|=2,尸—» ABs+AC?—BQC0S<AB,AC>=2AB-AC—— 13故AB•AC=3X2X-=-.2.在AABC中，已知AB=3,BC=V13,AC=4,则边AC上的高为(B)A.C.D.3小［解析］如图，在AABC中，BD为AC边上的高，且AB=3,BC=V13,AC=4.*.*cosA=32+42—仄212X3X42'A镜sinA=-^~.乙故BD=AB•sinA=3X乎乙 乙.AABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b—a,c—a),若口〃口，则C的大小为(B)JIA.互JIA.互B.JI3D.2jiTcosC=D.2jiTcosC=as+h—C2ab12ab2ab2'JIc.~乙［解析］Vp=(a+c,b),q=(b—a,c—a),p//q,(a+c)(c—a)—b(b—a)=0,即as+bs—C2=ab.由余弦定理，得JIV0<C<Ji,.-.c=—.o.在AABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若aa—b2=^/3bc,sinC=2J\/3sinB,则A=(A)A.30°B.60°C.120°D.150°A.30°B.60°C.120°D.150°［解析］ 由余弦定理，得cos［解析］ 由余弦定理，得cosA-b4；&,2UC由题知b2—a2=—\：3bc,C2=2%；3bc,则UcosA=号，2又A£(0°,180°),.'.A=30°,故选A.二、填空题.在^ABC中，已知sinA:sinB:sinC=4：5：6,则UcosA:cosB:cosC=12：9：2.［解析］ 由正弦定理，得&八=4)=-7，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=4:5:sinAsinBsinC6,令a=4k,b=5k,c=6k(k>0),由余弦定理,得a25k2+36k2—16k23cos=-2X5kX6k—=4，91同理可得。0sB=16cosc=8'1-=12:9:2.81-=12:9:2.8故cosA:cosB:cosC=-:77416.（2017•浙江卷，14）已知^庆8仁AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2,连接CD=2,连接CD，则ABDC的面积是一知—cosZBDC=-^f-［解析］依题意作出图形,如图所示,DD则sinZDBC=sinZABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin/ABC=g^,cosZABC=4,

1515所以SMc=2BC-BD-sinNDBC15151=-X2X2X乙因为cos/DBC=—cos/ABC=1BD2+BC因为cos/DBC=—cos/ABC=4 2BD•BC所以CD=\；10由余弦定理，得cos/由余弦定理，得cos/BDC=4+10—4［12X2X,'10 4三、解答题7.设4ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a+c=6,b=2,cosB=-.9⑴求a、c的值；⑵求sin(A—B)的值.［解析］(1)由余弦定理，得b2=a2+c2—2accosB,/.b2=(a+c)2—2ac(1+cosB),又已知a+c=6,b=2,cosB=:，；.ac=9.9由a+c=6,ac=9,解得a=3,c=3.7(2)在^ABC中，,.，cosB=a，9；.sinB="J1—cos2B=-9-.由正弦定理，得sinA=asbnB=¥，L/ O.a.a=c,・•・A为锐角，.•.cosA=\：1—sin2A=